理論力學(xué) 拉格朗日方程

1、1 2 本章在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)本章在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo) 出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日第二類(lèi)方程（簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日第二類(lèi)方程（簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日 方程）。動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)方程）。動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn) 題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，顯題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，顯 得十分簡(jiǎn)捷、規(guī)范。得十分簡(jiǎn)捷、規(guī)范。 3 171 動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程 172 拉格朗日第二類(lèi)方程拉格朗日第二類(lèi)方程 173 拉格朗日第二類(lèi)方程的積分拉格朗日第二類(lèi)方程的積分 第十七章

2、第十七章 拉格朗日方程拉格朗日方程 4 iiiiiiii amQaNFmM ; , , , :設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn) 0 i QNF ii 若質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束若質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束，將 作為主動(dòng)力處理，則： i Q 0)( iii rQF 解析式解析式： 0)()()( iiiiiiiiiiii zzmZyymYxxmX 17-1動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程 動(dòng)力學(xué)普遍方程。動(dòng)力學(xué)普遍方程。 5 例例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑動(dòng)，三棱柱A置于光 滑水平面上，A和B的質(zhì)量分別為M和m，斜面傾角為 。試求三 棱柱A的加速度。 解解：研究?jī)扇庵M 成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受

3、理想 約束，具有兩個(gè)自由度。 r r B e B r B e BB A maQmaQ QQQ MaQ , 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)受到的在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)受到的 主動(dòng)力與慣性力在任意虛位移上所作的虛功之和為零。主動(dòng)力與慣性力在任意虛位移上所作的虛功之和為零。 6 由動(dòng)力學(xué)普遍方程： 0)sincos()cos( B r B e BA r B e BA sQQQxQQQ 系統(tǒng)為二自由度，取互不相關(guān)的 為獨(dú)立虛位移， 且 ，所以 BA sx, mgQ 0sincos 0cos r r mamgma mamaMa 解得： g mM m a )sin(2

4、2sin 2 7 17-2拉格朗日第二類(lèi)方程拉格朗日第二類(lèi)方程 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受s個(gè)完整約束且系統(tǒng)所受的約束是 理想約束，自由度 k=3n- s 。 下面推導(dǎo)以廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的形式。 質(zhì)點(diǎn) 。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為 ，則 iii rmM , : k qqq, 21 )( )2 , 1( )( ), 2 , 1( ),( 1 21 bni t r q q r dt rd v anitqqqrr k j i j j ii i kii 稱(chēng) 為廣義速度廣義速度。 dt dq q j j 8 k j j j i i cniq q r r 1 )( ), 2 , 1( 代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力

5、學(xué)普遍方程，得： n i n i iiiii n i iiii dramrFramF 111 )( 0)( k j jj k j j j i i n i j i i j i i k j n i j j i i k j j j i n i i n i ii qQ q q z Z q y Y q x X q q r Fq q r FrF 1 11 11111 )( )()( 9 稱(chēng) 為廣義力廣義力 )( )( 1 e q z Z q y Y q x XQ j i i j i i j i i n i j 0)( )()( 11 1111 j j i k j n i i ij n i j k j j

6、i ii k j jj n i iiii q q r dt vd mQ q q r amqQramF 則 )( ),2 , 1( 0 1 fkj q r dt vd mQ j i n i i ij 廣義慣性力 10 廣義慣性力可改變?yōu)橛觅|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示 , 因此 )()( 111 j i n i ii j i i n i i j i n i i i q r dt d vm q r v dt d m q r dt vd m 為簡(jiǎn)化計(jì)算 , 需要用到以下兩個(gè)關(guān)系式： j i j i j i j i q v q r dt d q v q r ; 下面來(lái)推導(dǎo)這兩個(gè)關(guān)系式： 第一式只須將(b)式兩邊對(duì)

