2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.1 數(shù)列的概念與表示學(xué)案北師大版

1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.1 數(shù)列的概念與表示學(xué)案北師大版2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.1 數(shù)列的概念與表示學(xué)案北師大版年級(jí)：姓名：第六章數(shù)列6.1數(shù)列的概念與表示必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列an的前n項(xiàng)和把數(shù)列an從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,記作sn,即sn=2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表達(dá)n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖像法把點(diǎn)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列

2、的通項(xiàng)用表達(dá)的方法遞推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表達(dá)數(shù)列的方法3.數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示方法,數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集1,2,n)的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列.4.數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性遞增數(shù)列任意nn+,遞減數(shù)列任意nn+,常數(shù)列任意nn+,an+1=an擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列周期性任意nn+,存在正整數(shù)常數(shù)k,an+k=an5.an與sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,則an=s1,n=1,sn-sn-1,n2.

3、在數(shù)列an中,若an最大,則anan-1,anan+1.若an最小,則anan-1,anan+1.考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).()(2)數(shù)列an和集合a1,a2,a3,an是一回事.()(3)若數(shù)列用圖像表示,則從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn).()(4)一個(gè)確定的數(shù)列,它的通項(xiàng)公式只有一個(gè).()(5)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,則對(duì)任意nn+,都有an=sn-sn-1.()2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且sn=n2+n,則a2的值是()a.2b.4c.5d.63.(2020北京海淀期中,7)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,

4、且sn=an(n=1,2,3,),則a2 020=()a.0b.1c.2 020d.2 0214.已知數(shù)列an滿足an=n(n+1)2,則s3=.5.(2020天津河?xùn)|一模)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且sn=a1(4n-1)3,若a4=32,則a1=.關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例1】根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值,寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)-1,7,-13,19,;(2)-112,123,-134,145,;(3)23,415,635,863,1099,;(4)5,55,555,5 555,.思考如何由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式?解題心得求數(shù)列通項(xiàng)公式或指定項(xiàng)

5、,通常用觀察法,觀察出前幾項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系,抽象出an與n的關(guān)系,對(duì)于正、負(fù)項(xiàng)相間的數(shù)列,一般用(-1)n或(-1)n+1來(lái)區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值,寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)12,2,92,8,252,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)1,2,1,2,1,2,;(4)9,99,999,9 999,.考點(diǎn)由an與sn的關(guān)系求通項(xiàng)an【例2】(1)(2020遼寧大連模擬,文15)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且滿足sn=2n+2-3,則an=.(2)(2020山西太原三模,文15)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且sn+an=-2,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=

6、.(3)設(shè)sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=snsn+1,則sn=.思考由an與sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an的一般方法是什么?解題心得1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和sn=f(n),則通項(xiàng)公式an=s1,n=1,sn-sn-1,n2.當(dāng)n=1時(shí),若a1適合sn-sn-1,則n=1的情況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)公式an;當(dāng)n=1時(shí),若a1不適合sn-sn-1,則用分段函數(shù)的形式表示.2.給出sn與an的遞推關(guān)系,求an的常用思路:一是利用sn-sn-1=an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為sn的遞推關(guān)系,先求出sn與n之間的關(guān)系,再求an.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)

7、和為sn,a1=2,sn+1=2sn-1,則a10=()a.128b.256c.512d.1 024(2)(2020山東煙臺(tái)一模,14)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為sn=2n2-n+1,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.(3)已知sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且log2(sn+1)=n+1,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.考點(diǎn)由數(shù)列的遞推關(guān)系式求an(多考向探究)考向1形如an+1=anf(n),求an【例3】在數(shù)列an中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.思考已知在數(shù)列an中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?考向2形如an+1=an+f(n),求an【例4】(20

8、20河北唐山一模,文15,理15)在數(shù)列an中,已知a1=1,an+1=an+tn(nn+,t為非零常數(shù)),且a1,a2,a3成等比數(shù)列,則an=.思考已知在數(shù)列an中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?考向3形如an+1=pan+q,求an【例5】已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.思考已知在數(shù)列an中,an+1=pan+q(p,q均為常數(shù)),利用什么方法求an?考向4由含an+1與an的二次三項(xiàng)式求an【例6】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通項(xiàng)公式.思考

9、已知含有an+1與an的二次三項(xiàng)式的遞推公式,如何求an?解題心得根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)若遞推關(guān)系為an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,則可以分別通過(guò)累加、累乘法求得通項(xiàng)公式,或用迭代法求得通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)遞推公式為an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù))時(shí),通常解法是先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-t=p(an-t),其中t=q1-p,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解;(3)當(dāng)遞推公式含有an+1與an的二次三項(xiàng)式時(shí),通常先對(duì)遞推公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形,轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,再用公式法求an.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2020遼寧大連模擬,文11)在數(shù)列an中

