第15講 等差數(shù)列及其求和

1、同學(xué)們好 請看以下幾例： 1)4，5，6，7，8，9，10， 2)3，0，-3，-6，-9，-12， 3)1/10,2/10,3/10,4/10,5/10 4)3，3，3，3，3，3，3， 你還記得嗎？ |數(shù)列的定義 |給出數(shù)列的兩種方法 創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 姚明剛進姚明剛進NBANBA一周訓(xùn)練罰球的個數(shù)：一周訓(xùn)練罰球的個數(shù)： 第一天：第一天：60006000， 第二天：第二天：65006500， 第三天：第三天：70007000， 第四天：第四天：75007500， 第五天：第五天：80008000， 第六天：第六天：85008500， 第七天：第七天：9000.9

2、000. 得到數(shù)列：得到數(shù)列： 60006000，65006500，70007000，75007500， 80008000，85008500，90009000 一般地，如果一個數(shù)列從第 二項起，每一項與它的前一項的 差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù) 列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫 做等差數(shù)列的公差。公差通常用 字母d表示。 返返 回回 公差d 1.an-an-1=d (n2)（數(shù)學(xué)表達式） 3.d的范圍 dR 2.常數(shù)如2，3，5，9，11就不是 等差數(shù)列 探究性問題探究性問題2 2： 在如下的兩個數(shù)之間，插入在如下的兩個數(shù)之間，插入 一個什么數(shù)后這三個數(shù)就會成為一個什么數(shù)后這三個數(shù)就會成為 一個等

3、差數(shù)列：一個等差數(shù)列： （1 1）2 2， ，4 4； （2 2）-8-8， ，0 0； （3 3）a a， ，b b 等差中項的等差中項的 相關(guān)知識相關(guān)知識 如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù) 列，那么A叫做a與b的等差中項。 例例:已知三個數(shù)已知三個數(shù)2，x，98成等差數(shù)列，求成等差數(shù)列，求x 2 ba A 如果等差數(shù)列an的首項 是a，公差是d，那么根據(jù)等差數(shù) 列的定義得到： a2-a1=da2=a1+d 由此得到 an=a1+(n-1)d 返返 回回 an-a1=(n-1)d an-an-1=d a4-a3=d a3-a2=d an=a1+(n-1)d a4=a1+3d

4、 a3=a1+2d 例例1：a1=1, d=2, 則則 an= ? 解：解：an=1+(n1)2=2n1 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列8，5，2，求求 an及及a20 解解 : 由題由題 a1=8, d=58=3 a20=49 an=8+(n1)(3)=3n+11 練習(xí)練習(xí)1：已知等差數(shù)列：已知等差數(shù)列3，7，11， 則則 an=_ a4=_ a10=_ 4n-1 15 39 例例2 ：已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中，a20=49, d=3， 求首項求首項a1 解：由解：由a20=a1+(201)(3) 得得a1=8 練習(xí)練習(xí)2：a4=15 d=3 則則a1=_ 6 解：解：a1=5, d=4

5、，an=5+(n1)(4), 假設(shè)假設(shè)- -400是該等差數(shù)列中的第是該等差數(shù)列中的第n項，項， 則則 400=5+(n1)(4) 所以所以400不是這個數(shù)列的項不是這個數(shù)列的項 解之得解之得 n= （不是正整數(shù)）（不是正整數(shù)） 4 399 練習(xí)練習(xí)3：100是不是等差數(shù)列是不是等差數(shù)列2，9， 16，的項？如果是，是第的項？如果是，是第 幾項？幾項？ 如果不是，說明理由如果不是，說明理由. 例4： 一張?zhí)葑幼罡咭患墝?3cm，最低一級寬110cm, 中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列。 求公差d及中間各級的寬度。 分析：用分析：用an表示梯子自上而下表示梯子自上而下 各級寬度所成的等差數(shù)列

