短時傅里葉變換STFT

1、短時傅里葉變換 FT在信號處理中的局限性: 用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部 時域信息。 傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成 分的變化情況。 1.短時傅里葉變換簡介 提出與基本思想 鑒于傅里葉變換的缺陷提出了窗函數(shù)的概念，提出一個靈活 可變的時間-頻率窗，使得在這個窗內(nèi)能夠體現(xiàn)頻率的信息， 這種信號分析方法稱為時間-頻率分析。而窗固定的時間-頻 率分析方法即為短時傅里葉變換。 短時傅里葉變換（STFT，short-time Fourier transform）。 其主要思想是將信號加窗，將加窗后的信號再進行傅里葉變 換，加窗后使得變換為時間t附近的很小時間上的局部譜， 窗

2、函數(shù)可以根據(jù)t的位置變化在整個時間軸上平移，利用窗 函數(shù)可以得到任意位置附近的時間段頻譜實現(xiàn)時間局域化。 STFT定義: 1946年，Gabor就提出了STFT，給定一信號，其STFT定義為: 短時譜的特點： 1)時變性：既是角頻率的函數(shù)又是時間t的函數(shù)。 2)周期性：是關于的周期函數(shù)，周期為2。 jj x etmxdetmxtS)(),()()(),( 窗函數(shù)窗函數(shù) （1.1） 公式涵義： 在時域用窗函數(shù)去截信號，對截下來的局部信號 作傅里葉變換，即在t時刻得該段信號的傅里葉變 換，不斷地移動t，也即不斷地移動窗函數(shù)的中心 位置，即可得到不同時刻的傅里葉變換，這些傅 里葉變換的集合，即是 。

3、 STFT可以看成是用基函數(shù) 來 代替傅里葉變換中的基函數(shù)。 ),(tSx j t etmm)()( , 0200400600800100012001400160018002000 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 )(x )(tm （1.1）式內(nèi)積的結果即可實現(xiàn)對進行時頻 定位的功能。對 兩邊 做傅里葉變換，有 式中 和 是等效的頻率變量 j t etmm)()( , deetmM jj t )()( , t detme tjtj)()( )( tj eM )( )( 該式指出，對 在時域加窗 ，引導在 頻域?qū)?加窗 。 )(x )(tm )(X )(),(

4、)(),( ,2 1 , tt MXmtx deMXetS tjtj x )()(),( 2 1 所以 )(M 信號譜信號譜窗譜窗譜 deMX tj)( 2 1 )()( Parseval定理定理 窗函數(shù)的中心和半徑： 定義非平凡函數(shù) 稱為一個窗函數(shù)，如果 也是屬于 的，這個窗函數(shù)的中心定義為： 半徑定義為： RLw 2 xxw RL 2 dxxwxw t 2 2 2 * 1 2 1 2 2* 2 )()( 1 dxxwtx w w 這樣我們可以認為函數(shù) 集中定義在以 為中 心， 為半徑，長為 的區(qū)間 上， 取此區(qū)間為的有效區(qū)間是合適的。 對函數(shù) 其中心為 半徑為 ，對 的 Fourier變換

5、 設其中心為 半徑為 矩形 ， 稱為函數(shù) 的時- 頻窗。該窗的面積為 w*t w ww tt*, * w2 w*t w * w w w w *,* ww tt ww ww * , w w w 22 2.測不準定理 以Gabor函數(shù)為例，令Gabor數(shù)函為窗函數(shù)，已知Gabor函數(shù)的 表達式如下： 以Gabor函數(shù)為窗函數(shù)的STFT稱為Gabor變換，其定義為 則Gabor函數(shù)的中心和半徑為： a t a e a tg 4 2 2 1 dtgfets a i ),( dxxgxg t aa 2 2 2 |)(| 1 * 根據(jù)窗函數(shù)半徑公式，可知道Gabor窗函數(shù)的半徑為： 因為窗的面積為 ，對于

6、Gabor窗函數(shù)說 ， 因為 為 的傅里葉變換，則對于Gabor函數(shù)就要求出 的 傅里葉變換 ，再代入上式得出 ，則 經(jīng)計算得 adxxgtx g b a b a g b a 2 1 2 2 * 2 1 22b a g g b a g b a g aa b a g 2 1 4 1 g 則有： 可以證明，不論采用何種函數(shù)作為窗函數(shù)，其時間窗和 頻率窗寬度的乘積的最小值都是2，這就是測不準原理，此 定理告訴我們，不可能在時間和頻率兩個空間同時以任意精 度逼近被測信號，因此就必須在信號的分析上對時間或者頻 率的精度做取舍。 當利用STFT時，若我們希望能得到好的時-頻分辨率， 或好的時-頻定位，應選

7、取時寬、帶寬都比較窄的窗函 數(shù) ，遺憾的是，由于受不定原理的限制，我們無法做到 使同時為最小。 2 2 1 422 a a b a g a g )(g 當我們對信號作時-頻分析時，一般，對快變的信號， 我們希望它有好的時間分辨率以觀察其快變部分（如尖脈沖 等），即觀察的時間寬度要小，受時寬-帶寬積的影響，這 樣，對該信號頻域的分辨率必定要下降。由于快變信號對應 的是高頻信號，因此對這一類信號，我們希望有好的時間分 辨率，但同時就要降低高頻的分辨率。反之，對慢變信號， 由于它對應的是低頻信號，所以我們希望在低頻處有好的頻 率分辨率，但不可避免的要降低時域的分辨率。 3.短時傅里葉變換缺陷 短時傅

8、里葉變換 窗口t t t1t2 1 2 t m , 窗函數(shù) 的特點： 隨著 的變換，窗口在相空間不斷平移； 短時Fourier變換就是通過這些移動的窗口來提取 被變換函數(shù)的信息； 函數(shù)族 確定的時頻窗口只是隨 發(fā)生平移， 窗口的大小和形狀固定不變. t m , t , t , t m , 前面推導了測不準定理，知道STFT不具備自動調(diào)節(jié)能力 窗函 數(shù)選定 形狀不會 發(fā)生改變 時頻窗在時間 軸頻率軸方向 上的寬度確定 時頻分辨 率確定 不隨時間、 頻率的變 化而變化 從上面的分析我知道，如果要改變分辨率，則需要重新 選擇窗函數(shù)。因為受到不確定準則的限制，時頻窗的面積 不小于2，故不能兼顧頻率與時間分辨率的需求，這也就 從另一個側面說明了短時傅里葉變換窗函數(shù)的時間與頻率 分辨率不能同時達到最優(yōu)，我們對時間分辨率和頻率分辨 率只能取一個折中，