10、,a1=1,a=(n,an),b=(an+1,n+1),且ab,則a100=()a.10099b.-10099c.100d.-100(2)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+1n(n+1),則數(shù)列an=.(3)(2020山西太原二模,理15)已知數(shù)列an滿足ann=n-1nan+1n+1-1+1(nn+),且a2=6,則an的通項(xiàng)公式為.(4)(2020陜西寶雞三模,文15)已知數(shù)列an,bn滿足a1=1.1,b1=0.2,an+1=bn+1+an2,bn+1=13an+23bn,nn,令cn=an-bn,則數(shù)列cn的通項(xiàng)公式為.(5)已知數(shù)列an對(duì)任意的nn+都有an+1=an-2an+

11、1an,若a1=12,則a8=.考點(diǎn)數(shù)列的性質(zhì)(多考向探究)考向1數(shù)列的周期性【例7】在數(shù)列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,則s2 020=.解題心得解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng),確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4數(shù)列an滿足an+1=2an,0an12,2an-1,12an1的定義域?yàn)閞,數(shù)列an(nn+)滿足an=f(n),且an是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.(1,+)b.12,+c.(1,3)d.(3,+)解題心得解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的三種方法作差比較法根據(jù)an+1-an的符號(hào)判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或常數(shù)列續(xù)表作商比

12、較法根據(jù)an+1an(an0或an0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知數(shù)列an滿足an=(12-a)n+1,nan+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.0,12b.12,712c.12,1d.712,1考向3數(shù)列的最大(小)項(xiàng)【例9】(1)已知數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為sn,且sn=n+23an,則anan-1的最大值為()a.-3b.-1c.3d.1(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=12n-15,其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為()a.1,-17b.0,-17c.17,-17d.1,-111解題心得求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的常用思想(1)利用“兩邊夾”思想設(shè)an為數(shù)

13、列an中的最大項(xiàng),則有anan-1,anan+1(n2).若設(shè)an為數(shù)列an中的最小項(xiàng),則有anan+1,anan-1(n2).(2)利用函數(shù)思想構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,再求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng).根據(jù)an對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性確定,遞增數(shù)列:a1a2a2an,故(an)max=a1.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=nn2+90,則數(shù)列an中的最大項(xiàng)的值是()a.310b.19c.119d.1060(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=n2-10n(nn+),則數(shù)列nan中數(shù)值最小的項(xiàng)是()a.第2項(xiàng)b.第3項(xiàng)c.第4項(xiàng)d.第5項(xiàng)1.求數(shù)列通項(xiàng)公式或指定項(xiàng),通常用觀察法,觀察出前幾項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間

14、的關(guān)系,抽象出an與n的關(guān)系,對(duì)于正、負(fù)項(xiàng)相間的數(shù)列,一般用(-1)n或(-1)n+1來(lái)區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào).2.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,一般有三種常見(jiàn)思路:(1)先算出前幾項(xiàng),再歸納、猜想;(2)形如“an+1=pan+q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an+1+=p(an+),由待定系數(shù)法求出,再化為等比數(shù)列;(3)遞推公式化簡(jiǎn)整理后,若為an+1-an=f(n)型,則采用累加法;若為an+1an=f(n)型,則采用累乘法.3.求數(shù)列最大項(xiàng)的方法:(1)判斷an的單調(diào)性;(2)解不等式組akak-1,akak+1.1.在利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí),一定要注意自變量的取值是正整數(shù).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一.

15、3.注意an=sn-sn-1中需n2.4.由sn求an時(shí),利用an=s1,n=1,sn-sn-1,n2求出an后,要注意驗(yàn)證a1是否適合求出的an的關(guān)系式.第六章數(shù)列6.1數(shù)列的概念與表示必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.確定的順序每一個(gè)數(shù)a1+a2+an2.(n,an)公式3.函數(shù)值4.an+1anan+1sn,即sn+1-sn=an+10,an+1=2(n+1)+0,則-2n-2.又n7,-2n-2-16,即-16.(2)由于an是遞增數(shù)列,所以a1,且a2a1,即a22a+3,解得a3,所以a3.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5banan+1恒成立,a滿足12-aa,0a1,解得12a712.例9(1)c(2)a(1)sn=n+23an,當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=n+23an-n+13an-1,可化為anan-1=n+1n-1=1+2n-1,由函數(shù)y=2x-1在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,可得當(dāng)n=2時(shí),2n-1取得最大值2.anan-1的最大值為3.(2)因?yàn)閚n*,所以當(dāng)1n3時(shí),an=12n-150,單調(diào)遞減,所以最小項(xiàng)為a3=18-15=-17,最大項(xiàng)為a4=116-15=1,故選a.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)c(2)b(1)an=nn2+90=1n+90n,令