數(shù)學競賽資料

1、取，,則它的積分和為 由此可見積分和極限與他的取點有關，故d不可積。（2）riemann 可積，積分值為0對，在區(qū)間在區(qū)間0,1中，分母小于的有理數(shù)只有有限個，設不超過m個；令 ，任意分割0=；當a=max，任意取點，它的積分和為，其中第一個和式是對小區(qū)間有分母小于的有理式求和，這有第二個和式是對小區(qū)間沒有分母小于的有理數(shù)求和，則有例3 求分析：利用定積分定義：原式= 2、n-l公式例1 0t,則_.分析：原式=96 例2、計算 分析：由及積分上下限為1,0則用變量代換，令原式= 又原式= 由形式 令原式= 注： 通過一個線性變換消去倍積分式中的一個因子。973 奇偶性、周期性、對稱性例1、試

2、確定一下三個積分的大小順序分析：的被積函數(shù)為奇函數(shù)，則的被積函數(shù)為偶函數(shù)且中的為奇，為偶函數(shù)，且小于0，則,所以。例2 求分析：原式=，其中令，則 原式=+=例3. 求分析：令 則故 原式= =例4. 計算：分析：利用對稱性 令，原式=故，原式=例5 設是連續(xù)函數(shù)，證明： 分析：由；函數(shù)值不變，則必有換元左邊= =左邊=右邊例6 求分析：原式= =例7 求其中e的閉區(qū)間0,4中使被積函數(shù)的有意義的一切值所成集合分析：原式= =2() =2() =4=例3計算分析：原式= 令 = =例9 計算： 分析：令原式=i ， 則i=， =且 所以 令， =則 故 =例10 已知， 分析：由于故4、不可有

3、n-l公式 （換元法，分部積分法）例1求（1） （2）分析(1)令，原式=故原式=（2）令 原式= =例2、求分析： 所以： 其中 例3設，計算分析：原式（令）=當當、例4計算： 分析：換元還原出原式移項原式= =原式故：原式=例5計算分析：原式=i=則其中又 故=則 2=積分上限函數(shù)+變換積分次序例6設，及求分析：用積分上限函數(shù) 故 =令則=例7設，求分析： = 5不直接用n-l公式的積分含三角函數(shù)的積分例1計算分析：令，原式= 則2=-原式=例2計算分析：原式=，故原式= 例3計算： 分析：令，原式=，故原式= 注意：含有參變量的積分法例 求分析：令，則= =所以： 由故 原式=6 廣義積

4、分（倒代換）例1 設為任意實數(shù)；計算分析：由被積函數(shù)形式可令，則 原式=例2計算： 分析：為無界點，故該積分為廣義積分，故原式=原式=例3計算分析：1、（部分分式法）因為，即 （1）所以 （2）（注：不能由（1）得，因為右邊的兩個被積函數(shù)都不收斂，同樣（2）中兩個對數(shù)要合成一個對數(shù)，才可用n-l公式）2（倒代換）原式= 故原式=例4對參數(shù)p、q討論廣義積分的收斂性分析：令 分兩種情況（1） 當q0時收斂 收斂 收斂（2） 當q0時令r=-q，則由（1）知0p+r+1r,即qp+10,0p+1q 或 q0,q0，是一常數(shù)（其中l(wèi)ogx底數(shù)是不為1的任意常數(shù)）解：令 則=例9.計算分析：在處、0處

5、無定義，故為廣義積分，令x=2u。得 故 例10.設 a，b均為常數(shù)，a-2，a0，求a，b為何值時，使得 解: 而 若 上述極限不存在，所以要等式成立，則必須有，那么，原式 例11.對，令 ，證明：證明：令 ，得 因為s0,則 ，故對，有，所以 例12.證明積分 分解 分析：當，令 ，顯然如果級數(shù)收斂，則原積分收斂，不難看出的符號是交錯的，令，得 單調遞減 又 即 所以，單調遞減且趨向于0，滿足laibniz級數(shù)，則收斂 所以，本題主要把這個無限區(qū)間上的積分分成無窮段，構成一個級數(shù)求和形式，然后通過對這個級數(shù)的分析，利用laibniz準則知級數(shù)收斂，從而積分收斂，這也是證明廣義積分收斂的一種

6、方法。例13.計算(級數(shù)求解) 解： 又 故 三綜合題例1.已知積分，不是初等函數(shù)，試求，使是一個初等函數(shù)，并求該積分。解：法一;(常規(guī)方法) 原式 故 原式 法二：（待定系數(shù)法） 令 兩邊求導得. 例2.計算：分析： 由于 所以 原式 例3.設 ，如果，且當時 ，求 分析： 設 ,則由題設得： 由的 則代入得 由得 則 或 ，又即 ，故 ，例4.計算： 分析：令 ，則原式 故 原式例5.設，在內恒有，且，記，則（ ）a. b. c. d.不確定分析：由得和，則 即 由taylar公式，故 例6.計算：的值，其中n為正整數(shù) 分析;猜想，該積分值與n無關，即即若故作差 若為0，則可得答案 令原式

7、，則 同理可求得： 例7.設是的一個原函數(shù)，且，求 解 由 由 故 或 （舍） 則 故 例8.求滿足下列性質的曲線c：設為曲線上任一點，則由曲線，所圍成區(qū)域的面積a與曲線c和，所圍成的面積b相等（注：需加條件“”）解; 由題意得 ，則 b 由 a=b 又 代入上式，則 即 則 是的函數(shù)，對求導得 ，由得 則有 ，則 即 即為所求 c為時，同理可得，c： 練習二1. 求定積分的值（分部積分 ）2. 求定積分 （變量代換 ，）3. 求定積分的值。（先求出遞推式，由遞推式得）4. 求定積分的值 （）5. 設常數(shù)，求 （積分區(qū)間分開 ）6. 求， ，：（1）繞軸；（2）繞軸；（3）繞的體積 （；）7. 已知，求的表達式。()8. _()9. _()10. _()11. 已知 ，且 ，求 （3）12. 設為的連續(xù)函數(shù)，且滿足方程，求及常數(shù)c ( ,)13. 設為的連續(xù)函數(shù)，且當時， 求 （）14. 已知兩曲線與在點（0，0）