絕對值不等式的解法[青苗教育]

1、 每當人們?nèi)デ蠼馊魏我坏罃?shù)學問題，每當人們?nèi)デ蠼馊魏我坏罃?shù)學問題， 或力圖攀登一個數(shù)學高峰，都被譽為摘或力圖攀登一個數(shù)學高峰，都被譽為摘 取科學皇冠上的明珠取科學皇冠上的明珠! 徐安福徐安福徐安福 2絕對值不等式的解法 1.1.含絕對值的不等式含絕對值的不等式|x|a|x|a|x|a的解集的解集. . 不等式不等式 a0a0a=0a=0a0a0 |x|a|x|a|x|a_ x|-ax|-ax xaa x|xx|xa a或或x x-a-axxR|xR|x00 R R 2.|ax+b|c(c0)2.|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(c0)|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法.

2、 . (1)|ax+b|c(1)|ax+b|c_._. (2)|ax+b|c(2)|ax+b|c_._. -cax+bc-cax+bc ax+bcax+bc或或ax+b-cax+b-c 1.1.不等式不等式|x|x1|1|2 2的解集是的解集是_._. 【解析解析】由由|x|x1|1|2 2得得2 2x x1 12 2，解得，解得1 1x x3.3. 答案：答案：( (1,3)1,3) 2.2.不等式不等式|4|43x|23x|2的解集是的解集是_._. 【解析解析】|4|43x|23x|2|3x|3x4|24|23x3x442 2 或或3x3x4242，解得，解得 或或x2.x2. 答案：答

3、案： 2 (, )2,) 3 2 x 3 解含絕對值不等式的核心任務(wù)解含絕對值不等式的核心任務(wù) 解含絕對值不等式的核心任務(wù)是：去絕對值，將不等式恒等解含絕對值不等式的核心任務(wù)是：去絕對值，將不等式恒等 變形為不含絕對值的常規(guī)不等式，然后利用已經(jīng)掌握的解題變形為不含絕對值的常規(guī)不等式，然后利用已經(jīng)掌握的解題 方法求解；注意不可盲目平方去絕對值符號方法求解；注意不可盲目平方去絕對值符號. . 類型類型 一一簡單絕對值不等式的解法簡單絕對值不等式的解法 1.1.不等式不等式 的解集是的解集是_._. 2 2不等式不等式 的解集為的解集為_._. 1 |x2| 1 2 2 1 |1xx |1 2 【解

4、析解析】1. 1. 解得解得2x6.2x6. 1 |x2| 1x422x42, 2 答案：答案： 2,62,6 【拓展提升拓展提升】絕對值不等式的常見類型及其解法絕對值不等式的常見類型及其解法 (1)(1)形如形如|f(x)|a(aR)|f(x)|a(aR)型不等式型不等式. . 此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法，即此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法，即 當當a0a0時，時，|f(x)|a|f(x)|a-af(x)a.-af(x)a|f(x)|af(x)af(x)a或或f(x)-a.f(x)-a. 當當a=0a=0時，時，|f(x)|a|f(x)|a|f(x)|af(x)0.f(x)0. 當當a

5、0a0時，時，|f(x)|a|f(x)|a|f(x)|af(x)f(x)有意義即可有意義即可. . (2)(2)形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|型不等式型不等式. . 此類問題的簡單解法是利用平方法，即此類問題的簡單解法是利用平方法，即 |f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)f(x)2 2 g(x)g(x)2 2 f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)-g(x)0.0. (3)(3)形如形如|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)型不等式型不等式. . 此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法，即此類不等式的簡單解法是等價轉(zhuǎn)化法，即 |f(x)|g

6、(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x),-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x)(f(x)-g(x)(其中其中g(shù)(x)g(x)可正也可正也 可負可負).). 若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復(fù)雜若此類問題用分類討論法來解決，就顯得較復(fù)雜. . (4)(4)形如形如a|f(x)|a0)a|f(x)|a0)型不等式型不等式. . 此類問題的簡單解法是利用等價轉(zhuǎn)化法，即此類問題的簡單解法是利用等價轉(zhuǎn)化法，即 a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b(0ab)af(x)baf(x)b或或-bf(x)-a.-bf(x)-a

7、. (5)(5)形如形如|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)型不等式型不等式. . 此類問題的簡單解法是利用絕對值的定義，即此類問題的簡單解法是利用絕對值的定義，即 |f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)f(x)0.f(x)0)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等型不等 式的解法式的解法 (1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式有三種解型不等式有三種解 法：分區(qū)間法：分區(qū)間( (分類分類) )討論法討論法,圖象法和幾何法圖象法和幾何法. .分區(qū)間

8、討論的方分區(qū)間討論的方 法具有普遍性法具有普遍性, ,但較麻煩但較麻煩; ;幾何法和圖象法直觀幾何法和圖象法直觀, ,但只適用于數(shù)但只適用于數(shù) 據(jù)較簡單的情況據(jù)較簡單的情況. . (2)(2)分區(qū)間分區(qū)間( (分類分類) )討論的關(guān)鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解討論的關(guān)鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解, , 即即 也即也即xR.xxR.x為非負數(shù)時為非負數(shù)時, ,x x為為x;xx;x為負為負 數(shù)時數(shù)時, ,x x為為-x,-x,即即x x的相反數(shù)的相反數(shù). . xx0 x xx0 ， ， (3)(3)x-ax-a+ +x-bx-bc,c,x-ax-a+ +x-bx-bc(c0)c(c0)型不等式型

9、不等式 的圖象解法和畫出函數(shù)的圖象解法和畫出函數(shù)f(x)=f(x)=x-ax-a+ +x-bx-b-c-c的圖象是密的圖象是密 切相關(guān)的切相關(guān)的, ,其圖象是折線其圖象是折線, ,正確地畫出其圖象的關(guān)鍵是寫出正確地畫出其圖象的關(guān)鍵是寫出f(x)f(x) 的分段表達式的分段表達式. .不妨設(shè)不妨設(shè)ab,ab, 于是于是 這種圖象法的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)這種圖象法的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù), ,正確畫出函數(shù)的圖象正確畫出函數(shù)的圖象, , 求出函數(shù)的零點求出函數(shù)的零點, ,體現(xiàn)了函數(shù)與方程結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了函數(shù)與方程結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的思想. . 2xabcxa f(x)bacaxb 2xabcxb.

