第十一章 習(xí)題課 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂

1、1 1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) ) n n s lim存在存在( (不存在不存在) ). . 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 習(xí)題課習(xí)題課 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 1. 2. 4.充要條件充要條件 5.比較法比較法 6.比值法比值法 7.根值法根值法 4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) 3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì); ;,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn ;, 0

2、,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) n un 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 2 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 .有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 n s (1) (1) 比較審斂法比較審斂法 (2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式 ( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法 0, 0 nn vu設(shè)設(shè) nn vu 與與若若 是同階無(wú)窮小是同階無(wú)窮小 同斂散同斂散與與則則 nn vu 特別特別 nn vu 若若（等價(jià)無(wú)窮小）（等價(jià)無(wú)窮?。?同斂散同斂散與與則則 nn vu ( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝

3、爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) ) ( (5 5) ) 根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) ) 3 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 4 4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 Leibniz定理定理 絕對(duì)收斂，條件收斂絕對(duì)收斂，條件收斂 附：附：正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序 n u 0 n u n u發(fā)散 發(fā)散 N Y n n u u 1 lim 1 Y nn vu 0 n n ulim N 1 N 改改 用用 它它 法法 Y n u收斂收斂 n v收斂收斂 n u發(fā)散發(fā)散 n u收斂

4、 收斂 n v發(fā)散 發(fā)散 n u 0 n u N 發(fā)散發(fā)散 n u Y 斂斂 | n u Y 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 n u 收斂收斂 n u N 用檢比用檢比 法法用比較法用比較法 用用L準(zhǔn)則或考察部分和準(zhǔn)則或考察部分和 N 收斂 n u N Y 條件收斂條件收斂 例例1 求極限求極限 n n n n 2! 3 lim 解解 考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)考察正項(xiàng)級(jí)數(shù) n n n n u 2! 3 n n n n n n n n n nu u 3 2! 2)!1( 3 limlim 1 1 1 10 )1(2 3 lim n n 由檢比法由檢比法 n n n 2! 3 收斂收斂 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得由級(jí)數(shù)收斂的必

5、要條件得 0 2! 3 lim n n n n 二、典型例題二、典型例題 例例2 設(shè)設(shè) 0lim anan n 試證試證 n a發(fā)散發(fā)散 證證不妨設(shè)不妨設(shè) a 0 由極限保號(hào)性知由極限保號(hào)性知 N 時(shí)當(dāng)Nn 0 n a 由于由于0 1 limlim a n a na n n n n 故由比較法的極限形式得故由比較法的極限形式得 n a 發(fā)散發(fā)散 例例3 若若 n u n v都發(fā)散都發(fā)散 則則 A )( nn vu 必發(fā)散必發(fā)散 B nnv u 必發(fā)散必發(fā)散 C | nn vu必發(fā)散必發(fā)散 D以上說(shuō)法都不對(duì)以上說(shuō)法都不對(duì) 例例3 3 ; ) 1 ( )1( : 1 1 n n n n n n n

6、 判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性 解解 n n n n n n nn u ) 1 ( 1 , ) 1 1( 2 1 n n n n n n n n n nn 1 22 ) 1 1(lim) 1 1(lim 2 ; 1 0 e x x n n xn 11 limlim ln 1 limexpx x x 1 limexp x x ; 1 0 e , 01lim n n u 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 1 ).0( ) 1 ( )2ln( )2( n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 )2ln( limlim , )2ln(li

7、m 1 n n n a ,2,2 n enn 時(shí)時(shí)從而有從而有 ,)2ln(1 n n nn , 1lim n n n由于由于 , 1)2ln(lim n n n . 1 lim a u n n n ,1 1 01時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) a a原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂； ,1 1 10時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) a a原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散； ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a, ) 1 1( )2ln( 1 n n n n 原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為 , ) 1 1( )2ln( lim n n n n 原級(jí)數(shù)也發(fā)散原級(jí)數(shù)也發(fā)散 斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對(duì)對(duì)收收 斂斂？如如果果收收斂斂，是是否否收收判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 ln )1

