2.1空間解析幾何ppt課件

1、1 4.2 空間解析幾何空間解析幾何 4.2.2 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 4.2.1 空間曲面及其方程空間曲面及其方程 4.2.3 二次曲面二次曲面 2 4.2.1 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算 2、平面及其方程、平面及其方程 1、曲面方程的概念、曲面方程的概念 3 1. 曲面方程的概念曲面方程的概念 求到兩定點(diǎn)求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的等距離的點(diǎn)的 222 )3()2() 1(zyx 07262zyx 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 即即 說(shuō)明說(shuō)明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. 引例引例: 顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方

2、程顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程. 222 )4() 1()2(zyx 解解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為 , ),(zyxM,BMAM 則 軌跡方程軌跡方程. (1) 曲面與方程曲面與方程 4 定義定義 0),(zyxF S z y x o 如果曲面如果曲面 S 與方程與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系: (1) 曲面曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程; 那么那么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫

3、做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形的圖形. 兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題 : (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí), (2) 不在曲面不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程, 求曲面方程求曲面方程. (2) 已知方程時(shí)已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀 ( 必要時(shí)需作圖必要時(shí)需作圖 ). 5 M0 M R 設(shè)設(shè)),(zyxM是球面上任一點(diǎn)，是球面上任一點(diǎn)， ，RMM | 0 根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ，即即Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()( .)()()( 22 0 2 0 2 0 R

4、zzyyxx 所求方程為所求方程為 特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為 . 2222 Rzyx 以下給出幾例常見(jiàn)的曲面以下給出幾例常見(jiàn)的曲面. 222 yxRz表示上表示上(下下)球面球面 . 解解 例例 6 例例 研究方程研究方程042 222 yxzyx 解解: 配方得配方得 5 , )0, 2, 1( 0 M此方程表示此方程表示: 說(shuō)明說(shuō)明: 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通過(guò)配方研究它的圖形都可通過(guò)配方研究它的圖形. 其圖形可能是其圖形可能是 的曲面的曲面. 表示怎樣表示怎樣 半徑為半徑為的球面的球面. 0)( 222 GFzEyD

5、xzyxA 球心為球心為 一個(gè)球面一個(gè)球面, 或點(diǎn)或點(diǎn) , 或虛軌跡或虛軌跡. 5)2() 1( 222 zyx 7 定義定義 一條平面曲線一條平面曲線 (2) 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn) 一周一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面. 該定直線稱為旋轉(zhuǎn)該定直線稱為旋轉(zhuǎn) 軸軸 . 例如例如 : 8 建立建立yoz面上曲線面上曲線C 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程: 故旋轉(zhuǎn)曲面方程為故旋轉(zhuǎn)曲面方程為 , ),(zyxM 當(dāng)繞當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 0),( 11 zyf ,), 0( 111 CzyM若點(diǎn)若點(diǎn) 給定給定

6、 yoz 面上曲線面上曲線 C: ), 0( 111 zyM ),(zyxM 1 22 1, yyxzz 則有則有 0),( 22 zyxf 則有則有 該點(diǎn)轉(zhuǎn)到該點(diǎn)轉(zhuǎn)到 0),(zyf o z y x C 9 考慮：當(dāng)曲線考慮：當(dāng)曲線 C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？ 0),(:zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 10 例例 求求 yOz 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線 2 zy 成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 解解: 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 將將 y 改換成改換成 22 xy ，即得，即得， 222 zxy 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所軸旋轉(zhuǎn)所

7、x y z o 22 zxy - - 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面. . 11 例例 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為 的圓錐面方程的圓錐面方程. 解解: 在在yoz面上直線面上直線L 的方程為的方程為 cotyz 繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為圓錐面的方程為 cot 22 yxz )( 2222 yxaz cota 令令 x y z 兩邊平方兩邊平方 L ), 0(zyM 12 x y 例例 求坐標(biāo)面求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線1 2 2 2 2 c z a x 分別繞分別繞 x 軸和軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)一

