高考數(shù)學(xué)數(shù)列不等式證明題放縮法十種方法技巧總結(jié)

1、1. 均值不等式法例1 設(shè)求證例2 已知函數(shù)，若，且在0，1上的最小值為，求證： 例3 求證.例4 已知，求證：1.2利用有用結(jié)論例5 求證例6 已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。例7 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）例8 已知不等式。表示不超過的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證再如：設(shè)函數(shù)。 （）求函數(shù)最小值；（）求證：對于任意，有例9 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且3. 部分放縮例10 設(shè),求證：例11 設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時證明對所有 有：； .4 . 添減項放縮例12 設(shè)，求證.例13 設(shè)數(shù)列滿足 證明對一切正整數(shù)成立；5 利用單調(diào)性放縮: 構(gòu)造函數(shù)例14 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時

2、 （）求的值；（）設(shè)，證明例15 數(shù)列由下列條件確定：，（i） 證明：對總有；(ii) 證明：對總有6 . 換元放縮例16 求證例17 設(shè)，求證.7 轉(zhuǎn)化為加強命題放縮 例18 設(shè)，定義，求證：對一切正整數(shù)有例19 數(shù)列滿足證明 例20 已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1） 求數(shù)列an的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)n有a1a2an0)，設(shè)曲線y=f(x)在點（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點為（xn+1,0）(nn*). () 用xn表示xn+1； （）求使不等式對一切正整數(shù)n都成立的充要條件，并說明理由；（）若x1=2，求證：例1 解析 此數(shù)列的通項為，即注：應(yīng)注意把握放縮的“度

3、”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 ，其中，等的各式及其變式公式均可供選用。例2 簡析 例3 簡析 不等式左邊=，故原結(jié)論成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：因為，所以有 其實，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為： 若， 試求的最大值。 請分析下述求法：因為，所以有 故的最大值為，且此時有。上述解題過程貌似完美，其實細(xì)細(xì)推敲，是大有問題的：取“”的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！那么，呢？其實例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化：則有 于是，當(dāng)且僅當(dāng) 結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，還可構(gòu)造向

4、量求解：設(shè)，則由立刻得解： 且取“”的充要條件是：。2利用有用結(jié)論例5 簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)可得即 法2 利用貝努利不等式的一個特例(此處)得，例6 簡析 高考標(biāo)準(zhǔn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例7 解析 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮：，即例8 【簡析】 當(dāng)時，即 于是當(dāng)時有 注：本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)

5、論來進(jìn)行有效地放縮；再如：【解析】（）1；（）證明：由（）得，對x1有，利用此結(jié)論進(jìn)行巧妙賦值：取，則有即對于任意，有例9 解析 引入一個結(jié)論：若則，（可通過構(gòu)造一個等比數(shù)列求和放縮來證明，略）整理上式得（），以代入（）式得。即單調(diào)遞增。以代入（）式得。此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。 注：上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮：故有3. 部分放縮例10 解析 又（只將其中一個變成，進(jìn)行部分放縮），于是例11 【解析】 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立即，則當(dāng)時，成立。 利用上述部分放縮的

6、結(jié)論來放縮通項，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。例12 簡析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得即，得證.例13簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（）進(jìn)行減項放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則例14 解析 （）=1 ；（）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。當(dāng)時在遞增，故。對(ii)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。【注】數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限：是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性具有重要的指導(dǎo)作用。例16 簡析 令，這里則有，從

7、而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例17 簡析 令，則，應(yīng)用二項式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.7 轉(zhuǎn)化為加強命題放縮例18 解析 用數(shù)學(xué)歸納法推時的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因為出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：對一切正整數(shù)有（證略）例19 簡析 將問題一般化：先證明其加強命題 用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步：。因此對一切有 例20 解析：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個等比數(shù)列，其首項為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n1）1（2）證：據(jù)1得，a1a2an，為證a1a2an2 顯然，左端

8、每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強不等式： 對每個nn*，有1（）3（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3得1（）11。故2式成立，從而結(jié)論成立。8. 分項討論例21 簡析 （）略，（） ；（）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當(dāng)且為奇數(shù)時（減項放縮），于是, 當(dāng)且為偶數(shù)時，當(dāng)且為奇數(shù)時，（添項放縮）由知。由得證。9. 借助數(shù)學(xué)歸納法例22 解析 科學(xué)背景：直接與凸函數(shù)有關(guān)?。ǎ┞?，只證（）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法1（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時，由（）知命題成立。（ii）假定當(dāng)時命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（

9、*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當(dāng)時命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立.法2 構(gòu)造函數(shù)利用（）知，當(dāng)對任意 （式是比式更強的結(jié)果）. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.（i）當(dāng)n=1時，由（i）知命題成立.（ii）設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即若正數(shù) 對（*）式的連續(xù)兩項進(jìn)行兩兩結(jié)合變成項后使用歸納假設(shè)，并充分利用式有由歸納法假設(shè) 得 即當(dāng)時命題也成立. 所以對一切正整數(shù)n命題成立.【評注】（1）式也可以直接使用函數(shù)下凸用（）中結(jié)論得到；（2）為利用歸納假設(shè)，也可對（*）式進(jìn)行對應(yīng)結(jié)合：而變成項；（3）本題用凸函數(shù)知

10、識分析如下：先介紹詹森（jensen）不等式：若為上的下凸函數(shù)，則對任意，有 特別地，若，則有若為上凸函數(shù)則改“”為“”。由為下凸函數(shù)得 ，又，所以（4）本題可作推廣如下：若正數(shù)滿足，則。簡證：構(gòu)造函數(shù)，易得故10. 構(gòu)造輔助函數(shù)法例23 【解析】(1) 求導(dǎo)可得在上是增函數(shù),（2）（數(shù)學(xué)歸納法證明）當(dāng)時，由已知成立；假設(shè)當(dāng)時命題成立，即成立，那么當(dāng)時，由（1）得， ，這就是說時命題成立。由、知，命題對于都成立（3） 由, 構(gòu)造輔助函數(shù)，得，當(dāng)時，故，所以g(0)=f(0)-2=0，0,即0，得。例24 【解析】（）（）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元進(jìn)行配方，確定其最大值。

11、法1 由（）知，原不等式成立思路2 將右邊看成是關(guān)于x的函數(shù)，通過求導(dǎo)研究其最值來解決：法2 設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取得最大值原不等式成立（）思路1 考慮本題是遞進(jìn)式設(shè)問，利用（）的結(jié)論來探究解題思路：由（）知，對任意的，有取，則原不等式成立【注】本解法的著眼點是對上述不等式中的x進(jìn)行巧妙賦值，當(dāng)然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，能否直接用數(shù)學(xué)歸納法給予證明？嘗試： （1）當(dāng)時，成立； （2）假設(shè)命題對成立，即則當(dāng)時，有 ，只要證明；即證，即證用二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可。如下證明是否正確，請分析：易于證明對任意成立；于是【注】上述證明是錯誤的！因為：是遞增的，不能逐步“縮小”到所需要的結(jié)論。可修改如下：考慮是某數(shù)列的前n項和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結(jié)構(gòu)特征, 利用均值不等式可得如下妙證：由取倒數(shù)易得：，用n項的均值不等式：，例25 【解析】() （）使不等式對一切正整數(shù)n都成立的充要條件是x11. () 基本思路：尋求合適的放縮途徑。 探索1 著眼于通項特征，結(jié)合求證式特點，嘗試進(jìn)行遞推放縮： 即。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結(jié)論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應(yīng)有：（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）。 探索3 探索過渡“橋”，尋求證明加強不等式：由（2）知xn