保險(xiǎn)精算學(xué)-習(xí)題課

1、習(xí)習(xí) 題題 課課 利息理論與確定年金 利息的度量利息的度量 按照計(jì)息時(shí)刻劃分：按照計(jì)息時(shí)刻劃分： 期末計(jì)息：利率期末計(jì)息：利率 期初計(jì)息：貼現(xiàn)率期初計(jì)息：貼現(xiàn)率 按照積累方式劃分按照積累方式劃分 線性積累線性積累 （1 1）單利計(jì)息）單利計(jì)息 （2 2）單貼現(xiàn)計(jì)息）單貼現(xiàn)計(jì)息 指數(shù)積累指數(shù)積累 （1 1）復(fù)利計(jì)息）復(fù)利計(jì)息 （2 2）復(fù)貼現(xiàn)計(jì)息）復(fù)貼現(xiàn)計(jì)息 1. 一年轉(zhuǎn)換一次：實(shí)質(zhì)利率（實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率）一年轉(zhuǎn)換一次：實(shí)質(zhì)利率（實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率） 2. 一年轉(zhuǎn)換一年轉(zhuǎn)換m次：名義利率（名義貼現(xiàn)率）次：名義利率（名義貼現(xiàn)率） 3. 連續(xù)計(jì)息（一年轉(zhuǎn)換無窮次）：利息效力連續(xù)計(jì)息（一年轉(zhuǎn)換無窮次）：利息效力 按

2、照利息轉(zhuǎn)換頻率劃分按照利息轉(zhuǎn)換頻率劃分 -t i 1 ti 1 1 i 1 1 1 21i -2-1 0t21 金額金額 時(shí)間時(shí)間 21 1 i ti 1 復(fù)利下的現(xiàn)值和累計(jì)值復(fù)利下的現(xiàn)值和累計(jì)值 d 1 1 -t0t 1(1-d)t 1-d -11 t d)1( 1 金額金額 時(shí)間時(shí)間 復(fù)利下的現(xiàn)值和累計(jì)值復(fù)利下的現(xiàn)值和累計(jì)值 名義利率名義利率 1i1 i 1 4 1 )4( i 2 )4( 4 1 i 3 )4( 4 1 i 4 )4( 4 1 i )(m i i m i m m 11 )( 實(shí)際利率實(shí)際利率 名義貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率 1d 1d 1 4 1 )4( d 2 )4( 4 1 d

3、 3 )4( 4 1 d 4 )4( 4 1 d )(m d d m d m m 11 )( 實(shí)質(zhì)利率與實(shí)際貼現(xiàn)率實(shí)質(zhì)利率與實(shí)際貼現(xiàn)率 初始值初始值利息利息積累值積累值 1 1 ii1 d 1 11 ）（idv v 確定性年金公式推導(dǎo)確定性年金公式推導(dǎo) 2 1 1 (1)1 1 1 1(1) 1(1)(1)1 1(1)(1) 1(1) 1(1) (1)(1)(1) 11 limlim 11 limlim nn n n n n nn nn n n n n nn n n nn n n nn vvv avvv vi v avvi a d ii sii ii i siii s d v aa ii v

4、aa dd d i n 1)1( 例例1：某君每月初存款：某君每月初存款50元，共存了元，共存了10年，年， 設(shè)年利率為設(shè)年利率為9%（不是名義利率）（不是名義利率）. 問：如問：如 果按復(fù)利計(jì)算，則果按復(fù)利計(jì)算，則10年末能得多少元？年末能得多少元？ 例例 1、確定、確定500元以季度轉(zhuǎn)換元以季度轉(zhuǎn)換8%年利率投資年利率投資5 年的積累值。年的積累值。 4 20 (4) 0.08 1500 1742.97 44 n i P 2、如以、如以6%年利，按半年為期年利，按半年為期預(yù)付預(yù)付及轉(zhuǎn)換，及轉(zhuǎn)換， 到第到第6年末支付年末支付1000元，求其現(xiàn)時(shí)值。元，求其現(xiàn)時(shí)值。 84.693 2 06.