8、周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 1 2 22 2 2 c zy a x 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 1 2 2 2 22 c z a yx 這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面. 所成曲面方程為所成曲面方程為 所成曲面方程為所成曲面方程為 z 13 x y z (3) 柱面柱面 引例引例. 分析方程分析方程 表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 . 的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程 222 Ryx 解解:在在 xoy 面上，面上，表示圓表示圓C, 222 Ryx 222 Ryx 沿曲線沿曲線C平行于平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為軸的一切直線所形成的曲面稱

9、為 圓圓 故在空間故在空間 222 Ryx 過(guò)此點(diǎn)作過(guò)此點(diǎn)作 柱面柱面. 對(duì)任意對(duì)任意 z ,平行平行 z 軸的直線軸的直線 l , 表示圓柱面表示圓柱面 o C 在圓在圓C上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) , )0 ,( 1 yxM l M 1 M ),(zyxM點(diǎn) 其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 14 x y z x y z o l 定義定義 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 l 形成形成 的軌跡叫做柱面的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面表示拋物柱面, 母線平行于母線平行于 z 軸軸; 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線面上的拋物線. z 軸的橢

10、圓柱面軸的橢圓柱面. xy2 2 1 2 2 2 2 b y a x z 軸的平面軸的平面. 0 yx 表示母線平行于表示母線平行于 C (且且 z 軸在平面上軸在平面上) 表示母線平行于表示母線平行于 C 叫做準(zhǔn)線叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線叫做母線. x y z o o 15 x z y 2 l 一般地一般地,在三維空間在三維空間 柱面柱面, 柱面柱面, 平行于平行于 x 軸軸; 平行于平行于 y 軸軸; 平行于平行于 z 軸軸; 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線面上的曲線 l3. 母線母線 柱面柱面, 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線面上的曲線 l1. 母線母線 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線面上的曲

11、線 l2. 母線母線 ( , )0F x y 方方程程表表示示 ( , )0G y z 方方程程表表示示 ( , )0H z x 方方程程表表示示 x y z 3 l x y z 1 l 16 從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在 空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱 面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C.（其他類推） （其他類推） 實(shí)實(shí) 例例 1 2 2 2 2 c z b y 橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x 1 2 2 2 2 b y a x 雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸 z

12、 pzx2 2 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸 y 17 z y x o 0 M n (1) 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 ),( 0000 zyxM設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn) 且垂直于非零向且垂直于非零向 0)()()( 000 zzCyyBxxA M 稱式為平面稱式為平面的點(diǎn)法式方程的點(diǎn)法式方程, 求該平面求該平面的方程的方程. ( , , ),M x y z 任任取取點(diǎn)點(diǎn) ),( 000 zzyyxx 法向量法向量. 量量 , ),(CBAn nMM 0 0 0 nMM MM 0 則有則有 故故 n 稱稱為為平平面面的的 2. 平面及其方程平面及其方程 18 例例 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)

13、 1(2)1(6)(3)0 xyz 5xyz 即即 0 M 解解: 利用點(diǎn)法式得平面方程利用點(diǎn)法式得平面方程 0(2,6,3) M (1,1,1)n 的平面方程的平面方程. n 且垂直于向量且垂直于向量 19 kji 例例 求過(guò)三點(diǎn)求過(guò)三點(diǎn) 1 ,M 又又 ) 1,9,14( 0)4() 1(9)2(14zyx 015914zyx 即即 1 M 2 M 3 M 解解: 取該平面取該平面 的法向量為的法向量為 ),2,3, 1(),4, 1,2( 21 MM)3,2,0( 3 M 的平面的平面 的方程的方程. 利用點(diǎn)法式得平面利用點(diǎn)法式得平面 的方程的方程 346 231 n n 3121 MM

14、MM 20 此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成 0 132 643 412zyx 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 一般情況一般情況 : 過(guò)三點(diǎn)過(guò)三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxM kkkk 的平面方程為的平面方程為 說(shuō)明說(shuō)明: 21 ,1, 1, 1 1 n 12, 2, 3 2 n 取法向量取法向量 21 nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 . 0632 zyx 所求平面方程為所求平面方程為 解解 22 (2) 平面的一般方程平面的一般方程 設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程

