《線性代數(shù)》第四章：線性方程組

1、線性代數(shù)第四章：線性方程組 第四章 線性方程組 線性代數(shù)第四章：線性方程組 學(xué)習(xí)要點(diǎn)及目標(biāo) v掌握線性方程組有解和無(wú)解的判定方法；理 解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法； 理解非齊次線性方程組的通解的結(jié)構(gòu)，掌握 非齊次線性方程組的解與齊次線性方程組的 解之間的關(guān)系，會(huì)用齊次線性方程組的基礎(chǔ) 解系表示非齊次線性方程組的通解。 線性代數(shù)第四章：線性方程組 4.1 線性方程組的概念線性方程組的概念 v內(nèi)容要點(diǎn)：內(nèi)容要點(diǎn)： v 線性方程 v 線性方程組 v 線性方程組解的特殊情況 線性代數(shù)第四章：線性方程組 線性方程線性方程 v 定義定義 方程 稱為n 元線性

2、方程元線性方程 ， 其中， 為變量， 為常數(shù)。滿足方程 的一個(gè)n元有序數(shù)組稱為n元元方程 的一個(gè)解。一個(gè)解。 v 定義定義設(shè)非零方程 的首非零項(xiàng)系 數(shù)是 對(duì) 的任一組數(shù)可以得到方程的一個(gè)特特 解解，其中變量 為自由變量自由變量。方 程的所有解的集合稱為方程 的通解通解 或一般解一般解。 1 122nn a xa xa xb i xi a1,2,in 1 122nn a xa xa xb 1 122nn a xa xa xb p a jp 111 , ppn xxxx 1 122nn a xa xa xb 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v例如 是一個(gè)二元方程， 不同時(shí) 為零時(shí)，方程有無(wú)窮多解，如

3、為二元方程 的一個(gè)特解， 為二元方程的通解；當(dāng) 同時(shí)為零,若時(shí)， 方程無(wú)解；當(dāng) 同時(shí)為零,若 時(shí)，方 程有無(wú)窮多解任意一對(duì)有序?qū)崝?shù)都是方程的 解。 axbyc 00, c by b 時(shí)，x 0, ca bk yk kR bb 時(shí)，x , a b 0c 0c axbyc , a b , a b 線性代數(shù)第四章：線性方程組 例例求三元方程 的兩個(gè)特解和通解。 v解解：這里 為首非零元， 為自由變量，給 取任意值，就可求出 不妨設(shè) 代入方程，就可得到 故 或 為三元方程 的一個(gè)特解； 再設(shè) 代入方程，就可得到 故 或 為三元方程 的又一個(gè)特解； 123 248xxx 1 x23 ,x x 1 x 2

4、3 ,x x 23 0,0 xx 1 4x 1 2 3 4 0 0 x x x 4 0 0 123 248xxx 23 1,0 xx 1 2x 1 2 3 2 1 0 x x x 2 1 0 123 248xxx 線性代數(shù)第四章：線性方程組 要求方程 的通解，需要給自由 變量 , 取任意值，不妨設(shè) 代入方程就可得到 ，故 或 為三元方程 的通解 123 248xxx 23 ,x x 213212 ,xk xkk kR 123 1 42 2 xxx 112 2112 32 1 42 2 , xkk xkk kR xk 12 9 42 2 010 001 kk 123 248xxx 線性代數(shù)第四章

5、：線性方程組 元線性方程組元線性方程組 v定義定義線性方程組 稱為n元線性方程組。元線性方程組。 v其矩陣形式為 (2) 其中 為第 個(gè)方程第 個(gè)變量的系數(shù)， 為第 個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)，這里 。 ) 1 ( 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa bAX ij ai j j x i b 1,2,;1,2,imjn 。 i 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v矩陣 分別稱為線性方程組(1) 的系數(shù)矩陣、未知數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)矩陣系數(shù)矩陣、未知數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)矩陣。 v矩陣 稱為線性方程組(1)的增廣矩陣增廣矩陣。 v當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不全為零

6、時(shí)，稱為非齊次線性方程非齊次線性方程 組組; 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)全為零，即 時(shí), 線性 方程組(1)稱為齊次線性方程組，齊次線性方程組，也稱為非齊非齊 次線性方程組的導(dǎo)出組次線性方程組的導(dǎo)出組。 v當(dāng)線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，其所有解的集 合稱為方程組的通解通解或一般解一般解。 , 2 1 2 1 21 22221 11211 mnmnmm n n b b b b x x x X aaa aaa aaa A )(bA mibi, 2 , 1, 0 線性代數(shù)第四章：線性方程組 三角形方程組與階梯形方程組三角形方程組與階梯形方程組 v定義定義線性方程組 稱為 元三角形線性方程組。元三角形線性方程組。 v三角形

