勾股定理--直角三角形三邊的關(guān)系

1、 寡婦與母雞寡婦與母雞 有個(gè)寡婦養(yǎng)著一只母雞，母雞每天 下一個(gè)蛋。她以為多給雞喂些大麥， 就會每天下兩個(gè)蛋。于是，她就每天 這樣喂，結(jié)果母雞長得越來越肥，每 天連一個(gè)蛋也不下了。 這故事說明，有些人因?yàn)樨澙?，這故事說明，有些人因?yàn)樨澙罚?想得到更多的利益，結(jié)果連現(xiàn)有的都想得到更多的利益，結(jié)果連現(xiàn)有的都 失掉了。失掉了。 舊知回顧舊知回顧 1.三角形三邊有什么關(guān)系？三角形三邊有什么關(guān)系？ 2.直角三角形具有這樣的關(guān)系嗎？直角三角形具有這樣的關(guān)系嗎？ 直角三角形除了具有這樣的關(guān)系，直角三角形除了具有這樣的關(guān)系， 它還具有什么關(guān)系呢？它還具有什么關(guān)系呢？ （圖中每一格代表一平方厘米）（圖中每一格代表

2、一平方厘米） 觀察左圖：觀察左圖： （1 1）正方形）正方形P P的面積是的面積是 平方厘米。平方厘米。 （2 2）正方形）正方形Q Q的面積是的面積是 平方厘米。平方厘米。 （3 3）正方形）正方形R R的面積是的面積是 平方厘米。平方厘米。 1 2 1 上面三個(gè)正方形的上面三個(gè)正方形的 面積之間有什么關(guān)面積之間有什么關(guān) 系？系？ SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形等腰直角三角形ABCABC三邊長度之三邊長度之 間存在什么關(guān)系嗎？間存在什么關(guān)系嗎？ 探究探究 S Sp p=AC=AC2 2 S SQ Q=BC=BC2 2 S SR R=AB=AB

3、2 2 這說明：這說明： 在在等腰等腰直角三角形直角三角形ABCABC中中, ,兩直兩直 角邊的平方和等于斜邊的平方角邊的平方和等于斜邊的平方 那么那么, ,在一般的直角三角形中在一般的直角三角形中, ,兩直角邊兩直角邊 的平方和是否等于斜邊的平方呢的平方和是否等于斜邊的平方呢? ? Q P R 圖圖1-3 Q P R 圖圖1-4 把把R R看作是四個(gè)直角三角形的面積看作是四個(gè)直角三角形的面積+ +小正方形面積。小正方形面積。 (每一小方格表示 每一小方格表示1平方厘米平方厘米) 正方形 R的面 積是多 少呢？ Q P R 圖圖3 Q P R 圖圖4 把把R R看作是大正方形面積減去四個(gè)直角三

4、角形的面積?？醋魇谴笳叫蚊娣e減去四個(gè)直角三角形的面積。 43 2 1 47 2 25 S S正方形 正方形R R P的面的面 積積(單位單位 長度長度) Q的面的面 積積(單位單位 長度長度) R的面的面 積積(單位單位 長度長度) 圖圖2 圖圖3 P、Q、 R面積面積 關(guān)系關(guān)系 直角三直角三 角形三角形三 邊關(guān)系邊關(guān)系 Q P R 圖圖2 Q P R 圖圖3 A B C A BC 91625 9413 SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 (每一小方格表示每一小方格表示1平方厘米平方厘米) 分別以分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作為直角三角形的直角邊作 出一個(gè)直角三角形出一個(gè)

5、直角三角形ABC，測量斜邊的長度，然后，測量斜邊的長度，然后 驗(yàn)證上述關(guān)系對這個(gè)直角三角形是否成立。驗(yàn)證上述關(guān)系對這個(gè)直角三角形是否成立。 概括概括 對于任意的直角三角形，如果它的兩條直 角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有 a2+b2=c2 直角三角形兩直角邊的平方和等于直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方斜邊的平方. 揭示了直角三角形三條邊的揭示了直角三角形三條邊的 關(guān)系關(guān)系 a A B C b c 幾何語言：幾何語言： 在在RtABC中中 C=90（已知）（已知） a2+b2=c2（勾股定理）（勾股定理） 勾股定理勾股定理: 兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉

6、斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此 在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯 年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。 定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955 國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前， 國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前， 國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前， 國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前， 國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前， 國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，

7、國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前， 國家多年國家多年 兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯 學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在 國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定 理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年年 希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。 我國是最早了解勾股定理的國家我國是最早了解勾股定理的國家 之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商 高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，高就提出，將一根直尺折成

8、一個(gè)直角， 如果勾等于三，股等于四，那么弦就等如果勾等于三，股等于四，那么弦就等 于五，即于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被，它被 記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀周髀 算經(jīng)算經(jīng)中。中。其中較短的直角邊叫勾，較其中較短的直角邊叫勾，較 長的直角邊叫股，斜邊叫長的直角邊叫股，斜邊叫弦。弦。 勾股定理的證明(一) 最早是由1700 多年前多年前三國時(shí) 期的數(shù)學(xué)家趙 爽為周髀算 經(jīng)作注時(shí)給 出的，他用面面 積法積法證明了勾 股定理 你能用面積法面積法 證明勾股定理 嗎？ “弦圖弦圖” c a b c a b c a b c a b 大正方形的面積可以表示為

9、大正方形的面積可以表示為 ； 也可以表示為也可以表示為 c2 abab 2 1 4)( 2 c2= =b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2 a2+b2=c2 abab 2 1 4)( 2 勾股定理的證明(二) 大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ； 也可以表示為也可以表示為 (a+b)2 2 4 ab C2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2 a2+b2=c2 2 4 ab C2 求出下列直角三角形中未知邊的長度求出下列直角三角形中未知邊的長度 222 43 x 22 43 x 22 86 y 10y 3 4 68 x y 5x 例：例： cab 22

10、 acb 22 a b c c2=a2 + b2 a2=c2 b2 b2 =c2 a2bca 22 結(jié)論變形結(jié)論變形 直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方； 求下列直角三角形中未知邊的長求下列直角三角形中未知邊的長: : 8 8 x x 1717 1212 5 5 x x 解：在直角三角形中，解：在直角三角形中， 依勾股定理可得：依勾股定理可得： 82+ X2=172 即：即：X=172-82 =15 解：在直角三角形中，解：在直角三角形中， 依勾股定理可得：依勾股定理可得： 52+ 122= X2 即：即：X=52+122 =13 課堂課堂 練練 習(xí)習(xí) 求出下列直角三角形中未知邊的長

11、度。求出下列直角三角形中未知邊的長度。 6 x 25 24 8 X 例例: : 在直角在直角ABCABC中中, C=90, C=90,a,b,c,a,b,c分別為分別為A, A, B ,CB ,C的對邊的對邊. . (1)(1)若若a=3, a=3, b=4,=4,求求c的長的長(2)若若a=5, c =12,求求b的長的長 (3)(3)若若a:b=3:4,c=15,a:b=3:4,c=15,求求a,ba,b的長的長 練習(xí)練習(xí) (1)在直角在直角ABC中，中，A=90 a=5，b=4，則求，則求c的值？的值？ (2) 在直角在直角ABC中，中，B=90， a=3， b=4，則求，則求c的值？的

12、值？ c =24，b=25，則求，則求a的值？的值？ (3) 在直角在直角ABC中，中，c=90， 若若a:c=5:13,b=24,求求a,c的長的長 （4 4）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是5 5厘厘 米和米和1212厘米，那么這個(gè)三角形的周長是多少厘厘米，那么這個(gè)三角形的周長是多少厘 米？米？ 可要當(dāng)心噢！ 在直角在直角ABC中，中， a=3， b=4， 則求則求c的值？的值？ A D B C 3 4 （5 5）已知）已知ACB=90ACB=90, , CDAB,AC=3,BC=4.CDAB,AC=3,BC=4. 求求CDCD的長的長. . （6 6