5、0 11000 2 1 12 2 )2( 0 n n d AA 3、確定季度轉(zhuǎn)換的名義利率，使其等于月、確定季度轉(zhuǎn)換的名義利率，使其等于月 度轉(zhuǎn)換度轉(zhuǎn)換6%名義貼現(xiàn)率。名義貼現(xiàn)率。 %0605. 6 1 12 06. 0 14 12 1 4 1 3 )4( 12 )12( 4 )4( i di 4 變額年金的計(jì)算變額年金的計(jì)算 5 某公司決定用五年時(shí)間建立一筆專用基金，辦法如下：某公司決定用五年時(shí)間建立一筆專用基金，辦法如下： 每年初存入一筆款，數(shù)量為逐年等額遞減每年初存入一筆款，數(shù)量為逐年等額遞減 2萬元。萬元。 從第六年開始每年末提取從第六年開始每年末提取1萬元作為獎(jiǎng)金。萬元作為獎(jiǎng)金。 假

6、如年利率為假如年利率為3%， 求第一年初的存款額。求第一年初的存款額。 解：設(shè)第一年存款額為解：設(shè)第一年存款額為 X 萬元。萬元。 分解與平衡分解與平衡 0 1 2 3 4 5 6 7 . . . . . X X-2 X-4 X-6 X-8 0 1 1. 分分 解解 X X X X X 0 -2 -4 -6 -8 1 1. 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 選選 擇擇 平衡關(guān)系式：平衡關(guān)系式： 收入現(xiàn)金流的終值收入現(xiàn)金流的終值 = 支出現(xiàn)金流的現(xiàn)值支出現(xiàn)金流的現(xiàn)值 %3%34%35 )(2 asIsX 1、某君每月初存款、某君每月初存款100元，共存了元，共存了5年，年， 設(shè)年利率為設(shè)年利率為5%，問：如果按復(fù)利

7、計(jì)算，問：如果按復(fù)利計(jì)算， 則則5年末能得多少元？年末能得多少元？ )(100 )1(%51 |06 12 i sX i ， 練練 習(xí)習(xí) 2 2、某單位每年末存入銀行、某單位每年末存入銀行2020萬元，年利率萬元，年利率 按按5%5%計(jì)算。計(jì)算。5 5年后，每年末取出一部分作為專年后，每年末取出一部分作為專 項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)基金發(fā)放，共發(fā)放項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)基金發(fā)放，共發(fā)放8 8年，每年發(fā)放金額年，每年發(fā)放金額 相等，若年利率按相等，若年利率按3%3%計(jì)算，求每年能發(fā)放的計(jì)算，求每年能發(fā)放的 最大金額。最大金額。 )(20 %3 | 8%5 | 5 axS 0 1 2 3 4 5 6 7 A A A B B B B

8、 5%7% 3、如圖所示，考慮一個(gè)兩階段的年初付的變額年金：、如圖所示，考慮一個(gè)兩階段的年初付的變額年金： 第一階段：第一階段：13年，金額年，金額 A =100 元，年利率元，年利率=5% ； 第二階段：第二階段：47年，金額年，金額 B = 200元，年利率元，年利率=7%。 按復(fù)利計(jì)算此年金的現(xiàn)值及終值。按復(fù)利計(jì)算此年金的現(xiàn)值及終值。 %7 |4 4 %5 |3 3 %7 |4%5 |3 200%)71 (100 200100 SS aa 終值 現(xiàn)值 解 4 4、有一項(xiàng)年金，第一年初支付、有一項(xiàng)年金，第一年初支付100100元，以后元，以后 每年遞增每年遞增100100元，直至永遠(yuǎn)，如果

