理論力學(xué) 第七版 第四章

1、1 2 第四章第四章 摩擦摩擦 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的， 忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是 不存在的，一般情況下都存在有摩擦。當(dāng)物體的接 觸表面確實比較光滑，或有良好的潤滑條件，以致 摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時，可以忽 略。然而，在很多日常生活和工程實際問題中，摩 擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應(yīng) 作為重點來研究。 由于摩擦是一種十分復(fù)雜的物理現(xiàn)象，涉及面 廣，本章只限于討論工程中常用的近似理論，主要 介紹滑動摩擦和滾動摩阻定律，重點研究有摩擦存 在時物體的平衡問題。 3 (a) (b) 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第

2、四章 摩擦摩擦 定義定義：兩個相接觸物體，當(dāng)其接觸處產(chǎn)生相對滑動或相對滑 動趨勢時，其接觸處產(chǎn)生的阻礙物體相對滑動的力叫滑動摩 擦力。 4-14-1 滑動摩擦滑動摩擦 1. 靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力 如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物 體，當(dāng)水平方向無拉力時，顯然有P=FN?，F(xiàn)在該物體 上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當(dāng)拉 力F由零逐漸增加但又不很大時，物體仍能維持平衡。 4 (a) (b) 由此可見，支承面對物體的約束力除了法向約束力FN外還 有一個阻礙物體沿水平面向右滑動的切向約束力Fs，此力 即靜滑動摩擦力靜滑動摩擦力，簡

3、稱靜摩擦力靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜靜 摩擦力摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不 能隨F的增大而無限地增大。而有一個最大值Fmax，稱為 最大靜摩擦力，最大靜摩擦力，此時物體 處于平衡的臨界狀態(tài)。當(dāng)主動力 F大于Fmax時，物體將失去平衡而滑動。即 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 maxs 0FF 5 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 實驗表明 Nsmax FfF 上式稱為庫侖摩擦定律庫侖摩擦定律，是計算最大靜摩擦力的近似公式。 式中 fs 稱為靜摩擦因數(shù)，靜摩擦因數(shù)，它是一個無量綱的量。一般由實驗 來確定。 2. 動滑動摩擦力動滑動摩擦力 當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對滑動時，

4、接觸物體之間仍有阻礙相對 滑動的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力動摩擦力， 以Fd 表示，大小可用下式計算。 Ndd FfF 式中 fd 是動摩擦因數(shù)動摩擦因數(shù)，通常情況下， sd ff 6 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 4-2 4-2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象摩擦角和自鎖現(xiàn)象 1. 摩擦角摩擦角 當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對物體的約束力有法向約束力FN和 切向約束力Fs，這兩個力的合力稱為全約束力全約束力FR。 SNR FFF 它的作用線與接觸處的 公法線成一偏角j ,如圖 所示，當(dāng)靜摩擦力達最 大時， j 也達到最大值 jf ,稱jf 為摩擦角。 s N max f tanf

5、 F F j 7 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 2. 自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 由于全約束力的作用線與接觸處公法線的夾角j不能大 于摩擦角，即變化范圍為0 j jf ，因此可得： 如果作用于物體的全部主動力的合力的作用線與公 法線的夾角q jf，則無論這個力多么大，物體必保持靜 止，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象。 利用摩擦角的概念， 可用簡單的試驗方法測 定摩擦因數(shù)。 反之如果q jf ，則 無論這個力多么小，物 體必不能保持平衡。 8 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時斜面的傾角q ,即 qjtantan fs f 下面的螺旋千斤頂就利用了自鎖的概念。 9 靜力學(xué)

6、靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 4-3 4-3 考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題 考慮有摩擦的平衡問題時，其解法與前幾章基本一樣。 但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時要將摩擦力考慮 在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補充方程 0 Fs fs FN ，因此有摩擦的平衡問題的解通常是一個范圍。為了避免解 不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（ Fs = fs FN），求得結(jié)果后再 討論解的平衡范圍。應(yīng)該強調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)摩擦力的方向在臨界狀態(tài) 下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對運動趨勢來判斷，下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對運動趨勢來判斷，只有摩擦力只有摩擦力 是待求未知數(shù)時，可以假設(shè)其方向是