15、以上兩式相減以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程得平面的點(diǎn)法式方程 此方程稱為平面的一般此方程稱為平面的一般 0DzCyBxA 任取一組滿足上述方程的數(shù)任取一組滿足上述方程的數(shù), 000 zyx那那 么么 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0 000 DzCyBxA 顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià)顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0( 222 CBA ),(CBAn 的平面的平面, 因此方程的圖形是因此方程的圖形是 法向量為法向量為 方程方程. 23 特殊情形特殊情形 當(dāng)當(dāng) D = 0 時(shí)時(shí), A x + B y + C z = 0 表示表示 通過(guò)原點(diǎn)的平面通過(guò)原點(diǎn)的平面; 當(dāng)當(dāng) A =

16、0 時(shí)時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量的法向量 平面平行于平面平行于 x 軸軸; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示 0DCzByAx)0( 222 CBA 平行于平行于 y 軸的平面軸的平面; 平行于平行于 z 軸的平面軸的平面; 平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面; 平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面； 平行于平行于 zox 面面 的平面的平面. ,), 0(iCBn 24 設(shè)平面為設(shè)平面為 , 0 DCzByAx 由平面

17、過(guò)原點(diǎn)知由平面過(guò)原點(diǎn)知, 0 D 由由平平面面過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA ,2 , 1, 4 n 024 CBA , 3 2 CBA . 0322 zyx 所求平面方程為所求平面方程為 解解 25 例例 求通過(guò)求通過(guò) x 軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程. 解解: 因平面通過(guò)因平面通過(guò) x 軸軸 ,0AD 故故 設(shè)所求平面方程為設(shè)所求平面方程為 0zCyB 代入已知點(diǎn)代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得得 BC3 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn),得所求平面方程得所求平面方程 03 zy 26 當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 此式稱為平面的截距式方程此式稱

18、為平面的截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP 1 c z b y a x 時(shí)時(shí), )0,(cba bcax)( cay)(0baz abcbzaacybcx 平面方程為平面方程為 P o z y x R Q 分析分析:利用三點(diǎn)式利用三點(diǎn)式 按第一行展開(kāi)得按第一行展開(kāi)得 即即 0 axyz ab0 a0c (3) 平面的截距式方程平面的截距式方程 27 設(shè)平面為設(shè)平面為 , 0 DCzByAx 將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0 , 0 , 0 DcC DbB DaA , a D A , b D B . c D C 解解 代入所設(shè)方程得代入所

19、設(shè)方程得1 c z b y a x 平面的截距式方程平面的截距式方程 x軸軸上上截截距距y軸 軸上上截截距距 z軸軸上上截截距距 28 外一點(diǎn)外一點(diǎn),求求 ),( 0000 zyxP0DzCyBxA例例 設(shè)設(shè) 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxA d 0 111 DzCyBxA 解解:設(shè)平面法向量為設(shè)平面法向量為 ),( 1111 zyxP 在平面上取一點(diǎn)在平面上取一點(diǎn) 是平面是平面 到平面的距離到平面的距離d . 0 P , 則則P0 到平面的距離為到平面的距離為 01 PrjPPd n n nPP 01 0 P 1 P n

20、d , ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式) 29 (5) 兩平面的夾角兩平面的夾角 設(shè)平面設(shè)平面1的法向量為的法向量為 平面平面2的法向量為的法向量為 則兩平面夾角則兩平面夾角 的余弦為的余弦為 cos 即即 212121 CCBBAA 2 2 2 2 2 2 CBA 2 1 2 1 2 1 CBA 兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角(常為銳角常為銳角)稱為兩平面的夾角稱為兩平面的夾角. 1 2 2 n 1 n ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 21 21 cos nn nn 30 2 特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論： 21 ) 1 ( 0 212

21、121 CCBBAA 21 /)2( 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ),(: ),(: 22222 11111 CBAn CBAn 1 1 2 21 21 cos nn nn 21 nn 21 / nn 2 n 1 n 2 n 1 n 31 例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系： (2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz 解解(1) 222222 |1 2( 1) 12 1| cos 1( 1)2211 1 cos 2 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角 . 3 (1)2

