均勻化理論和多尺度方法

1、高等復(fù)合材料力學(xué) Advanced Mechanics of Composite Materials 陳玉麗陳玉麗 航空科學(xué)與工程學(xué)院航空科學(xué)與工程學(xué)院 6.1 6.1 引言引言 在考察實(shí)際復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時(shí)，由于熱在考察實(shí)際復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時(shí)，由于熱 載荷和機(jī)械載荷都是施加在宏觀結(jié)構(gòu)層面，所以研究采用的細(xì)觀力學(xué)模載荷和機(jī)械載荷都是施加在宏觀結(jié)構(gòu)層面，所以研究采用的細(xì)觀力學(xué)模 型必須能夠把細(xì)觀響應(yīng)和宏觀行為聯(lián)系起來(lái)。型必須能夠把細(xì)觀響應(yīng)和宏觀行為聯(lián)系起來(lái)。 單胞模型通過(guò)在非均勻結(jié)構(gòu)中提取出一個(gè)代表性體積單元單胞模型通過(guò)在非均勻結(jié)構(gòu)中提取出一個(gè)代表性體

2、積單元(RVE)從而從而 可以求得有效的材料響應(yīng)和演化過(guò)程。這里假設(shè)微結(jié)構(gòu)是周期性重復(fù)排可以求得有效的材料響應(yīng)和演化過(guò)程。這里假設(shè)微結(jié)構(gòu)是周期性重復(fù)排 列的單胞，與復(fù)合材料的宏觀尺寸相比，它的不均勻性是很小的，此種列的單胞，與復(fù)合材料的宏觀尺寸相比，它的不均勻性是很小的，此種 類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料（第三章（第三章 ） 。但是，。但是， 單胞法還是存在許多不足。周期性假設(shè)用于預(yù)測(cè)最優(yōu)材料性能非常有效，單胞法還是存在許多不足。周期性假設(shè)用于預(yù)測(cè)最優(yōu)材料性能非常有效， 然而然而實(shí)際的非均勻材料很少具有完全的周期性微結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)上不

3、同實(shí)際的非均勻材料很少具有完全的周期性微結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)上不同 的點(diǎn)可能具有不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。的點(diǎn)可能具有不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。這種假設(shè)在處理這種假設(shè)在處理復(fù)雜載荷條件復(fù)雜載荷條件下非線下非線 性非均勻結(jié)構(gòu)變形問(wèn)題時(shí)也存在不足。為了解決上述問(wèn)題，單胞模型應(yīng)性非均勻結(jié)構(gòu)變形問(wèn)題時(shí)也存在不足。為了解決上述問(wèn)題，單胞模型應(yīng) 該包含大的區(qū)域，采用大的模型。該包含大的區(qū)域，采用大的模型。 2 6.1 6.1 引言引言 20世紀(jì)世紀(jì)70年代，學(xué)者們?cè)谘芯糠蔷鶆虿牧蠒r(shí)引入了一種替代的數(shù)學(xué)年代，學(xué)者們?cè)谘芯糠蔷鶆虿牧蠒r(shí)引入了一種替代的數(shù)學(xué) 方法，方法，Benssousan和和Sanchez-Palencia等稱之為

4、等稱之為均勻化理論均勻化理論。這種方法用。這種方法用 于分析具有于分析具有兩個(gè)或者多個(gè)尺度兩個(gè)或者多個(gè)尺度的物質(zhì)系統(tǒng)，它可以把含有第二相空間的的物質(zhì)系統(tǒng)，它可以把含有第二相空間的 細(xì)觀尺度和整體結(jié)構(gòu)上的宏觀尺度聯(lián)系起來(lái)。細(xì)觀尺度和整體結(jié)構(gòu)上的宏觀尺度聯(lián)系起來(lái)。 通過(guò)對(duì)位移和應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行通過(guò)對(duì)位移和應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行漸進(jìn)展開(kāi)漸進(jìn)展開(kāi)以及適當(dāng)?shù)淖兎衷?，均勻化方以及適當(dāng)?shù)淖兎衷恚鶆蚧?法不僅可以求出等效的（均勻化）材料常數(shù)，而且可以得到兩個(gè)尺度上法不僅可以求出等效的（均勻化）材料常數(shù)，而且可以得到兩個(gè)尺度上 的應(yīng)力和應(yīng)變分布。相對(duì)于單胞法，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于的應(yīng)力和應(yīng)變分布。相對(duì)于單胞法，這種方法的優(yōu)