13、）小波家買了一部新彩電,小波量了電視 機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕長58厘米和寬46厘米， 就問媽媽彩電是多少英寸,媽媽告訴他: “我們平常所說的電視機(jī)多少英寸指的是屏 幕對角線的長度,1英寸等于2.54厘米,利用 你所學(xué)的知識算一下電視機(jī)是多少英寸的?” 如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)A、 B之間的距離，之間的距離， 一個(gè)觀測者在點(diǎn)一個(gè)觀測者在點(diǎn)C設(shè)樁，使三角形恰好為直角三角設(shè)樁，使三角形恰好為直角三角 形通過測量，得到形通過測量，得到AC長長160米，長米，長128米問從點(diǎn)米問從點(diǎn)A 穿過湖到點(diǎn)穿過湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)? 如圖如圖14.1.9，在直角三角形中，在直角三

14、角形中， AC米，米，米，米， 根據(jù)勾股定理可得根據(jù)勾股定理可得 96（米）（米） 答：答： 從點(diǎn)從點(diǎn)A穿過湖到點(diǎn)穿過湖到點(diǎn)B有有96米米 22 BCAC 22 128160 解解 例例 如圖，將長為如圖，將長為1010米的梯子米的梯子ACAC斜靠斜靠 在墻上，在墻上，BCBC長為長為6 6米。米。 A B C 10 6 (1)求梯子上端求梯子上端A到墻的到墻的 底端底端B的距離的距離AB。 （2）若梯子下部）若梯子下部C向后向后 移動移動2米到米到C1點(diǎn)，那么梯點(diǎn)，那么梯 子上部子上部A向下移動了多少向下移動了多少 米？米？ A1 C1 2 鞏固提高鞏固提高 3 3、在波平如靜的湖面上、在波

15、平如靜的湖面上, ,有一朵美麗的紅蓮有一朵美麗的紅蓮 , ,它高它高 出水面出水面1 1米米 , ,一陣大風(fēng)吹過一陣大風(fēng)吹過, ,紅蓮被吹至一邊紅蓮被吹至一邊, ,花朵花朵 齊及水面齊及水面, ,如果知道紅蓮移動的水平距離為如果知道紅蓮移動的水平距離為2 2米米 , ,問問 這里水深多少這里水深多少? ? x+1x+1 B B C C A A H H 1 1 2 2 ? ? x x x x2 2+2+22 2=(x+1)=(x+1)2 2 回歸生活回歸生活 如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震 中于離地面中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在米處折斷倒下，樹頂落在

16、 離樹根離樹根24米處米處.大樹在折斷之前高多少？大樹在折斷之前高多少？ 24 10 解：如圖，在解：如圖，在RtABC中，中，B=90， AB=10米，米，BC=24米，米， 利用利用勾股定理勾股定理可以求出折斷倒下部分的長度為可以求出折斷倒下部分的長度為 AC AC AB = 26AB = 2610103636（米）（米）. 262410 22 AC 所以，大樹在折斷之前高為所以，大樹在折斷之前高為36米米. A B 90 160 40 40C 解：解： 過過A作鉛垂線，過作鉛垂線，過B作水平線，兩線交于點(diǎn)作水平線，兩線交于點(diǎn)C，則，則 ACB=90， AC=90-40=50（mm） BC

17、=160-40=120（mm) 由勾股定理有：由勾股定理有： AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2) AB0, AB=130(mm) 答：兩孔中心答：兩孔中心A，B的距離為的距離為130mm. 學(xué)海無涯學(xué)海無涯 2. 2.如圖，大風(fēng)將一根木制如圖，大風(fēng)將一根木制 旗桿吹裂，隨時(shí)都可能倒旗桿吹裂，隨時(shí)都可能倒 下，十分危急。接警后下，十分危急。接警后 “119”119”迅速趕到現(xiàn)場，并迅速趕到現(xiàn)場，并 決定從斷裂處將旗桿折斷。決定從斷裂處將旗桿折斷。 現(xiàn)在需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警現(xiàn)在需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警 戒區(qū)域，那么你能確定這戒區(qū)域，那么你能確定這 個(gè)安全區(qū)域的半徑至少是個(gè)安全區(qū)域的半徑至少是 多少米嗎？多少米嗎？ 9m 24m ? 3.假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去探寶旅游，按假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去探寶旅游，按 照探寶圖（如圖），他們登陸后先往東走照探寶圖（如圖），他們登陸后先往東走8千米，千米， 又往北走又往北走2千米，遇到障礙后又往西走千米，遇到障礙后又往西走3千米，再折千米，再折 向北