2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第8章 函數(shù)應(yīng)用 8.1 8.1.1 函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)案 蘇教版必修第一冊(cè)

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第8章 函數(shù)應(yīng)用 8.1 8.1.1 函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)案 蘇教版必修第一冊(cè)2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第8章 函數(shù)應(yīng)用 8.1 8.1.1 函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)案 蘇教版必修第一冊(cè)年級(jí)：姓名：8.1二分法與求方程近似解8.1.1函數(shù)的零點(diǎn)學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1理解函數(shù)的零點(diǎn)的概念以及函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系(重點(diǎn))2會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)(重點(diǎn)、難點(diǎn))3掌握函數(shù)零點(diǎn)的存在定理并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(難點(diǎn))1通過零點(diǎn)的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的素養(yǎng)2借助函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).解方程的歷史方程解法時(shí)間圖東方方程解法時(shí)間圖西方知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的零點(diǎn)

2、的定義一般地，我們把使函數(shù)yf(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)1.函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？提示不是，函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)2方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系(1)函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)解(2)函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是它的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)嗎？提示不是，函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1.函數(shù)f(x)2x4的零點(diǎn)是_2由2x40得x2，所以2是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3零點(diǎn)存在定理若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)0.答案(1)(2)(3) 類型1求函數(shù)的零點(diǎn)【例1】求下列函數(shù)的零點(diǎn)(1)f

3、(x)x3x；(2)f(x)2x8；(3)f(x)1log4x；(4)f(x)(ax1)(x2)(ar)解(1)f(x)x3xx(x21)x(x1)(x1)，令f(x)0，得x0,1，1，故f(x)的零點(diǎn)為x1，0,1.(2)令f(x)2x80，x3，故f(x)的零點(diǎn)為x3.(3)令f(x)1log4 x0，log4 x1，x4.故f(x)的零點(diǎn)為x4.(4)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)為f(x)x2，令f(x)0，得x2.f(x)的零點(diǎn)為2.當(dāng)a時(shí)，f(x)(x2)(x2)2，令f(x)0，得x1x22.f(x)有零點(diǎn)2.當(dāng)a0且a時(shí)，令f(x)0，得x1，x22.f(x)的零點(diǎn)為，2.綜上，當(dāng)a0時(shí)，f

4、(x)的零點(diǎn)為2；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為2；當(dāng)a0且a時(shí)，f(x)的零點(diǎn)為，2.怎樣求函數(shù)的零點(diǎn)？提示求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x)0，若方程f(x)0有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，該方程的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；否則，函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；(2)已知函數(shù)f(x)axb(a0)的零點(diǎn)為3，求函數(shù)g(x)bx2ax的零點(diǎn)解(1)當(dāng)x0時(shí)，令x22x30，解得x3；當(dāng)x0時(shí)，令2ln x0，解得xe2.所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為3和e2.(2)由已知得f(3)0，即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax

5、(3x1)0，解得x0或x.所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為0和. 類型2函數(shù)零點(diǎn)的證明【例2】證明函數(shù)f(x)ln(x1)在(1,2)上存在零點(diǎn)證明因?yàn)閒(1)ln 220，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上的圖象是不間斷的，所以函數(shù)f(x)ln(x1)在(1,2)上存在零點(diǎn)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)跟進(jìn)訓(xùn)練2證明f(x)x33x1在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)證明因?yàn)閒(0)0330110，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的圖象是不間斷的，所以函數(shù)f(x)x33x1在(0,1)上有零點(diǎn) 類型3判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間【例