5、點(diǎn)在于不必作全局的不必作全局的 周期性假設(shè)周期性假設(shè)，在宏觀結(jié)構(gòu)的不同點(diǎn)可以有不同的微結(jié)構(gòu)。然而，這種分，在宏觀結(jié)構(gòu)的不同點(diǎn)可以有不同的微結(jié)構(gòu)。然而，這種分 析通過(guò)引入空間重復(fù)排列單胞作了析通過(guò)引入空間重復(fù)排列單胞作了局部周期性假設(shè)局部周期性假設(shè)。 Toledano和和Murakami，Guedes和和Kikuchi以及以及Devries等成功地把有限等成功地把有限 元方法和均勻化方法結(jié)合起來(lái)用于分析復(fù)合材料的線彈性問(wèn)題。在這些元方法和均勻化方法結(jié)合起來(lái)用于分析復(fù)合材料的線彈性問(wèn)題。在這些 研究當(dāng)中，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬宏觀結(jié)構(gòu)的平均應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)得到了全局的研究當(dāng)中，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬宏觀結(jié)構(gòu)的平均應(yīng)力

6、和應(yīng)變場(chǎng)得到了全局的 響應(yīng)，同時(shí)借助局部應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)的描述得到了微結(jié)構(gòu)的行為。響應(yīng)，同時(shí)借助局部應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)的描述得到了微結(jié)構(gòu)的行為。 3 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 4 一具有周期性結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料彈性體一具有周期性結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料彈性體 ，受體力，受體力f，邊界，邊界 t 上受表面力上受表面力t，邊界，邊界 u 上給定位移邊界條件。上給定位移邊界條件。宏觀某點(diǎn)宏觀某點(diǎn) x 處的細(xì)處的細(xì) 觀結(jié)構(gòu)可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復(fù)堆積而成。觀結(jié)構(gòu)可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復(fù)堆積而成。 單胞的單胞的尺度尺度 y 相對(duì)于宏觀幾何尺度為小量。相對(duì)于宏觀幾何尺度為小量。 x f t

7、 u y 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 5 04321 04321 x y=x/ 01 宏觀尺度：宏觀尺度： 微觀尺度：微觀尺度： 例如：例如：宏觀尺度為宏觀尺度為 m，微觀尺度為微觀尺度為 nm， = 10-9 實(shí)際為實(shí)際為 1m 的尺寸，即的尺寸，即 x=1 (m)， 在微觀尺度下在微觀尺度下 y=x/= 109 (nm) 實(shí)際為實(shí)際為1nm的尺寸，即的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏觀尺度下，在宏觀尺度下 x=y= 10-9 (m) y 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 6 對(duì)于非均勻的復(fù)合材料，當(dāng)宏觀結(jié)構(gòu)受外部作用時(shí)，位移對(duì)于非均勻的復(fù)合材料，當(dāng)宏觀結(jié)構(gòu)受外部作用時(shí)，位移

8、和應(yīng)力等結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時(shí)由于細(xì)和應(yīng)力等結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時(shí)由于細(xì) 觀結(jié)構(gòu)的高度非均勻性，使得這些結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量在宏觀位置觀結(jié)構(gòu)的高度非均勻性，使得這些結(jié)構(gòu)場(chǎng)變量在宏觀位置 x 非非 常小的鄰域常小的鄰域 內(nèi)也會(huì)有很大變化。因此所有變量都假設(shè)依賴于內(nèi)也會(huì)有很大變化。因此所有變量都假設(shè)依賴于 宏觀與細(xì)觀兩種尺度，即：宏觀與細(xì)觀兩種尺度，即： , xx yy = x 上標(biāo)上標(biāo) 表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。 , x yx y+Y Y-周期性：微觀單胞的周期為周期性：微觀單胞的周期為Y 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 7 在在 中