22、60,250 xyzxyz 32 (2) 22222 31)1(2)1( |311201| cos 60 1 cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角 . 60 1 arccos 例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系： (2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)260,250 xyzxyz 解解 33 (3),1 , 1, 2 1 n 2, 2, 4 2 n , 2 1 2 1 4 2 兩平面平行兩平面平行 21 )0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM 兩平面平行但不重

23、合兩平面平行但不重合 解解 例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系： (2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)260,250 xyzxyz 34 )3(, 2 1 2 1 4 2 21 )0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM 兩平面平行兩平面平行 兩平面重合兩平面重合. 例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系： (2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)260

24、,250 xyzxyz 解解 35 因此有因此有 例例 一平面通過(guò)兩點(diǎn)一平面通過(guò)兩點(diǎn) 垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 . 解解: 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為 ,020CBA即即CA2 的法向量的法向量 ,0CBA CCAB)( )0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC 約去約去C , 得得0) 1() 1() 1(2zyx 即即 02zyx 0) 1() 1() 1(zCyBxA )1, 1, 1( 1 M, )1, 1,0( 2 M和和 則所求平面則所求平面 故故 , ),(CBAn 方程為方程為 n 21M Mn 且且 36 x

25、 y z o 0 M 例例 解解: 設(shè)球心為設(shè)球心為 求內(nèi)切于平面求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu) 成成 則它位于第一卦限則它位于第一卦限,且且 222 000 111 1zyx 00 331xx , 1 000 zyx Rzyx 000 因此所求球面方程為因此所求球面方程為 000 zyx 6 33 33 1 , ),( 0000 zyxM 四面體的球面方程四面體的球面方程. 從而從而 )(半徑R 2222 ) 6 33 () 6 33 ( 6 33 ) 6 33 ( zyx 37 4.2.2 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 2、空間直線及其方程、

26、空間直線及其方程 1、空間曲線方程的概念、空間曲線方程的概念 38 (1) 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組 其一般方程為方程組 0),( 0),( zyxG zyxF 2 S L0),(zyxF 0),(zyxG 1 S 例如例如,方程組方程組 22 1 235 xy xz 表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線 C. x z y1 o C 2 1. 空間曲線方程的概念空間曲線方程的概念 39 又如又如,方程組方程組 表示上半球面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. 0 22 222 xayx yxa

27、z y x z a o 40 z yx o (2) 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 將曲線將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x, y, z 表示成參數(shù)表示成參數(shù) t 的函數(shù)的函數(shù): 稱它為空間曲線的稱它為空間曲線的 參數(shù)方程參數(shù)方程. )(txx 例如例如,圓柱螺旋線圓柱螺旋線 v bt,令 bz ay ax sin cos 2, 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)bh2 taxcos taysin t vz 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 上升高度上升高度, 稱為螺距稱為螺距 . )(tyy )(tzz M 41 例例 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)方程表示: 632 1 ) 1 ( 22 zx yx

28、0 )2( 22 222 xayx yxaz 解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcos tysin )cos26( 3 1 tz (2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)( 4 22 2 2 aa yx故所求為故所求為 得所求為得所求為 tx aa cos 22 ty a sin 2 tazcos 2 1 2 1 )20(t )20(t 42 (3) 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線 C 的一般方程為的一般方程為 消去消去 z 得投影柱面得投影柱面 則則C 在在xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線 C為為 消去消去 x

29、得得C 在在yoz 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程 消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程 0),( 0),( zyxG zyxF ,0),(yxH 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT z y x C C 43 z y x C 1 o 例如例如, 在在 xoy 面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為 22 220 0 xyy z 1) 1() 1( 1 : 222 222 zyx zyx C 44 z x y o 1 C 又如又如, 所圍的立體在所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)? 上半球面上半