8、( n n nn 例例4 4 解解, 1 ln 1 nnn , 1 1 發(fā)散發(fā)散而而 n n , ln 1 ln )1( 11 發(fā)發(fā)散散 nn n nnnn 即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂 , ln )1( 1 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)是交錯(cuò) n n nn 由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理： x x n n xn ln lim ln lim , 0 1 lim x x , 0 ln 1 1 lim ln 1 lim n n n nn nn ),0(ln)( xxxxf ),1(0 1 1)( x x xf,), 1(上單增上單增在在 , ln 1 單減單減即即 xx ,1 ln 1 時(shí)時(shí)單單減減當(dāng)當(dāng)

9、故故 n nn ),1( )1ln()1( 1 ln 1 1 nu nnnn u nn 所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂 n a n c都收斂都收斂 且且 nnn cba 例例5 設(shè)設(shè) 試證試證 n b收斂收斂 證證由由 nnn cba 知知 nnnn acab 0 因因 n a n c都收斂都收斂 故正項(xiàng)級(jí)數(shù)故正項(xiàng)級(jí)數(shù) )( nn ac收斂收斂 再由比較審斂法知再由比較審斂法知 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) )( nn ab 收斂收斂 而而 nnnn aabb )(即即 n b可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)之和之和 )( nn ab n a 故故 n b

10、 收斂收斂 例例6 設(shè)設(shè) 0, 0 nn ba且且 n n n n b b a a 11 若若 n b收斂收斂 則則 n a也收斂也收斂 證證由題設(shè)知由題設(shè)知 1 1 1 1 b a b a b a n n n n nn b b a a 1 1 而而 n b收斂收斂由比較法得由比較法得 n a收斂收斂 Cauchy積分審斂法積分審斂法 設(shè)設(shè) 0)( xfy 單調(diào)減少單調(diào)減少)(nfu n 則則 1n n u與與 1 )(dxxf 同斂散同斂散 例例7 證證由由 f(x) 單調(diào)減少知單調(diào)減少知 1 1 )()()1( k k kk ukfdxxfkfu 即即 n k n n k kk udxxf

11、u 1 1 1 1 1 )( n n n SdxxfSS 1 1 11 )( 故故 1n n u 與與 1 )(dxxf同斂散同斂散 例例8 設(shè)設(shè) n u是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列 試證明試證明 )1( 11 nn n u u 收斂收斂 證證記記 1 1 n n n u u v則則0 1 1 n nn n u uu v 且且 1 1 u uu v nn n 而正項(xiàng)級(jí)數(shù)而正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1 1 )( n nn uu 的部分和的部分和 n k nkkn uuuuS 1 111 )( 又又 n u單調(diào)增加且有界單調(diào)增加且有界 故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aun n li

12、m存在存在 1 limuASn n 即即 1 1 )( n nn uu 收斂收斂進(jìn)而進(jìn)而 1 1 1 )( 1 n nn uu u 收斂收斂 由比較法得由比較法得 1n n v 收斂收斂 設(shè)正數(shù)數(shù)列設(shè)正數(shù)數(shù)列 n a單調(diào)減少，級(jí)數(shù)單調(diào)減少，級(jí)數(shù) 1 1 )1( n n n a 發(fā)散發(fā)散 考察考察 n nn a ) 1 1 ( 1 的斂散性的斂散性 證證 記記 n n n a u) 1 1 ( 由由 n a單調(diào)減少單調(diào)減少0 n a 故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aan n lim 存在存在 且且 0 A 若若 0 A 由由Leibniz審斂法得審斂法得 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 1 1 )1(

13、 n n n a 收斂收斂 與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾 0 A n n n n n a u 1 1 limlim1 1 1 A 由檢根法知由檢根法知 n nn a ) 1 1 ( 1 收斂收斂 例例9 已知已知 n un n ln 1 ln lim0 n u 證明證明 收斂收斂 n u1 發(fā)散發(fā)散 n u1 的的斂斂散散性性不不定定 n u1 由由 1 ln 1 ln lim n un n 知知對(duì)對(duì)1 NnN , 有有 1 ln 1 ln q n un nq un ln 1 ln nqu n lnln 證證 例例10 qn n u 1 而而 q n 1 收斂收斂 故由比較法知故由比較法知 n u收斂