9、，彈性張量中，彈性張量 和柔度張量和柔度張量 分別為分別為 假設(shè)應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)都滿足平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程，有假設(shè)應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)都滿足平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程，有 其中其中 是細(xì)觀坐標(biāo)系是細(xì)觀坐標(biāo)系 y 中的具有中的具有 Y-周期的位移場(chǎng)。周期的位移場(chǎng)。 同時(shí)，在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足同時(shí)，在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足 ijkl E ijkl S ( )( , )in ijklijkl EE xx y( )( , )in ijklijkl SS xx y , in ij ji f 1 in 2 kl kl lk uu e xx in ijijklkl E e ( ,

10、) uu x y on ijjit nt on iiu uu 均勻化方法均勻化方法 8 3 3）以傅里葉變換為基礎(chǔ)的多尺度方法）以傅里葉變換為基礎(chǔ)的多尺度方法 2 2）泰勒）泰勒級(jí)數(shù)近似法（級(jí)數(shù)近似法（Taylor Series Approximation） 1 1）漸進(jìn)展開(kāi)漸進(jìn)展開(kāi)法法（Asymptotic expansion） 6.3 6.3 漸進(jìn)展開(kāi)法漸進(jìn)展開(kāi)法 9 在均勻化理論中，在均勻化理論中， Y-周期位移場(chǎng)可以近似為宏觀坐標(biāo)周期位移場(chǎng)可以近似為宏觀坐標(biāo) x 的展開(kāi)式，的展開(kāi)式， 漸進(jìn)展開(kāi)漸進(jìn)展開(kāi)是其中比較常用的一種展開(kāi)方法中，其展開(kāi)形式為：是其中比較常用的一種展開(kāi)方法中，其展開(kāi)形

11、式為： 0122 ( , )( , )( , ), x uxux yu x yux yy 1 , iii xxy x x y 注意到任意一個(gè)依賴于兩個(gè)尺度的函數(shù)注意到任意一個(gè)依賴于兩個(gè)尺度的函數(shù) 對(duì)宏觀坐標(biāo)對(duì)宏觀坐標(biāo) x 的偏微分為的偏微分為 000011 11222233 2 10 11 1 22 1 , klklklkl kl lklklklk klklklkl lklklklk klkl uuuuuuuu e xxyyxxyy uuuuuuuu xxyyxxyy ee x yx 122 , klkl eeyx yx y 應(yīng)變張量應(yīng)變張量 Asymptotic expansion 6.3

12、6.3 漸進(jìn)展開(kāi)法漸進(jìn)展開(kāi)法 10 代入本構(gòu)方程，可得應(yīng)力場(chǎng)的漸進(jìn)展開(kāi)式：代入本構(gòu)方程，可得應(yīng)力場(chǎng)的漸進(jìn)展開(kāi)式： 其中其中 10122 1 , klklklklkl eeeee x yx yx yx y 將應(yīng)力的漸進(jìn)展開(kāi)式代入平衡方程，有將應(yīng)力的漸進(jìn)展開(kāi)式代入平衡方程，有 10122 1 , klklklklkl x yx yx yx y ,1,0,1,2 nn ijijklkl E en x y 1100 1122 2 , 111 , 11 0 jjjj jjjj ijijijij ijijijij i xyxy f xyxy x yx yx yx y x yx yx yx y 6.3 6.

13、3 漸進(jìn)展開(kāi)法漸進(jìn)展開(kāi)法 11 令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程： 1 2 10 1 01 0 12 1 1 , :0 , :0 , :0 , :0 , :0,1,2,3 j jj jj jj jj ij ijij ijij i ijij nn ijijn O y O xy Of xy O xy On xy x y x yx y x yx y x yx y x yx y （1 1） （2 2） （3 3） 6.3 6.3 漸進(jìn)展開(kāi)法漸進(jìn)展開(kāi)法 12 根據(jù)根據(jù)Y-周期性，可以證明（周期性，可以證明（Devries et al.

