2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 7.1 二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案北師大版

1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 7.1 二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案北師大版2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 7.1 二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案北師大版年級：姓名：第七章不等式、推理與證明7.1二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題必備知識預(yù)案自診知識梳理1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地,二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax+by+c=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域邊界直線.當(dāng)我們在平面直角坐標(biāo)系中畫不等式ax+by+c0所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應(yīng)邊界直線,則把邊界直線畫

2、成.(2)因?yàn)榘阎本€ax+by+c=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)代入ax+by+c,所得的符號都,所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(diǎn)(x0,y0)作為測試點(diǎn),由ax0+by0+c的即可判斷ax+by+c0表示的是直線ax+by+c=0哪一側(cè)的平面區(qū)域.(3)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.2.線性規(guī)劃的相關(guān)概念名稱意義線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對x,y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足的解(x,y)可行域所有組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到或的可行解線性規(guī)劃問題求線性

3、目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的或的問題1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式ax+by+c 0(a0,b0)ax+by+c0(a0,b0)ax+by+c 0(a0,b0,b0表示的平面區(qū)域在直線x-y-1=0的上方.()(2)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)在直線ax+by+c=0異側(cè)的充要條件是(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)0.()(3)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域.()(4)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上.()(5)在目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b0)中,z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.()2.不等式組x-3y+60

4、或ax+by+c0時,區(qū)域?yàn)橹本€ax+by+c=0的上方;當(dāng)b(ax+by+c)a”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.5,+)b.2,+)c.1,+)d.0,+)(4)(2020重慶一中模擬,文15)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x-y-20,x+2y-50,y-20,則函數(shù)z=4x18y的最小值為.考點(diǎn)線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例6】某家具廠有方木料90 m3,五合板600 m2,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m3,五合板2 m2,生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2 m3,五合板1 m2,出售一張書桌可獲利潤80元,出售一個書櫥可獲利潤120元.(1)如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤多

5、少?(2)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大?思考利用線性規(guī)劃解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟是什么?其注意事項(xiàng)是什么?解題心得利用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題的一般步驟(1)認(rèn)真分析并掌握實(shí)際問題的背景,收集有關(guān)數(shù)據(jù);(2)將影響該問題的各項(xiàng)主要因素作為決策量,設(shè)未知量;(3)根據(jù)問題的特點(diǎn),寫出約束條件;(4)根據(jù)問題的特點(diǎn),寫出目標(biāo)函數(shù),并求出最優(yōu)解或其他要求的解.對點(diǎn)訓(xùn)練3(2020河北張家口二模,理9)某市政府投入資金幫扶某農(nóng)戶種植蔬菜大棚脫貧致富,若該農(nóng)戶計(jì)劃種植冬瓜和茄子,總面積不超過15畝,幫扶資金不超過4萬元,冬瓜每畝產(chǎn)量10 000斤,成本2 000元,每斤售價0.5元,茄子每畝產(chǎn)量5 000斤,

6、成本3 000元,每斤售價1.4元,則該農(nóng)戶種植冬瓜和茄子利潤的最大值為()a.4萬元b.5.5萬元c.6.5萬元d.10萬元1.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的求解一般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成.2.線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及解題策略:(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得,因此對于一般的線性規(guī)劃問題,我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn),然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值.(2)由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù).求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法有兩種:一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用,根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)確定最值,通

7、過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍;二是先分離含有參數(shù)的式子,通過觀察的方法確定含參數(shù)的式子所滿足的條件,確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù)的值.第七章不等式、推理與證明7.1二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題必備知識預(yù)案自診知識梳理1.(1)平面區(qū)域不包括包括實(shí)線(2)相同符號2.線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值考點(diǎn)自診1.(1)(2)(3)(4)(5)2.c3.b作出不等式組表示的可行域,如圖中陰影部分所示,因此|om|的最小值為點(diǎn)o到直線x+y-2=0的距離,所以|om|min=|-2|2=2.4.13作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分,設(shè)yx=kop,p為可行域上