30、球面和錐面和錐面 22 4yxz)(3 22 yxz 0 1 22 z yx 在在 xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線 )(3 4 : 22 22 yxz yxz C 二者交線二者交線 .0, 1 22 zyx所圍圓域所圍圓域: 二者交線在二者交線在 xoy 面上的投影曲線所圍之域面上的投影曲線所圍之域 . 45 2. 空間直線及其方程空間直線及其方程 x y z o 0 1111 DzCyBxA 0 2222 DzCyBxA 1 2 L 因此其一般式方程因此其一般式方程 1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，直線可視為兩平面交線， (不唯一不唯一) 46 ),( 0000 zy

31、xM (2) 空間直線的點(diǎn)向式空間直線的點(diǎn)向式(對(duì)稱式對(duì)稱式)方程方程 故有故有 說(shuō)明說(shuō)明: 某些分母為零時(shí)某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零其分子也理解為零. m xx 0 0 0 yy xx 設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 那么那么 ),(zyxM n yy 0 p zz 0 此式稱為直線的對(duì)稱式方程此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程也稱為點(diǎn)向式方程) 直線方程為直線方程為 s 已知直線上一點(diǎn)已知直線上一點(diǎn)),( 0000 zyxM ),(zyxM 例如例如, 當(dāng)當(dāng)0,0,mnp 時(shí)時(shí) 和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms sMM/ 0 47 (3) 空間直線的參數(shù)方

32、程空間直線的參數(shù)方程 設(shè)設(shè) 得參數(shù)式方程得參數(shù)式方程 : t p zz n yy m xx 000 tmxx 0 tnyy 0 tpzz 0 48 例例 用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線 解解: 先在直線上找一點(diǎn)先在直線上找一點(diǎn). 310 2380 xyz xyz 30 310 yz yz 再求直線的方向向量再求直線的方向向量 1,3yz 令令 x = 1, 解方程組解方程組 , 得得 交已知直線的兩平面的法向量為交已知直線的兩平面的法向量為 是直線上一點(diǎn)是直線上一點(diǎn) .(1,1,3) 故故 .s 1 (1, 3,1),n )3, 1,2( 2 n 21 ns,ns 21 nn

33、s 49 故所給直線的對(duì)稱式方程為故所給直線的對(duì)稱式方程為 參數(shù)式方程為參數(shù)式方程為 110 1 37 xt yt zt t 1 10 x 1 1 y 3 7 z 解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn)先找直線上一點(diǎn); 再找直線的方向向量再找直線的方向向量. (10,1,7) 21 nns131 213 ijk 50 例例 用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線 解解:先在直線上找一點(diǎn)先在直線上找一點(diǎn). 0432 01 zyx zyx 63 2 zy zy 再求直線的方向向量再求直線的方向向量 2,0zy 令令 x = 1, 解方程組解方程組 ,得得 是直線上一點(diǎn)是直線上一點(diǎn) .)2,0

34、, 1(故 .s 12 snn)3, 1,4( 312 111 kji 51 故所給直線的對(duì)稱式方程為故所給直線的對(duì)稱式方程為 參數(shù)式方程為參數(shù)式方程為 tz ty tx 32 41 t 4 1x 1 y 3 2 z 解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn)先找直線上一點(diǎn); 再找直線的方向向量再找直線的方向向量. (4, 1,3)s (1,0,2) 例例 用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線 0432 01 zyx zyx 52 2 L 1 L (4) 空間直線間的夾角空間直線間的夾角 則兩直線夾角則兩直線夾角 滿足滿足 21 , LL 設(shè)直線設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角兩直

35、線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角通常取銳角) 的方向向量分別為的方向向量分別為 212121 ppnnmm 2 1 2 1 2 1 pnm 2 2 2 2 2 2 pnm ),(, ),( 22221111 pnmspnms 21 21 cos ss ss 1 s 2 s 53 特別有特別有: 21 ) 1(LL 21 /)2(LL 0 212121 ppnnmm 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 21 ss 21 /ss 54 例例 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角 解解: 直線直線 直線直線 二直線夾角二直線夾角 的余弦為的余弦為 1 3 41 1 : 1 zyx