7、待求未知數(shù)時，可以假設(shè)其方向 。 求解時，根據(jù)具體的問題采用解析法或幾何法求解， 下面舉例說明 10 , 0 x F0 cos s FFq , 0 y F0 sin N qFPF 取物塊A為研究對象，受 力分析如圖。列平衡方程。 解解: : 例題4-1 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 q A F F 聯(lián)立求解得N 46. 330 cos4 s F N 6 . 3 sin sNsmax qFPfFfF 最大靜摩擦力 N 46. 3 s F 所以作用在物體上的摩擦力為 maxs FF 因為 小物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它 與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs=0.3。今在小物體

8、A上施 加F=4 N的力， q =30，試求作用在物體上的摩擦力。 y A x q P F F FN Fs 11 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 例題4-2 FA FNB FB FNA A B C F x x y h O FB h d B A F x , 0 x F0 NN BA FF , 0 y F0FFF BA 平衡方程為 , 0)( F O M 0)( 2 N xFFF d hF BAA 取支架為研究對象,受力分析如圖。 （1）解析法解析法解: 一活動支架套在固定圓柱的外表面，且h = 20 cm。假設(shè)支架和圓柱之間的靜摩擦因 數(shù) fs = 0.25。問作用于支架的主動力F 的 作用

9、線距圓柱中心線至少多遠才能使支架 不致下滑（支架自重不計）。 12 聯(lián)立求解得,2 NN FFF BA cm 40 x BBAA FfFFfF NsNs , 補充方程 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 21 hhh ff tan) 2 ( tan) 2 (jj d x d x 解得cm 40 tan2 f j h x （2 2）幾何法）幾何法 由以上二個例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全由以上二個例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全 約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交 定理且?guī)缀侮P(guān)系又較簡單，用幾何法往往較方便。定理且?guī)缀侮P(guān)

10、系又較簡單，用幾何法往往較方便。 支架受力分析如圖所示。 由幾何關(guān)系得 13 長為l的梯子AB一端靠在墻壁上， 另一端擱在地板上，如圖所示。假設(shè) 梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯 子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù) 為fs。梯子的重量略去不計。今有一 重為P的人沿梯子向上爬，如果保證 人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子 與墻壁的夾角q 。 q l a A B P 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 例題4-3 14 以梯子AB為研究對象，人的位置用距離 a 表示，梯子的受力如圖。 解： 使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程： , 0 x F0 sN FF B , 0 y F0 N PF A , 0

11、 F A M0 cos sin N qqlFPa B y q l a A B xFs FNA P FNB A FfF Nss 同時滿足物理條件 s tanf l a q 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 聯(lián)立解之得 因 0al， 當(dāng) a = l 時，上式左邊達到最大值。 所以 fs tan tanjq f或 f jq 即為所求 15 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 由實踐可知，使?jié)L子滾動比使它滑動省力，如果仍用下圖的 力學(xué)模型來分析就存在問題。即無論水平力F F 多么小，此物體均 不能平衡，因?qū)cA的矩的平衡方程不滿足，即 0)(F A M 4-4 4-4 滾動摩阻的概念滾動摩阻的概念

12、出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實際接觸面 并不是剛體，它們在力的作用下都會發(fā)生 一些變形，有一個接觸面，如圖所示。 這是與實際情況不符的，說明此 力學(xué)模型有缺陷，需要修正。 16 此力系向 A點簡化 與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶矩Mf 隨主動力 F的增 大而增大；但有一個最大值 Mmax ,即 或 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 maxf 0MM Nmax FM 且最大滑動摩阻力偶矩 上式即是滾動摩阻定律滾動摩阻定律， 稱為滾動摩阻系數(shù)滾動摩阻系數(shù)，具有長度 的量綱 ，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度 和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無關(guān)。 17 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 滾阻系數(shù)的物理意義如下 由力的平移定理 , NN N max FF F M d 與 Nmax FM比較得d 一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很 小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計。小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計。 18 取輪子為研究對象,受力分析如圖。由平衡方程 解: 靜力學(xué)靜力學(xué)第四章第四章 摩擦摩擦 例題4-4 勻質(zhì)輪子的重量P = 3 kN，半徑 r = 0.3 m；今在輪中 心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成