6、。各級寬度所成的等差數(shù)列。 解：由題意知解：由題意知 a1=33, a12=110, n=12 由由 an=a1+(n-1)d 得得 110=33+(12-1)d 解得解得 d=7 從而可求出從而可求出 a2=33+7=40 (cm) a3=40+7=47(cm) a4=54(cm) 。 33 110 總結(jié)：總結(jié)： 在在 an=a1+(n1)d，nN* 中，有中，有an,a1,n,d 四個量四個量, 已知其中任意已知其中任意3個量即可求出第四個量。個量即可求出第四個量。 那么如果已知一個等差數(shù)列的任意兩項，能否求出那么如果已知一個等差數(shù)列的任意兩項，能否求出an呢？呢？ 例例5：在等差數(shù)列：在

7、等差數(shù)列an中已知中已知a3 =10, a9=28, 求求a1、d及及an an=4+(n1)3=3n+1 得得 a3=a1+2d=10 a1=4 a9=a1+8d=28 d=3 解法解法1：由：由an=a1+(n1)d 猜想：任意兩項猜想：任意兩項an和和am(nm)之間的關(guān)系：之間的關(guān)系： 證明證明: am=a1+(m1)d an =a1+(n1)d a1=am- -(m1)d = am- -(m1)d +(n1)d =am+(n- -m)d an=am+(n- -m)d 例例5：在等差數(shù)列：在等差數(shù)列an中已知中已知a3 =10, a9=28, 求求an an=a3+（n- -3）3 解

8、法解法2： a9=a3+(93)d (nN*) 28=10+6d d=3 =10+（n- -3）3 =3n+1 例1. 1）等差數(shù)列8，5，2,的 第20項是幾？ 2）-401是不是等差數(shù)列-5,-9,- 13的項？如果是，是第幾項？ 解： 1）由題意得，a1=8,d=-3 2）由題意得,a1=-5,d=-4,an=-401 an=a1+(n-1)d n=100 -401是這個數(shù)列的第100項。 a20=a1+19d=8+19(-3)=-49 -401=-5+(n-1)(-4) 1）求等差數(shù)列3，7，11的第 4項與第10項。 答案：a4=15 a10=39 2)100是不是等差數(shù)列2，9，

9、16的項？如果是，是第幾項？ 如果不是，說明理由。 答案：是第15項。 3)-20是不是等差數(shù)列0,-3.5,- 7的項？如果是，是第幾項？如果 不是，說明理由。 解：a1=0,d=-3.5 -20不是這個數(shù)列中的項。 n=47/7 -20=0+(n-1)(-3.5) 例2.在等差數(shù)列an中，已知 a5=10,a12=31,求首項a1與公差d。 解：由題意，a5=a1+4d a12=a1+11d 解之得a1=-2 d=3 若讓求a7，怎樣求？ 即10=a1+4d 31=a1+11d 1.在等差數(shù)列an中，已知 a3=9,a9=3,求a12 答案：a12=0 2.在等差數(shù)列an中，已知 a2=3

10、,a4=7,求a6、a8 解：由題意得，a1+d=3, a1+3d=7 a6=a1+5d=1+52=11 a8=a1+7d=1+72=15 a1=1, d=2 在等差數(shù)列在等差數(shù)列a an n中，中， 1 1）已知）已知a a1 1=2,d=3,n=10,=2,d=3,n=10,求求a an n 解：解：a a10 10=a =a1 1+9d=2+9+9d=2+93=293=29 2）已知已知a a1 1=3,a=3,an n=21,d=2,=21,d=2,求求n n 解：解：21=3+(n-1)21=3+(n-1)2 n=102 n=10 3）已知已知a a1 1=12,a=12,a6 6=