9、年利率為元，直至永遠(yuǎn)，如果年利率為 3%3%，求其現(xiàn)值。，求其現(xiàn)值。 %3 | )(100 a I 現(xiàn)值 解 4 4、有一項(xiàng)年金，第一年初支付、有一項(xiàng)年金，第一年初支付100100元，以后元，以后 每年遞增每年遞增100100元，直至永遠(yuǎn)，如果年利率為元，直至永遠(yuǎn)，如果年利率為 3%3%，求其現(xiàn)值。，求其現(xiàn)值。 假如該年金規(guī)定假如該年金規(guī)定1010年后可以按新的年利率年后可以按新的年利率 等額支付，仍為永續(xù)年金，假設(shè)新的利率等額支付，仍為永續(xù)年金，假設(shè)新的利率 為為5%5%，在原有基金的基礎(chǔ)上，求，在原有基金的基礎(chǔ)上，求1010年后每年后每 年的支付額。年的支付額。 10 %5 | %3 |

10、01 %3 | )(100)(100)2( axaIaI 解 4 4、有一項(xiàng)年金，第一年初支付、有一項(xiàng)年金，第一年初支付100100元，以后元，以后 每年遞增每年遞增100100元，直至永遠(yuǎn)，如果年利率為元，直至永遠(yuǎn)，如果年利率為 3%3%，求其現(xiàn)值。，求其現(xiàn)值。 假如該年金規(guī)定假如該年金規(guī)定1010年后改為年后改為5 5年定期等年定期等 額年金，年利率為額年金，年利率為5%5%，求每年的支付額。，求每年的支付額。 10 %5 | 5%3 | 01%3 | )(100)(100) 3(axaIaI 5 5、有一項(xiàng)特殊年金，第一年末支付、有一項(xiàng)特殊年金，第一年末支付10001000元，元， 然后

11、每年遞增然后每年遞增500500元，增加到最高值元，增加到最高值1010萬元萬元 后，又逐年遞減，每年減少后，又逐年遞減，每年減少1 1萬元，減到萬元，減到5 5萬萬 元后保持不變，直至永遠(yuǎn)，年利率恒為元后保持不變，直至永遠(yuǎn)，年利率恒為5%5%， 求其現(xiàn)值。求其現(xiàn)值。 1 1.5 2 100 90 80 70 60 50 50 0.5 1 1.5 99.5 40 30 20 10 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 50 50 50 50 50 50 時(shí)間時(shí)間 總現(xiàn)金流總現(xiàn)金流 現(xiàn)金流現(xiàn)金流1 現(xiàn)金流現(xiàn)金流2 金錢單位：金錢單位：1000元元 0 1 2 3 199 200 201 202

12、 203 204 205 199 %5 | 199 %5 | 4 %5 | 919%5 | 919 50000)(10000 )(500500 aDa Iaa現(xiàn)值 解 199 %5 | 199 %5 | 4 %5 | 919%5 | 919 50000)(10000 )(500500 aDa Iaa現(xiàn)值 解 生生 存存 年年 金金 轉(zhuǎn)換函數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù) 0 1 0 1 1 . . t txxxx t txxxx x x x MMMR CCCM dvC 壽險(xiǎn)換算符號(hào)如下：壽險(xiǎn)換算符號(hào)如下： 0 1 0 1 . . t txxxx t txxxx x x x NNNS DDDN lvD 下下：生生存存

13、年年金金的的換換算算符符號(hào)號(hào)如如 . 1 1 0 xxx txtxx CCM dtDC 即時(shí)給付情況下：即時(shí)給付情況下： t Ex= 則則 有有 =Dx+t /Dx t 確定性年金與生存年金的確定性年金與生存年金的t年現(xiàn)值年現(xiàn)值 生存年金計(jì)算一般公式生存年金計(jì)算一般公式 z n D NN z :需要計(jì)算價(jià)需要計(jì)算價(jià) 值的時(shí)間點(diǎn)值的時(shí)間點(diǎn) ：開始支付：開始支付 年金的年齡年金的年齡 n：支付：支付 次數(shù)次數(shù) 例例1 計(jì)算計(jì)算25歲的男性購(gòu)買歲的男性購(gòu)買40年期年期10000元純粹元純粹 生存險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。已知生存險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。已知 假定假定i6 78765825. 0 2540 p 78.7