14、1989） 0 0 k ijkl jl u E yy 可以得到可以得到 00 ( )uux 1 0 ij （2）式 0 0 ijj y 01 0 kk ijkl jll uu E yxy （1）式 0 0 kl k ijij l u x y ( ) 0 kl ij j y y ( ) kl pklkl ijijpmpm m ET y y 其中其中 0 1 ( )kl k ii l u u x y 1 () 2 kl ijikjliljk T 細(xì)觀平衡方程細(xì)觀本構(gòu)方程 1 10 01 0(1) 0(2) 0(3) j jj jj ij ijij ijij i y xy f xy 6.3 6.3

15、漸進(jìn)展開(kāi)法漸進(jìn)展開(kāi)法 13 在在Y 內(nèi)積分，有內(nèi)積分，有 0 0 kl k ijij l u x y 0 0 k ijijkl l u E x H 1 klkl ijklijij Y EdY Y H y 均勻化彈性常數(shù) （3）式 0 0in ij i j f x 1 10 01 0(1) 0(2) 0(3) j jj jj ij ijij ijij i y xy f xy 均勻化的宏觀平衡方程 0 0 in, on,on ij k iijijkl jl ijjitiiu u fE xx ntuu H 0 令令 宏觀彈性問(wèn)題的解 6.3 6.3 漸進(jìn)展開(kāi)法漸進(jìn)展開(kāi)法 14 x y=x/ 宏觀宏觀

16、 微觀微觀 尺尺 度度 z=x/2 對(duì)位移漸進(jìn)展開(kāi)對(duì)位移漸進(jìn)展開(kāi) 0122 uuuu 代入平衡方程代入平衡方程 , 0 ij ji f 得到控制方程得到控制方程 不同階系數(shù)為零 得到均勻化方程得到均勻化方程 利用周期邊條化簡(jiǎn)控制方程 動(dòng)態(tài)問(wèn)題怎么辦？動(dòng)態(tài)問(wèn)題怎么辦？ 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（1 1） 15 彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題: , 0 iij j u 012 2 , , , , , iiii tuuuttutx yx yx yx y 1 ( , , )( , , ) n i i i x y tx y t 0 ( , , )( , , ) n i i i u

17、 x y tu x y t 參考文獻(xiàn)：Fish, J. and Chen, W. (2001). Higher-Order Homogenization of Initial/ Boundary-Value Problem. J. Eng. Mech., 127(12), 12231230. 1 ;,xxy uuu ;x eu Ee x y=x/ 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（1 1） 16 令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程： 2 0, , 1 0,0,1, , ,1,1,2, , :0 :0 :0 0,

18、1,2,3, y y yxy yxy i ii xiyixiy xy OEu OEuEuEu OuE uuE uu in 10, ,1, 0,1,2,3, y ii xiy Eu E uuin 不同階的應(yīng)力為不同階的應(yīng)力為： 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（1 1） 17 2 0, , :0 y y OEu 00 ,uUx t dy 0, , 0 y y Eu 0 u 2 00,0, 0 d0 yy uEuE uy 00,0,0, , dd0 yyy y uEuyuEuy 0 0, 0 y u 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（1 1） 18 2 0, ,

19、 :0 y y OEu 00 ,uUx t 1 0,0,1, , :0 yxy yxy OEuEuEu 110, , x uUx tL y U 00, 1 xy UEL 0,1, , 0 xy y E Uu 110, , , x ux y tUx tL y U 線性問(wèn)題通解：線性問(wèn)題通解： 代入原式得：代入原式得： , , 10 y y EL 00, 1 xy UEL 1100 00yyyy uu 1100 00 yyyy uu 11 ( , , )( , )( )0u x y tU x tL y 如何求解如何求解 L(y) ？ 提示：提示： 1. 周期性（周期性（Periodicity）：）

20、： 2. 連續(xù)性（連續(xù)性（Continuity）：）： 3. 正交性（正交性（Normalization）：）： 請(qǐng)求出請(qǐng)求出L(y)（分段表達(dá)），進(jìn)而求出（分段表達(dá)），進(jìn)而求出 , 1 y EL 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（1 1） 19 2 0, , :0 y y OEu 00 ,uUx t 1 0,0,1, , :0 yxy yxy OEuEuEu 110, , x uUx tL y U 00, 1 xy UEL 12 , 12 1 1 Hy E E EEL EE 0 0,1,1,2, , :0 ixyxy xy OuE uuE uu 12 1 H 00, 0 H