7、線性方程組要求方程組所含方程的個(gè)數(shù)等于 未知量的個(gè)數(shù)，且第 個(gè)方程第 個(gè)變量 的系數(shù) 而 v三角形線性方程組是一類特殊的情形，解法也簡(jiǎn)單， 由克萊姆法則可以判斷，其解惟一，一般只需要從 最后一個(gè)方程開(kāi)始求解，逐步回代，就可求出方程 組的全部解 11 112211 22222 (5) nn nn nnnn a xa xa xb a xa xb a xb n ii i x 0,1,2, ii ain 0, ii aij 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v定義定義線性方程組 中自上而下的各方程所含未知量個(gè)數(shù)依次減 少，這種形式的方程組稱為n元階梯形線性方元階梯形線性方 程組。程組。 v當(dāng)方程組所含方程的

8、個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù) 時(shí)，階梯形線性方程組即為三角形線性方程 組，因此說(shuō)三角形線性方程組是階梯形線性 方程組的特殊情況。 11 112211 22222 (6) nn nn rrrrnnr a xa xa xb a xa xb rn a xa xb 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v線性方程組（6）與下列方程組同解 v因此，階梯形線性方程組解法可仿照三角形 線性方程組的解法，從最后一個(gè)方程開(kāi)始求 解，逐步回代，就可求出方程組的全部解。 11 1122111111 222222112 11 (7) rrrrnn rrrrnn rrrrrrrrnn a xa xa xbaxa x a xa xbaxa

9、 x rn a xbaxa x 線性代數(shù)第四章：線性方程組 4.2 消元法消元法 v內(nèi)容要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn) 線性方程組的初等變換 非齊次線性方程組的消元解法 齊次線性方程組的消元解法 線性代數(shù)第四章：線性方程組 線性方程組的初等變換線性方程組的初等變換 v定義定義將線性方程組 (1)交換某兩個(gè)方程的位置; (2)用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程的兩邊; (3)將一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上去。 以上這三種變換稱為線性方程組的初等變換初等變換。 v 用消元法求解線性方程組的具體作法就是對(duì)方程組 反復(fù)實(shí)施以下三種初等變換：交換兩個(gè)方程；用非 零數(shù)乘某方程；將一個(gè)方程（行）的倍數(shù)加到另一 個(gè)方程的過(guò)程。 線性代

10、數(shù)第四章：線性方程組 v線性方程組經(jīng)一次或數(shù)次初等變換后，方程 組的解不變。即初等變換總是把線性方程組 變成同解方程組,經(jīng)過(guò)初等變換后得到的方程 組與原方程組等價(jià)。 v消元法的目的就是利用方程組的初等變換將 原方程組化為階梯形方程組, 由于這個(gè)階梯形 方程組與原線性方程組同解, 解這個(gè)階梯形方 程組得到的解就是原方程組的解。 v注意：注意：將一個(gè)方程組化為行階梯形方程組的 步驟并不是惟一的, 所以，同一個(gè)方程組的行 階梯形方程組也不是唯一的。 線性代數(shù)第四章：線性方程組 vn元線性方程組的一般形式為 當(dāng)常數(shù)項(xiàng) ，至少有一個(gè)不為零時(shí)， 線性方程組為非齊次線性方程組； . 2211 2222212

11、1 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 1,2, i b im 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v當(dāng)常數(shù)項(xiàng)全為零時(shí)，即 =0線性方程組為齊 次線性方程組，這時(shí)方程組的一般形式為 0 . 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa i b 線性代數(shù)第四章：線性方程組 非齊次線性方程組的消元解法非齊次線性方程組的消元解法 v一般來(lái)說(shuō)，對(duì)元非齊次線性方程組 v反復(fù)應(yīng)用初等變換，可化為階梯形方程組 . 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxa

12、xaxa bxaxaxa bxaxaxa 00 . 0 . 1 222222 111212111 r rnrnrrr nnrr nnrr b bxaxa bxaxaxa bxaxaxaxa 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v不妨設(shè)為 v結(jié)論結(jié)論：1.如果 ，則線性方程組無(wú)解； v2.如果 ，則線性方程組有解： (1)如果 ，則線性方程組可化為 v其中 ,則線性方程組有唯一解。 00 . 0 . 1 222222 111212111 r rnrnrrr nnrr nnrr d dxcxc dxcxcxc dxcxcxcxc 0 1 r d 0 1 r d rn . 22222 11212111 nn

13、nn nn nn dxc dxcxc dxcxcxc 0 nn c 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v(2) 當(dāng) 時(shí)，方程組可以化為 v其中 , 將其改寫(xiě)成 其中未知量 稱為自由未知量。 任取一組數(shù)就可以得到一組解。所以方程組 有無(wú)窮多組解。 rn rnrnrrr nnrr nnrr dxcxc dxcxcxc dxcxcxcxc . 222222 111212111 0 rr c . 11 211222222 111111212111 nrnrrrrrrr nnrrrr nnrrrr xcxcdxc xcxcdxcxc xcxcdxcxcxc nrr xxx, 21 線性代數(shù)第四章：線性方程組