14、6578765825. 006. 11000010000 40 2540 E 解解: X+14 54 2 . 壽壽 險(xiǎn)險(xiǎn) 死者保單對(duì)全體保單共有財(cái)產(chǎn)的分享死者保單對(duì)全體保單共有財(cái)產(chǎn)的分享 初始人數(shù) 每人交的凈保費(fèi) t 年末的 投資積累 死亡人數(shù) 1元賠償 壽險(xiǎn)現(xiàn)值與終值計(jì)算的一般公式壽險(xiǎn)現(xiàn)值與終值計(jì)算的一般公式 z mnxmnxnx D DMM A x : 計(jì)算價(jià)值計(jì)算價(jià)值 的時(shí)間點(diǎn)的時(shí)間點(diǎn) n : 延期年數(shù)延期年數(shù) 特別：特別：n = 0 m ：定期年數(shù)：定期年數(shù) 特別：特別：M = 0 雙保險(xiǎn) 純壽險(xiǎn) 1 0 例例1 某人現(xiàn)年某人現(xiàn)年30歲，持有定期壽險(xiǎn)保單，規(guī)定于第歲，持有定期壽險(xiǎn)保單，

15、規(guī)定于第 一年死亡時(shí)，給付一年死亡時(shí)，給付1000元，第二年死亡時(shí)，給付元，第二年死亡時(shí)，給付 1200元，第三年死亡時(shí)，給付元，第三年死亡時(shí)，給付1400元，等等，共元，等等，共 計(jì)計(jì)20年，求躉繳純保費(fèi)。年，求躉繳純保費(fèi)。 解解 所求躉繳純保費(fèi)所求躉繳純保費(fèi) 205.166 19 2001000 2001000 30 505031 30 5030 1 | 91 :30 1 | 02:30 D MRR D MM IAA 某人某人30歲投保某一壽險(xiǎn)，約定歲投保某一壽險(xiǎn)，約定50歲之前死亡給歲之前死亡給 付付3000元，若元，若50歲仍生存，則每年末可領(lǐng)取年歲仍生存，則每年末可領(lǐng)取年 金額金額9

16、60元的終身生存年金。求其躉繳純保費(fèi)。元的終身生存年金。求其躉繳純保費(fèi)。 解：所求躉繳純保費(fèi)可看作保額解：所求躉繳純保費(fèi)可看作保額3000元的元的20年定年定 期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)與保額為期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)與保額為960元的元的20年延期年延期 終身生存年金躉繳純保費(fèi)之和。所以終身生存年金躉繳純保費(fèi)之和。所以 其躉繳純保費(fèi)其躉繳純保費(fèi) 30|20 | 02:30 1 9603000aA 4 設(shè)有保額為設(shè)有保額為1000元的元的10年限期繳費(fèi)年限期繳費(fèi)20年的兩全年的兩全 保險(xiǎn)，簽發(fā)年齡為保險(xiǎn)，簽發(fā)年齡為30歲，其附加費(fèi)用如下：歲，其附加費(fèi)用如下： 傭金：第一年按總保費(fèi)的傭金：第一年按總保費(fèi)的25%提

17、取，第二年按提取，第二年按 10%，第三年按，第三年按5%，以后均為，以后均為2%; 保費(fèi)稅：總保費(fèi)的保費(fèi)稅：總保費(fèi)的2%； 管理費(fèi)及承保費(fèi)用：第一年管理費(fèi)及承保費(fèi)用：第一年5元，第二年以后每年元，第二年以后每年 2元，保費(fèi)繳清后每年元，保費(fèi)繳清后每年1元。元。 試求其年繳總保費(fèi)。試求其年繳總保費(fèi)。 年齡年齡x=30 x+1 x+2 x+3 x+9 x+10 x+20 躉繳純躉繳純 保費(fèi)保費(fèi) 傭金傭金 管理費(fèi)管理費(fèi) 及承保及承保 費(fèi)用費(fèi)用 0.25G 0.1G 0.05G 0.02G 0.02G 5 2 2 2 2 1 . 保費(fèi)稅保費(fèi)稅0.02G 0.02G . 0.02G 30:20| 10