11、27,=27,求求d d 解：解：a a6 6=a=a1 1+5d,+5d,即即27=12+5d d=327=12+5d d=3 4）已知）已知d=-1/3,ad=-1/3,a7 7=8,=8,求求a a1 1 解：解：a a7 7=a=a1 1+6d 8=a+6d 8=a1 1+6+6(-1/3)(-1/3) a a1 1=10=10 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 2. 求等差數(shù)列求等差數(shù)列2，9，16的第的第10項項,100是不是這個數(shù)列是不是這個數(shù)列 的項。如果是，是第幾項？的項。如果是，是第幾項？ 1. 等差數(shù)列等差數(shù)列-5，-1，3的公差是（的公差是（ ） A. 4 B. - 4 C. 8

12、D. -8 3. 等差數(shù)列中，已知等差數(shù)列中，已知a3=9, a9=3, 則則a12 =_ 4. 數(shù)列數(shù)列an中中,a1= , an+1=an- (nN*), 則通項則通項an=（ ） 5. 已知等差數(shù)列的前三項依次為：已知等差數(shù)列的前三項依次為：a-1, a+1, a+3, 則此數(shù)列的通項為（則此數(shù)列的通項為（ ） A. an=2n-5 B.an=a+2n-3C. an=a+2n-1 D. an=2n-3 2 2 A 0 D 222 -n 222 -nn2A.B. D. 不能確定不能確定C. C (1) 2，a ，6 (2) 8，b ，c，-4 (3) 8，b ，-4，c 2.2.已知已知

13、a , b , c 成等差數(shù)列，成等差數(shù)列， 求證：求證：b +c , c +a , a +b成等差數(shù)列成等差數(shù)列 例例1：在等差數(shù)列：在等差數(shù)列an中已知中已知a3 =10, a9=28, 求求an an=a3+（n- -3）3 解法解法2： a9=a3+(93)d (nN*) 28=10+6d d=3 =10+（n- -3）3 =3n+1 1015 51015 , (2), a aba ama aaa n 5 3856 12671112 例 在等差數(shù)列 a中 （1）若a求 若a求a （3）若a +a +=30,a +a +=80,求a +a + 思考思考:等差數(shù)列等差數(shù)列 an 中中 ,（

14、m 、 n、 N+）, 若若 m+n=p+q 則則 am+an=ap+aq ? 【說明說明】上面的命題中的等式兩邊有上面的命題中的等式兩邊有相同數(shù)目相同數(shù)目的的 項，項， 如如a1+a2=a3 嗎？嗎？ 例2、在等差數(shù)列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450， 則a2+a8 =？ （一）等差數(shù)列的基本性質(zhì)（一）等差數(shù)列的基本性質(zhì)： 3、項數(shù)成等差數(shù)列的項也構(gòu)成等差數(shù)列。 4、等差數(shù)列的前m項和，后m項和，再m項和也 構(gòu)成等差數(shù)列。 5、兩個等差數(shù)列的和、差還是等差數(shù)列即an，bn 是等差數(shù)列，anbn也是等差數(shù)列， pan、anc 也是等差數(shù)列（p，c為常數(shù)）。 2、等差中項： 如果a

15、，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。 1、在等差數(shù)列、在等差數(shù)列an中，若中，若m+n=p+q，則，則 . am+an=ap+aq （二）等差數(shù)列的證明（二）等差數(shù)列的證明： 例例3、已知數(shù)列的通項公式為、已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q，其中，其中，p，q 是是 常數(shù)，且常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù) 列？如果是，其首項與公差是什么？列？如果是，其首項與公差是什么？ 例3.一個首項為23，公差為整數(shù)的 等差數(shù)列，如果前六項均為正數(shù)，第 七項起為負數(shù)，則它的公差是多少？ 解：由題意得， a6=a1+5d0 a7=a1+6d0 例4.已知等