6、3】(1)二次函數(shù)f(x)ax2bxc的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x32101234y6m4664n6不求a，b，c的值，判斷方程ax2bxc0的兩根所在區(qū)間是()a(3，1)和(2,4)b(3，1)和(1,1)c(1,1)和(1,2) d(，3)和(4，)(2)f(x)exx2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()a(2，1) b(1,0)c(0,1) d(1,2)(1)a(2)c(1)易知f(x)ax2bxc的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，又f(3)f(1)6(4)240，所以f(x)在(3，1)內(nèi)有零點(diǎn)，即方程ax2bxc0在(3，1)內(nèi)有根，同理方程ax2bxc0在(2,4)內(nèi)有根故選a.(2)法一：f(0)10

7、，f(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)法二：exx20，即ex2x，原函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間即為函數(shù)yex和y2x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間如圖，由圖象可得函數(shù)yex和y2x的圖象交點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1)確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法解方程法當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上零點(diǎn)存在定理首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)數(shù)形結(jié)合法通過畫函數(shù)圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷跟進(jìn)訓(xùn)練3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex(x3)0(e2.72)的一個(gè)根所在的區(qū)間是_

8、(填序號(hào))x10123ex0.3712.727.4020.12x323456(1,0)；(0,1)；(1,2)；(2,3)設(shè)f(x)ex(x3)，由上表可知，f(1)0.3720，f(0)130，f(1)2.7240，f(3)20.1260，f(1)f(2)0，因此方程ex(x3)0的根在(1,2)內(nèi) 類型4函數(shù)零點(diǎn)(方程不等實(shí)根)個(gè)數(shù)的判斷【例4】(1)函數(shù)f(x)ex3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(2)函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_(3)已知關(guān)于x的一元二次方程(x1)(3x)ax(ar)，試討論方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)(1)1(2)2(1)令f(x)0，ex30，xln 3，故f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)(2)在

9、同一坐標(biāo)系中畫出yln x與y的圖象，如圖所示，函數(shù)yln x與y的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(3)解法一：原方程化為x25x3a.令f(x)x25x3，g(x)a.作函數(shù)f(x)x25x3的圖象，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，畫出如圖所示的簡(jiǎn)圖：由圖象可以看出：當(dāng)a時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)a時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根法二：原方程化為x25x3a0.254(3a)4a13.當(dāng)0，即a時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，即a時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，即a時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根把本例(1)函數(shù)改為“y2x|logax|1(0a1

10、)”再判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù)解由2x|logax|10得|logax|x，作出yx及y|logax|(0a1)的圖象如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y2x|logax|1有兩個(gè)零點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)的存在性，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(2)利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)跟進(jìn)訓(xùn)練4函數(shù)f(x)lg xsin x的零點(diǎn)有i(in*)個(gè)，記為xi，xi，kn*，則k構(gòu)成的集合為_1,4,5由f(x)lg xsin x得lg xsin x，在同一坐標(biāo)系中作出ylg x和ysin x的圖象，如下圖，由圖象知，函數(shù)f(x)

11、lg xsin x有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，因?yàn)閤i，kn*，所以k1,4,5，所以k構(gòu)成的集合為1,4,51(多選題)下列圖象表示的函數(shù)中有零點(diǎn)的是()bcdb、c、d的圖象均與x軸有交點(diǎn)，故函數(shù)均有零點(diǎn)，a的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)沒有零點(diǎn)2函數(shù)f(x)2x3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()a(0,1)b(1,2)c(2,3) d(3,4)bf(1)2310，f(1)f(2)0，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)3設(shè)函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)exx3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()a1b2c3 d4c因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)閞的奇函數(shù)，所以f(0)0，所以0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，令f(x)exx30，則exx3.分別畫出函數(shù)yex和yx3的圖象，如圖所示，有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在(0，)上有一個(gè)零點(diǎn)又根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x0時(shí)函數(shù)f(x)也有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.應(yīng)選c.4已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對(duì)應(yīng)值表：x1234567f(x)136.13615.5523.9210.8852.488232.06411.238由表可知函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有_個(gè)4f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(6)f(7)0，共有4個(gè)區(qū)間5函數(shù)f(x)x2ax1在區(qū)間上有零點(diǎn)，