36、 L 02 02 : 2 zx yx L cos 2 2 從而從而 4 的方向向量為的方向向量為 1 L 的方向向量為的方向向量為 2 L) 1,2,2( ) 1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 ) 1()2(2 ) 1,4, 1 ( 1 s 201 011 2 kji s 55 當(dāng)直線與平面垂直時(shí)當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角規(guī)定其夾角 線所夾銳角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角稱為直線與平面間的夾角; L (5) 空間直線與平面的夾角空間直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)當(dāng)直線與平面不垂直時(shí), 設(shè)直線設(shè)直線 L 的方向向量為的方向向量為 平面平面 的法向量為的法向量為

37、 則直線與平面夾角則直線與平面夾角 滿足滿足 . 2 222222 CBApnm pCnBmA 直線和它在平面上的投影直直線和它在平面上的投影直 ),(pnms ),(CBAn ),cos(sinns ns ns s n 56 特別有特別有: L) 1( /)2(L0pCnBmA p C n B m A ns/ ns 解解: 取已知平面的法向量取已知平面的法向量 124xyz 則直線的對(duì)稱式方程為則直線的對(duì)稱式方程為 2340 xyz 直的直線方程直的直線方程. 為所求直線的方向向量為所求直線的方向向量. 231 垂垂 (2, 3,1)n n 例例 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(1, 2 , 4) 且與平面且

38、與平面 57 特別有特別有: L) 1( /)2(L0pCnBmA p C n B m A ns/ ns 解解: 取已知平面的法向量取已知平面的法向量 421 zyx 則直線的對(duì)稱式方程為則直線的對(duì)稱式方程為 0432zyx 直的直線方程直的直線方程. 為所求直線的方向向量為所求直線的方向向量. 132 垂垂 ) 1,3,2(n n 例例 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面且與平面 58 解解: 直線直線 L 的方向向量是：的方向向量是： 222222 |2 155 ( 9)3 5| sin 25315( 9)5 則直線與平面的夾角正弦是則直線與平面的夾角正弦是 159562xyz的位置

39、關(guān)系的位置關(guān)系. 平面平面 S 的法向量：的法向量： 和平面和平面 S ： (15,9,5)n 例例 討論直線討論直線 L : 216 253 xyz (2, 5, 3)l 0 于是夾角為于是夾角為 0。所以直線與平面平行或直線在平面內(nèi)。所以直線與平面平行或直線在平面內(nèi) 易證易證( 0, 2, 16 ) 在直線上，也在平面上，所以直線在在直線上，也在平面上，所以直線在 平面內(nèi)。平面內(nèi)。 59 4.2.3 二次曲面二次曲面 2、橢球面、橢球面 1、橢圓錐面、橢圓錐面 3、雙曲拋物面、雙曲拋物面 4、橢圓拋物面、橢圓拋物面 5、單葉雙曲面、單葉雙曲面 6、雙葉雙曲面、雙葉雙曲面 60 二次曲面二次

40、曲面 三元二次方程三元二次方程 0 321 321 2 3 2 2 2 1 dzcycxc yzbxzbxybzayaxa 所表示的曲面稱為二次曲面，所表示的曲面稱為二次曲面， 其其中中 ii ba ,不不全全為為零零。 二次曲面方程經(jīng)過(guò)配方和適當(dāng)選取空間直角坐二次曲面方程經(jīng)過(guò)配方和適當(dāng)選取空間直角坐 標(biāo)系后，可以化成如下幾種標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)系后，可以化成如下幾種標(biāo)準(zhǔn)形式. . 61 1. 橢圓錐面橢圓錐面 22 2 22 ( ,) xy za b ab 為為正正數(shù)數(shù) zt 在在平平面面上上的的截截痕痕為為橢圓橢圓 在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 . z x y o 1 )()( 2 2 2 2 t b y t a x tz , 可以證明可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上. (橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或或 y 方向的伸縮變換方向的伸縮變換 得到得到) x y z 62 z x y O 用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 z = 0 , x = 0 和和 y = 0去截割去截割, 分別得橢圓分別得橢圓 0 1 2 2 2 2 z b y a x 1 2 2 2 2 2 2 c z b y