7、求偏導(dǎo)數(shù)即可得到。 j q 11 第二式可比較(a)式先對(duì)ql求偏導(dǎo)數(shù) 再對(duì)t求導(dǎo)數(shù)與(b)式對(duì) ql求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)論得出。 : ,)( ) 2 1 () 2 1 ( )( 1 2 1 2 111 得式代入f q T q T dt d vm q vm qdt d q v vm q r v dt d m q r dt vd m jj n i ii j n i i j j i n i ii j i i n i i j i n i i i i ),1,2,( kjQ q T q T dt d j jj 拉格朗日第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日方程。拉格朗日第二類(lèi)動(dòng)力學(xué)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)拉格朗日方程。 12 如果

8、作用于質(zhì)點(diǎn)系的力是有勢(shì)力，則廣義力 可用質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì) 能來(lái)表達(dá)。 j Q ),1,2,( )( ),1,2,( )( 1 1 kj q U Q q z z U q y y U q x x U kj q z Z q y Y q x XQ j j j i ij i ij i i n i j i i j i i j i i n i j 而拉氏方程為：),1,2,( kj q U q T q T dt d jjj 引入拉格朗日函數(shù)：引入拉格朗日函數(shù)：L=T-U 則： ),1,2,( 0 )(kj q L q L dt d jj 保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 13 應(yīng)用拉氏方程解題的步

9、驟：應(yīng)用拉氏方程解題的步驟： 1. 判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意： 不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。 2. 計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 3. 計(jì)算廣義力計(jì)算廣義力 ，計(jì)算公式為：，計(jì)算公式為： ),1,2,( kjQ j )( 1 j i i j i i j i i n i j q z Z q y Y q x XQ 或 j j j q W Q )( 若主動(dòng)力為有勢(shì)力，須將勢(shì)能若主動(dòng)

10、力為有勢(shì)力，須將勢(shì)能U表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k個(gè)二階常微分方程。個(gè)二階常微分方程。 5. 求出上述一組微分方程的積分。求出上述一組微分方程的積分。 14 例例1 水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)。均質(zhì)桿OA：重P， 可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；均質(zhì)小齒輪：重Q，半徑 r ，沿半徑為R的固 定大齒輪滾動(dòng)。系統(tǒng)初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。 系桿OA受大小不變力偶M作用后，求系桿OA的運(yùn)動(dòng)方程。 所受約束皆為完整、理想、定常的， 可取OA桿轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。 r rR r v rRv A A A )( 解解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個(gè)

11、自由度 15 22 2 2 2 22222 222 )( 92 12 1 )( 2 1 2 1 )( 2 1 )( 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 rR g QP r rR r g Q rR g Q rR g P Iv g Q IT AAAO 0 ; )( 92 6 1 ; )( 92 6 1 2 2 )( )( T rR g QPT dt d rR g QPT M W Q MW 16 代入拉氏方程： g )(92( 6 0 )( 92 6 1 2 2 rRQP M M rR g QP 積分，得： 21 2 2 )(92( 3 CtCgt rRQP M 2 2 )(92( 3 gt r

12、RQP M 故： 代入初始條件，t =0 時(shí)， 得0 0 , 0 2100 C C 17 例例2 與剛度為k 的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光 滑水平面上滑動(dòng)。滑塊A上又連一單擺，擺長(zhǎng)l ， 擺錘質(zhì)量為 m2 ，試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 解解：將彈簧力計(jì)入主 動(dòng)力，則系統(tǒng)成為具 有完整、理想約束的 二自由度系統(tǒng)。保守 系統(tǒng)。取x , 為廣義 坐標(biāo)，x 軸 原點(diǎn)位于 彈簧自然長(zhǎng)度位置， 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?18 cos2 )sin( )cos( 222 2 22 l x lx l lxv B 系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)動(dòng)能： cos 2 1 )( 2 1 )cos2( 2 1 2 1 2 1 2 1

13、 2 22 2 2 21 222 2 2 1 2 2 2 1 l xmlmxmm l xlxmxmvmxmT B 19 系統(tǒng)勢(shì)能系統(tǒng)勢(shì)能：（以彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，滑塊A所在平面為 重力勢(shì)能零點(diǎn)） cos 2 1 2 2 glmkxU 拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)： kx x L lmxmm x L glmkxl xmlmxmm UTL , cos)( cos 2 1 cos 2 1 )( 2 1 221 2 2 2 22 2 2 21 20 sincos)( sinsin , cos sincos)( 22 2 2 222 2 2 2 2221 l xml xmlm L dt d glml