16、差數(shù)列an的首項為30， 這個數(shù)列從第12項起為負數(shù)，求公差 d的范圍。 解：a12=30+11d0 a11=30+10d0 dZ d=-4 -23/5d-23/6 -3d-30/11 即公差d的范圍為：-3d-30/11 等差數(shù)列的定義：等差數(shù)列的定義： 通項公式：通項公式： an=a1+(n1)d （ nN*） 更一般的形式：更一般的形式：an=am+(nm)d （ nN*） 一般地，如果一個數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第從第2項起項起，每一項每一項 與它的前一項的差等于同一常數(shù)與它的前一項的差等于同一常數(shù)，那么這個，那么這個 數(shù)列就叫做等差數(shù)列數(shù)列就叫做等差數(shù)列 （疊加法證明）（疊加法證明

17、） 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七 世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛 妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建 而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世 界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖 案之細致令人叫絕。案之細致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相 同大小的圓寶石鑲飾而成，共有同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100100層層 （見左圖），奢靡之程度，可見一斑。（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。 你

18、知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？ 1.等差數(shù)列的定義：等差數(shù)列的定義： 1 (2) nnn aaad n - - -是是等等差差數(shù)數(shù)列列 2.通項公式：通項公式： 1 (1) . n aand- 3.重要性質(zhì)重要性質(zhì): () . nm aanm d- . mnpq mnpqaaaa 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 高斯出生于一個工匠高斯出生于一個工匠 家庭，幼時家境貧困，但聰家庭，幼時家境貧困，但聰 敏異常。上小學(xué)四年級時，敏異常。上小學(xué)四年級時， 一次老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)一次老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí) 題：題：“把從把從1 1到到100100的自然數(shù)的自然數(shù) 加起來，和是多少？加起來，

19、和是多少？”年僅年僅 1010歲的小高斯略一思索就得歲的小高斯略一思索就得 到答案到答案50505050，這使老師非常，這使老師非常 吃驚。那么高斯是采用了什吃驚。那么高斯是采用了什 么方法來巧妙地計算出來的么方法來巧妙地計算出來的 呢？呢？ 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德德 國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué) 家。他和牛頓、阿基米德，被家。他和牛頓、阿基米德，被 譽為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。譽為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。 有有“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”之稱。之稱。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: : 情景情景1 首項與末項的和：首項與末項的和：

20、 1100101， 第第2項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第2項的和：項的和： 299 =101， 第第3項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第3項的和：項的和： 398 101， 第第50項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第50項的和：項的和：5051101， 于是所求的和是：于是所求的和是： 100 1015050. 2 求求 S=1+2+3+100=？ 你知道高斯是怎 么計算的嗎？ 高斯算法：高斯算法： 高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？ . mnpq mnpqaaaa 如圖，是一堆鋼管，自上而下每層鋼管數(shù)為如圖，是一堆鋼管，自上而下每層鋼管數(shù)為4 4、 5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、101

21、0，求鋼管總數(shù)。，求鋼管總數(shù)。 即求即求：S=4+5+6+7+8+9+10. 高斯算法：高斯算法： S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49. 還有其它算 法嗎？ 情景情景2 S=10+9+8+7+6+5+4. S=4+5+6+7+8+9+10. 相加得相加得： (4 10) 7 49. 2 S 倒序相加法 2(4 10) (5 9) (6 8) (7 7) (8 6) (9 5) (10 4)S (4 10) 7. 怎樣求一般等差數(shù)列的前怎樣求一般等差數(shù)列的前n項和呢？項和呢？ 12 ,. nnnn anSSaaa 設(shè)設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前 項項和和為為即即

22、12 . nn Saaa 11.nnn Saaa - 1211 2()()() nnnn Saaaaaa - 1 (). n n aa 1211nnn aaaaaa - 1 () . 2 n n n aa S 新課新課 等差數(shù)列的前n項和公式 1 (1) n aand- 2 ) 1n n aan S （ d nn naSn 2 )1 1 - - （ 公式1 公式2 d nn naSn 2 )1 1 - - （ 思考： n a 1, , , , nn a a n d S 2 ) 1n n aan S （ 1 a n a n 公式記憶公式記憶 1 ) 2 n n n aa S （ 1 1) 2 n