14、收斂 由由 1 ln 1 ln lim n un n 知知NnN 當(dāng), 有有 1 ln 1 ln r n un nr un ln 1 ln nrunlnln rn n u 1 而而 r n 1 發(fā)散發(fā)散故由比較法知故由比較法知 n u發(fā)散發(fā)散 如如 pn nn u )(ln 1 1 ln )ln(lnln lim ln 1 ln lim n npn n u n n n 但但收斂收斂時(shí)時(shí) n up1發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí) n up1 討論討論 1n p n n a 的斂散性的斂散性), 0(常數(shù)常數(shù)ap 解解對(duì)級(jí)數(shù)對(duì)級(jí)數(shù) 1n p n n a |) 1 (limlim 1 aa n n u u p n n

15、 n n 1| a 1n p n n a 收斂收斂 1n p n n a 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 1| a 1n p n n a 發(fā)散發(fā)散 1n p n n a 發(fā)散發(fā)散 1| a 分情況說(shuō)明分情況說(shuō)明 例例11 1 a 級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為 1 1 n p n 1 p 收斂收斂1 p發(fā)散發(fā)散 1 a級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為 1 )1( n p n n 1 p 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 1 p 條件收斂條件收斂 例例12 對(duì)對(duì) , 的值，研究一般項(xiàng)為的值，研究一般項(xiàng)為 n nn Vn 2 sin 的級(jí)數(shù)的斂散性的級(jí)數(shù)的斂散性 解解 )(sin n nVn )sin()1( n n 由于當(dāng)由于當(dāng) n 充分大時(shí)，充分大時(shí)，

16、 )sin( n 定號(hào)定號(hào) 故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù) 整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) 為為何何值值無(wú)無(wú)論論 總有總有 |)sin(|lim|lim n V n n n 0|sin| 0lim n n V級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) n V n n sin)1( 時(shí)當(dāng) n n sin 非增地趨于非增地趨于 0 由由Leibniz審斂法知審斂法知 1n n V 收斂收斂 但但 | sin |lim 1 | lim n n n V n n n 而而 1 1 n n 發(fā)散發(fā)散故由比較法的極限形式故由比較法的極限形式 時(shí)當(dāng)0 1 sin n n 發(fā)散發(fā)散 1n n V 條件收斂條

17、件收斂 0 0 n V級(jí)數(shù)顯然收斂級(jí)數(shù)顯然收斂 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須收斂必須 n u 0 n u 但在一般項(xiàng)趨于但在一般項(xiàng)趨于 0 的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有 的卻發(fā)散，的卻發(fā)散， 0 n u 因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更 基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則 更能說(shuō)明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來(lái)也更有效更能說(shuō)明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來(lái)也更有效 的的階階 問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于 關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂關(guān)于常數(shù)

18、項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂 n n n u u 1 lim 和和 n n n u lim 作為作為 n u變化快慢變化快慢 得到檢比法和檢根法，檢比法得到檢比法和檢根法，檢比法 和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù) 作比較，雖然使用起來(lái)較方便但都會(huì)遇到作比較，雖然使用起來(lái)較方便但都會(huì)遇到“失失 效效”的情況。的情況。 收斂收斂收斂收斂 nn uu | 這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng) 級(jí)數(shù)的斂散性判定級(jí)數(shù)的斂散性判定 注注 比較法、比較法的極限形式、檢比法、比較法、比較法的極限形式、檢比法、 檢根法、積分審斂法，只能對(duì)檢根法、積分審斂法，只能對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)方方 可使用可使用 的一種估計(jì)的一種估計(jì) 檢比法、檢根法只是檢比法、檢根法只是充分條件充分條件而非必要條件而非必要條件 L準(zhǔn)則也是準(zhǔn)則