14、xm L l xmlm L lmlmxmm x L dt d 代入： 0sin cos 0sincos)( ),1,2,( 0)( 2 2221 glx kxlmlmxmm kj q L q L dt d jj 并適當(dāng)化簡(jiǎn)得： kx x L lmxmm x L glmkxl xmlmxmm UTL , cos)( cos 2 1 cos 2 1 )( 2 1 221 2 2 2 22 2 2 21 21 0sin cos 0sincos)( 2 2221 glx kxlmlmxmm 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 0 0)( 221 glx kxlmxmm 上式為系統(tǒng)在平衡位置(x

15、=0, =0)附近微幅運(yùn)動(dòng)的微分方程。 若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運(yùn)動(dòng)，此時(shí) 1o, cos 1, sin ，略去二階以上無(wú)窮小量，則 22 17-3 拉格朗日第二類(lèi)方程的積分拉格朗日第二類(lèi)方程的積分 對(duì)于保守系統(tǒng)，可以得到拉格朗日方程的某些統(tǒng)一形式 的首次積分，從而使得保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程進(jìn)一 步簡(jiǎn)化。 保守系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分包括：能量積分、循 環(huán)積分。 一、能量積分一、能量積分 設(shè)系統(tǒng)所受的主動(dòng)力是有勢(shì)力，且拉格朗日函數(shù)L = T - U 中不顯含t ，則 23 j j k j j j k j j j k j j j k j j q q L q L dt d q q L d

16、t d q q L q q L dt dL )()( 11 11 0)( 1 Lq q L dt d j k jj )( 1 常數(shù)CLq q L j k jj 廣義能量積分。廣義能量積分。 保守系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t 時(shí)，保守系統(tǒng)的廣 義能量守恒?？梢宰C明，當(dāng)系統(tǒng)約束為定常時(shí)，上式為 = 0 24 系統(tǒng)的廣義能量積分式就是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒方程式。 )( )(2 1 常數(shù)CUTUTTLq q L j k jj 二、循環(huán)積分二、循環(huán)積分 如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo) qr , 則該坐標(biāo) 稱(chēng)為保守系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)。 當(dāng) 為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)時(shí)，必有 )( krqr 0 r q

17、L 于是拉氏方程成為 0)( rr q L q L dt d 25 )( )( krC q L r 常數(shù) 積分得： 循環(huán)積分循環(huán)積分 因L = T - U，而U中不顯含 ，故上式可寫(xiě)成 )( )(常數(shù)CP q T UT qq L r rrr r q Pr稱(chēng)為廣義動(dòng)量，因此循環(huán)積分也可稱(chēng)為系統(tǒng)的廣義動(dòng)量積分。 保守系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于循環(huán)坐標(biāo)的廣義動(dòng)量守恒。 一個(gè)系統(tǒng)的能量積分只可能有一個(gè)；而循環(huán)積分可能不止 一個(gè)，有幾個(gè)循環(huán)坐標(biāo)，便有幾個(gè)相應(yīng)的循環(huán)積分。 能量積分和循環(huán)積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一 次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。 26 例例 3 楔形體重P，斜面傾角，置于光滑

18、水平面上。均 質(zhì)圓柱體重Q，半徑為 r ，在楔形體的斜面上只滾不滑。初始 系統(tǒng)靜止，且圓柱體位于斜面最高點(diǎn)。試求：(1)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 微分方程；(2)楔形體的加速度；(3)系統(tǒng)的能量積分與循環(huán)積 分。 解：解：研究楔形體與圓柱體組成 的系統(tǒng)。系統(tǒng)受理想、完整、 定常約束，具有兩個(gè)自由度。 取廣義坐標(biāo)為x, s ；各坐標(biāo)原 點(diǎn)均在初始位置。 27 系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能： )( cos 4 3 2 1 )( 2 1 2 1 )cos2( 2 1 2 1 22 22222 asx g Q s g Q x g QP r s r g Q sxsx g Q x g P T 系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能： 取水平面為重力勢(shì)能零點(diǎn)。 )