8、一點(diǎn),其中o(0,0),p(x,y),由x+y=2,x+3y-3=0,得a32,12,所以由圖可知,當(dāng)p位于a時,yxmax=koa=13.5.8作出可行域如圖所示(陰影部分).因?yàn)閦=x+2y,所以y=-12x+z2.作出直線y=-12x,平移直線可知,當(dāng)直線過點(diǎn)a時,z2最大,即z最大.由2x-y=1,x-y=-1,解得x=2,y=3,故a(2,3).所以zmax=2+23=8.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1(1)3(2)(2,+)(1)作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,平面區(qū)域?yàn)閍bc及其內(nèi)部,其中a(2,0),b(0,2),c(2,3),所以所求面積為122|ac|=3.(2)如圖所示

9、,x1,x-2y+10所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分,易知直線x=1與x-2y+1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為a(1,1),不等式組所表示的平面區(qū)域形狀為三角形,則點(diǎn)a位于直線x+y=m下方,據(jù)此有1+10,k=-a0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-akbc=-1,即0a1,若a0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-akac=2,即-2a0,目標(biāo)函數(shù)化為y=a2x-z2,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過a(a,-a+1)時,z取得最大值,所以a2+2a-2=13,a2+2a-15=0,解得a=3,或a=-5(舍去).故選a.例5-1或2作出不等式組表示的可行域,如圖.目標(biāo)函數(shù)z=y-ax可化為y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,則當(dāng)l0

10、ab或l0ac時符合題意,故a=-1或a=2.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)c(2)c(3)a(4)116(1)作出不等式組表示的可行域,如圖所示,由z=3x+2y,得y=-32x+z2,根據(jù)圖像可知,當(dāng)過m點(diǎn)時,z取最大值,聯(lián)立x-2y-2=0,y=0,解得x=2,y=0,所以m(2,0),則z的最大值為6.故選c.(2)作不等式組表示的可行域如圖,由z=2|x|-y可得y=2|x|-z,作y=2|x|圖像,由圖像可知,當(dāng)向上平移y=2|x|過點(diǎn)a時,-z最大,即z最小,令x=0,由y=x+1可得a(0,1),所以zmin=20-1=-1,故選c.(3)作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示

11、,令z=2x+y,得y=-2x+z,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)a處取得最大值,聯(lián)立直線方程x-y+1=0,7x-y-7=0,得點(diǎn)a43,73,所以z=2x+y的最大值為5,因?yàn)椤按嬖?x,y)r,2x+ya”為假命題,所以“任意(x,y),2x+ya”為真命題,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是5,+),故選a.(4)作出不等式組所表示的可行域如下,因?yàn)閦=4x18y=22x-3y,令t=2x-3y,則y=23x-t3,當(dāng)直線y=23x-t3過點(diǎn)m時,在y軸截距最大,此時t取最小值,則z=2t最小.由y=2,x+2y-5=0,得m(1,2),所以tmin=2-32=-4,則zmin=116.例

12、6解由題意可畫表格如下家具方木料/m3五合板/m2利潤/元書桌/個0.1280書櫥/個0.21120(1)設(shè)只生產(chǎn)書桌x個,可獲得利潤z元,則0.1x90,2x600,解得x900,x300,則x300.因?yàn)閦=80x,所以當(dāng)x=300時,zmax=80300=24000(元),即如果只安排生產(chǎn)書桌,最多可生產(chǎn)300張書桌,獲得利潤24000元.(2)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,書櫥y個,利潤總額為z元.由題可得x+2y900,2x+y600,x0,y0,z=80x+120y.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出不等式組所表示的可行域,如圖.作直線l0:80x+120y=0,即直線l0:2x+3y=0.把直線l0向右上方平移至l1的位置時,直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m(100,400),此時z=80x+120y取得最大值.所以當(dāng)x=100,y=400時,zmax=80100+120400=56000(元),即生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個,可使所得利潤最大.對點(diǎn)訓(xùn)練3b設(shè)冬瓜和茄子的種植面積分別為x,y畝,總利潤z萬元,則目標(biāo)函數(shù)z=(0.5x10000-2000x)+(1.4y5000-3000y)=3000