23、 n n Snad - （ 類比梯形面積公式記憶 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式的函數(shù)特征：項和公式的函數(shù)特征： 2 11 1 1 222 n dd Snan ndnan - 1 2 , 22 n SAn dd ABaABnB-設(shè)則是常數(shù) 2 2 00, . n n AdSn SAnBn yAxBx 當(dāng)即時是關(guān)于 的二次函 數(shù)式,即的圖象是拋物線 上的一群孤立的點 特征：特征： 2 ( , ) nn n anSAnBn A Ba 數(shù)列的前 項和 為常數(shù) ，則數(shù)列是不是一定是等差 數(shù)列？ 思考：思考： 2 2 ( ,) n n aA SAnBn A B 是公差為的等差數(shù)列 為常數(shù) 結(jié)論：結(jié)論

24、： 2 nn anSpnqnr 問:如果一個數(shù)列的前 項和， （其中p,q,r為常數(shù)，且p0）,那么這個數(shù)列 一定是等差數(shù)列嗎？ 2 nn anSpnqnr 結(jié)論:如果一個數(shù)列的前 項和， （其中p,q,r為常數(shù)，且p0）,那么這個數(shù)列是 等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)r=0 例例1、計算：、計算： (1)123 (2)1 35(21) (3)2462 (4)1 23456(21)2 . n n n nn - - - - ； ； ； (4)1 3 5(21) (2 4 62 ).nn - 解：原式 (1 2) (3 4) (5 6)(21) 2 .nn-又解：原式 (1) 2 n n 2 n (1)n n

25、1 1 ) 2 1) 2 n n n n aa S n n Snad - （ （ 舉例舉例 例例2、10, 6, 2,2,54- -等差數(shù)列前多少項的和是 ？ 1 2 12 , 10,6( 10)4,54. ( -1) -10454 2 6270 9,3 -10 -6 -2 2954 nn n anS adS n n n nn nn - - - - - - - - - - - 設(shè)設(shè)該該等等差差數(shù)數(shù)列列為為其其前前 項項和和是是 則則 根根據(jù)據(jù)等等差差數(shù)數(shù)列列前前項項和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （ （舍舍去去） 因因此此，等等差差數(shù)數(shù)列列， ， ， ， 前前 項項的的和和是是 注

26、：本題體現(xiàn)了方程的思想注：本題體現(xiàn)了方程的思想. 解：解： 1 1 ) 2 1) 2 n n n n aa S n n Snad - （ （ 123 8910 12, 75,. n aaaa aaaS 10 數(shù)列為等差數(shù)列，若 求 例3、 123 8910 12 75 aaa aaa ， 由 解： 11 1 41 8253. ada add ， 101 10 9 10145. 2 Sad 又解： 110 10110 10() 5() 2 aa Saa 123 8910 12 75 aaa aaa ， 由 1102938 87.aaaaaa 110110 3()87()29.aaaa即 5 29

27、145. 1102938 aaaaaa， 整體運算整體運算 的思想的思想! ! 1 1 ) 2 1) 2 n n n n aa S n n Snad - （ （ 例例4、 25121516 36,. n a aaaaS 在在等等差差數(shù)數(shù)列列中中， 已已知知求求 解： 116 16116 16() 8() 2 aa Saa 251215 215512116 36 18 aaaa aaaaaa 8 18144. 1 1 ) 2 1) 2 n n n n aa S n n Snad - （ （ * 5|7 ,100 . Mm mn nNm例 、求集合且 的元素，并求些元素的和 1、一個等差數(shù)列前、一個等差數(shù)列前4項的和是項的和是24，前，前5項的和項的和 與前與前2項的和的差是項的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通，求這個等差數(shù)列的通 項公式。項公式。 41 5211 1 244624 27(510 )(2)27 3 32(1)21. 2 n Sad SSadad a ann d - - - - - - ， ， 解解： 鞏固鞏固練習(xí)練習(xí) 1 1 ) 2 1) 2 n n n n aa S n n Snad