10、， ， ， ， ， 其他類型的絕對值不等式其他類型的絕對值不等式 【典型例題典型例題】 1.1.不等式不等式2x-32x-33x+13x+1的解集是的解集是_._. 2.2.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|,f(x)=|x-1|+|x-a|,如果對任意如果對任意xR,f(x)2,xR,f(x)2,則則a a的的 取值范圍是取值范圍是_._. 3.3.解不等式：解不等式：|x|x2 23|3|2x.2x. 【解析解析】1.|2x-3|3x+1,1.|2x-3|0,3x+10,原不等式轉(zhuǎn)化為原不等式轉(zhuǎn)化為 -(3x+1)2x-33x+1.-(3x+1)2x-33x+1. 以上不等式等價

11、于以上不等式等價于 所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為 答案：答案： 2x33x1,x25, 2x33x1,x4,x25. 3x10,x13 2 (). 5 ， 2 (). 5 ， 2.2.若若a=1,a=1,則則f(x)=2|x-1|,f(x)=2|x-1|,不滿足題設(shè)條件不滿足題設(shè)條件. . 若若a1,a1,a1,則則 f(x)f(x)的最小值為的最小值為a-1.a-1. 綜上可知，所求綜上可知，所求a a的取值范圍是的取值范圍是(-,-1(-,-13,+).3,+). 答案：答案：(-,-1(-,-13,+)3,+) 2xa1, xa f(x)1 a, ax1, 2xa1 , x1

12、 ， 2xa1, x1 f(x)a1, 1xa 2xa1 , xa ， ， 3. 3. 因為因為|x|x2 23|3|2x2x，所以，所以x x0 0， 所以所以|x|x2 23|3|2x2x2x2xx x2 23 32x2x 解不等式組得解不等式組得 22 22 2xx3x2x 3 0 x3 2xx2x 3 0 ， ， ， x |1x 3. 【拓展提升拓展提升】含參數(shù)的不等式問題分類及解題策略含參數(shù)的不等式問題分類及解題策略 (1)(1)一類要對參數(shù)進行討論，另一類對參數(shù)并沒有進行討論，一類要對參數(shù)進行討論，另一類對參數(shù)并沒有進行討論， 而是去絕對值時對變量進行討論，得到兩個不等式組，最后而

13、是去絕對值時對變量進行討論，得到兩個不等式組，最后 把兩不等式組的解集合并，即得該不等式的解集把兩不等式組的解集合并，即得該不等式的解集. . (2)(2)解絕對值不等式的基本思想是想方設(shè)法去掉絕對值符號，解絕對值不等式的基本思想是想方設(shè)法去掉絕對值符號， 去絕對值符號的常用手段有以下幾種：去絕對值符號的常用手段有以下幾種： 形如形如f(x)f(x)g(x)g(x)或或f(x)f(x)g(x)g(x)的求解方法：的求解方法： ()()根據(jù)實數(shù)的絕對值的意義分類討論，根據(jù)實數(shù)的絕對值的意義分類討論， 即即 ()()根據(jù)公式：根據(jù)公式：|x|a|x|a-axa(aR-ax0);a0); f(x)f

14、(x)g(x)g(x)-g(x)f(x)g(x);-g(x)f(x)a|x|axaxa或或x-a(aRxg(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)-g(x).f(x)0,a+10, 即即a-1a-1時，時，6 6分分 原不等式可變?yōu)樵坏仁娇勺優(yōu)?a-12x+3a+1.-a-12x+3-1a-1時，原不等式的解集為時，原不等式的解集為 當當a-1a-1時，原不等式的解集為時，原不等式的解集為 . . 1212分分 a4a2 x. 22 a4 a2 (,); 22 【防范措施防范措施】 含參數(shù)的絕對值不等式含參數(shù)的絕對值不等式 解含參數(shù)的絕對值不等式的題型，容易忽略對參數(shù)的符號

15、進解含參數(shù)的絕對值不等式的題型，容易忽略對參數(shù)的符號進 行討論，如本例需對行討論，如本例需對a+1a+1的符號進行討論，否則易導(dǎo)致錯誤結(jié)的符號進行討論，否則易導(dǎo)致錯誤結(jié) 果果. . 1.1.解關(guān)于解關(guān)于x x的不等式：的不等式：|x|x2 2-a|a.-a|0a0時，原不等式等價于時，原不等式等價于-ax-ax2 2-aa-aa0 x0 x2 22a,0a0時，原不等式的解集為時，原不等式的解集為 2ax2a,x0.且(2a,0)(0, 2a). 2.2.若不等式若不等式|ax+2|ax+2|6 6的解集為的解集為( (1,2)1,2)，則實數(shù)，則實數(shù)a=_.a=_. 【類題試解類題試解】 2.2.若不等式若不等式|ax+2|ax+2|6 6的解集為的解集為( (1,