21、Hxx UE U 均勻化后的材料性質(zhì)與靜態(tài)問(wèn)題是一致的。因此，均勻化后的材料性質(zhì)與靜態(tài)問(wèn)題是一致的。因此，0階問(wèn)題是無(wú)色散階問(wèn)題是無(wú)色散 的。為了反映波的色散效應(yīng)（的。為了反映波的色散效應(yīng)（dispersion effect），必須考慮更高階的項(xiàng)。），必須考慮更高階的項(xiàng)。 請(qǐng)證明請(qǐng)證明 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（1 1） 20 : O 2 :O 2 2 2 1122 2 2 12 1 121 H d H EEE E EE 11, 0 HHxx UE U 其中，其中，Ed 表征了非均勻?qū)暧^行為的影響。表征了非均勻?qū)暧^行為的影響。 Ed具有如下特性：具有如下特性： 1

22、）正比于單元尺寸的平方；）正比于單元尺寸的平方； 2）均勻材料（）均勻材料（=0 或或 =1） Ed =0。 右端力項(xiàng)正比于宏觀應(yīng)變梯度，梯度越小，右端項(xiàng)越小。右端力項(xiàng)正比于宏觀應(yīng)變梯度，梯度越小，右端項(xiàng)越小。 22,0,HHxxdxxxx UE UE U 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（1 1） 21 3 :O 4 :O 2 2 4 1122 12124 4 12 1 , 3601 H g H EEE Ef E E EE 其中，其中，Eg表征了微觀結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀行為的影響。表征了微觀結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀行為的影響。 Eg具有如下特性：具有如下特性： 1）強(qiáng)依賴于單元尺寸；）強(qiáng)依賴于單元

23、尺寸； 2）均勻材料（）均勻材料（=0 或或 =1） Eg =0。 如果材料的非均勻尺度很小，則色散效應(yīng)可以忽略。如果材料的非均勻尺度很小，則色散效應(yīng)可以忽略。 若若 ，界面沒(méi)有反射，則波不發(fā)生色散。，界面沒(méi)有反射，則波不發(fā)生色散。（物理角度）（物理角度） 44,2,0,HHxxdxxxxgxxxxxx UE UE UE U 33,1,HHxxdxxxx UE UE U 1122 EE 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（2 2） 22 01 空 間 尺 度 04321 04321 x y=x/ 宏觀尺度：宏觀尺度： 微觀尺度：微觀尺度： 時(shí) 間 尺 度 04321 04321

24、 =2t = t 慢尺度：慢尺度： 快尺度：快尺度： 彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題: , 0 iij j u 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（2 2） 23 彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題: , 0 iij j u 012 2 , , , , , , , , , iiii uuuu x yx yx yx y 1 ( , , , )( , , , ) n i i i x yx y 0 ( , , , )( , , , ) n i i i u x yu x y 參考文獻(xiàn)：Fish, J. et. al. (2002). Non-local dispersive model for

25、 wave propagation in heterogeneous media: one-dimensional case. Int. J. Numer. Meth. Engng, 54, 331346. 1 ;, 2 ;, xxy t uuu uuu ;x eu Ee x y=x/ 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（2 2） 24 令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程： 2 0, , 1 0,1, , 0 0,0,1,1,2, , 1 1,1,2,2,3, , 2 2,0,2,3,3,4, , :0 :0 :

26、0 :0 :20 y y xy y xyxy xy xyxy xy xyxy xy OEu OE uu OuE uuE uu OuE uuE uu OuuE uuE uu 6.4 6.4 含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（含時(shí)間的漸進(jìn)展開(kāi)（2 2） 25 2 0, , :0 y y OEu 1 0,1, , :0 xy y OE uu 12 , 12 1 1 Hy E E EEL EE 0 0,0,1,1,2, , :0 xyxy xy OuE uuE uu 12 1 H 0,0, 0 HHxx UE U 1 :O 2 :O 1,1, 0 HHxx UE U 2,2,0,0, 2 1 2 HHxxdxxxxH

27、 UE UE Uu 2 2 2 1122 2 2 12 1 121 H d H EEE E EE 高等復(fù)合材料力學(xué) Advanced Mechanics of Composite Materials 高等復(fù)合材料力學(xué) Advanced Mechanics of Composite Materials 第一章第一章 緒論緒論+張量基礎(chǔ)張量基礎(chǔ) 復(fù)合材料力學(xué)的三個(gè)重要特征、各向異性本構(gòu) 張量的基本概念、愛(ài)因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分、高斯公式（散度定理） 高等復(fù)合材料力學(xué) Advanced Mechani