18、00A 費(fèi)用開支列表：費(fèi)用開支列表： 3132 30 1030:20 3030 3| 7101020 10000.250.10.05 0.020.023 DD GaAGGG DD G aGaaa ： 30：30：30：30： 按上表所示的費(fèi)用開支情況及在簽單時(shí) 收支平衡的原理，可得 練練 習(xí)習(xí) 對(duì)（對(duì)（25）購(gòu)買的保險(xiǎn)金額為）購(gòu)買的保險(xiǎn)金額為10萬元的萬元的40年年 兩全保險(xiǎn)保單，該保單的第一年費(fèi)用為兩全保險(xiǎn)保單，該保單的第一年費(fèi)用為100 元加上毛保費(fèi)的元加上毛保費(fèi)的25%，續(xù)年的費(fèi)用為，續(xù)年的費(fèi)用為25元元 加上毛保費(fèi)的加上毛保費(fèi)的10%。發(fā)生死亡給付時(shí)的理。發(fā)生死亡給付時(shí)的理 賠費(fèi)用為賠

19、費(fèi)用為100元，生存給付時(shí)不發(fā)生理賠費(fèi)元，生存給付時(shí)不發(fā)生理賠費(fèi) 用。求凈均衡年繳保費(fèi)和毛保費(fèi)。已知用。求凈均衡年繳保費(fèi)和毛保費(fèi)。已知 %60811675. 0114592. 0 1 4025 4025 iAA， ： ： 常見險(xiǎn)種的期末付生存年金常見險(xiǎn)種的期末付生存年金 險(xiǎn)種險(xiǎn)種 延付年金精算現(xiàn)值延付年金精算現(xiàn)值 終身生存年金終身生存年金 n年定期年定期 生存年金生存年金 m年延期年延期 終身生存年金終身生存年金 m年延期年延期 n年定期年定期 生存年金生存年金 1 x x A a i : : 1 xn xn A a i : 1 () xxmxx mxm x mx m aaaEaAA i :

20、: 1( ) xmxmn xm nxmx mn xmxm n aaaE a AA i 答案答案 45.856 033425. 0 15. 09 . 0 2575100100000 )1 . 025()15. 075(100100000)2( 85.732100000100000 6422.15 1 ) 1 ( 1 40:25 40:25 1 40:25 40:25 40:25 1 40:2540:25 40:25 1 40:2540:2540:25 40:25 40:25 40:25 40:25 40:25 G AAA a aAA G aGGAAaG a A P d A a %60811675

21、. 0114592. 0 1 4025 4025 iAA， ： ： 死亡時(shí)刻即刻賠付及連續(xù)死亡時(shí)刻即刻賠付及連續(xù) 支付生存年金的情形支付生存年金的情形 例1 設(shè)設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元元 保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付 簽單時(shí)，簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為的剩余壽命的密度函數(shù)為 計(jì)算計(jì)算 1 , 060 (t)60 0 , T t f 其它 0.90.9 1 (2)( ) (3)Pr()0.9. x t A Var z z （） 的 答案答案 0 60 60 0 22 60 22 0 12060 2 (1)( ) 11 6060 2( )(

22、) 1 () 60 11 () 12060 t xT t txx t x Aeft dt e edt Var zAA edtA ee （ ） 答案答案 0.9 0.90.9 0.9 0.9 0.9 60 ln ln 66 0.90.9 (3)Pr()Pr() ln =Pr( lnln)() ln ln 60 ln ( )0.9 60 ln6ln t t T v zv tvP t v v ft dt vve 例例2 已知個(gè)體已知個(gè)體(x)的未來生存時(shí)間的未來生存時(shí)間T的密度為的密度為 計(jì)算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差計(jì)算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差 30,05.0,100 ,0 0, 1 )( x t t tf T 其他 )(, 30 YVara 答案答案 458.14 05. 0 277. 011 277. 0 7005. 0 1 70 1 )( 458.14 7005. 0 1 05. 0 1 70 1 05