14、例例 用消元法解線性方程組 解解： 原線性方程組化成 732 32 11523 423x 321 321 321 321 xxx xxx xxx xx 123 123 23 23 23 23 23 x324 x324 71 71 555 1 71 xx xx xx xx xx xx xx 1231231 23232 333 3243242 110 6611 xxxxxxx xxxxx xxx 線性代數(shù)第四章：線性方程組 齊次線性方程組的消元解法齊次線性方程組的消元解法 v齊次線性方程組的一般形式為 若反復(fù)應(yīng)用初等變換，則可化為 0a 0a 0a 221m1 2222121 1212111 nm

15、nm nn nn xaxax xaxax xaxax 00 . 00 0 . 0 0 22222 11212111 nrnrrr nnrr nnrr xaxa xaxaxa xaxaxaxa 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v不妨設(shè)為 v結(jié)論結(jié)論：1.如果 ，則齊次線性方程組肯定有 解，至少有零解。 v2.（1）如果 ，則線性方程組可化為 v其中 則線性方程組有唯一解，即僅有零解。 00 . 00 0 . 0 0 22222 11212111 nrnrrr nnrr nnrr xcxc xcxcxc xcxcxcxc 0 1 r d rn 0 . 0 0 2222 1212111 nnn nn n

16、n xc xcxc xcxcxc 0 rr c 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v(2) 當(dāng) 時(shí)，方程組可以化為 v其中 將其改寫(xiě)成 v其中未知量 稱為自由未知量。 任取一組數(shù)就可以得到一組解。所以方程組 有無(wú)窮多組解。 rn 0 rr c . 11 21122222 11111212111 nrnrrrrrr nnrrrr nnrrrr xcxcxc xcxcxcxc xcxcxcxcxc nrr xxx, 21 0 . 0 0 22222 11212111 nrnrrr nnrr nnrr xcxc xcxcxc xcxcxcxc 線性代數(shù)第四章：線性方程組 例例 解齊次線性方程組 v解解：

17、原線性方程組化成 05 02 032x 21 321 321 xx xxx xx 1212 12323 12323 12121 23322 3 5050 2070 2x3070 5055 707 00007 xxxx xxxxx xxxx xxxxxc xxxxxccR xc 線性代數(shù)第四章：線性方程組 例例 解齊次線性方程組 求 （1）當(dāng)取何值時(shí)僅有零解；（2）當(dāng)取何值時(shí)有無(wú)窮組解。 解: 所以當(dāng) 時(shí)僅有零解；當(dāng) 時(shí)有無(wú)窮 組解。 02 02 0 x 21 321 321 xx xxx xx 123123 12312 12123 123 23 23 123 23 3 x0 x0 2020 2

18、020 x0 220 210 x0 220 30 xxxx xxxxx xxxxx xx xx xx xx xx x 33 線性代數(shù)第四章：線性方程組 4.3 高斯消元法高斯消元法 內(nèi)容要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn) v線性方程組的矩陣 v齊次線性方程組的消元解法 v非齊次線性方程組的消元解法 v線性方程組解的存在性 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v如果用矩陣表示其系數(shù)及常數(shù)項(xiàng), 則將原方程 組化為行階梯形方程組的過(guò)程就是將對(duì)應(yīng)矩 陣化為行階梯形矩陣的過(guò)程。 v用消元法解線性方程組的過(guò)程, 相當(dāng)于對(duì)該方 程組的增廣矩陣作初等行變換化為階梯形矩 陣(消元過(guò)程)再出階梯形矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等 行變換(回代過(guò)程)，就求得方

19、程組的解回代 過(guò)程的最后一個(gè)矩陣恰為簡(jiǎn)化的階梯形矩陣簡(jiǎn)化的階梯形矩陣。 線性代數(shù)第四章：線性方程組 例例 用矩陣消元法求解下列線性方程組: v解對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，得： v最后的階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的階梯形方程 由0=4可知，這是一個(gè)矛盾方程組，無(wú)解所以 原方程組也無(wú)解。 1234 1234 123 1234 221140 31 224 44326 xxxx xxxx xxx xxxx 22114011311 11311221140 2210422104 4432644326 1131111311 0052200522 0052200000 00156200004 Ab 1234 34

20、31 522 04 xxxx xx 線性代數(shù)第四章：線性方程組 例例解下列線性方程組: v解解：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，得： 最后的階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為 即 方程組有無(wú)窮多個(gè)解。 1234 123 1234 1234 323 232 21 44326 xxxx xxx xxxx xxxx 1321313213 2130205124 1211105124 13213 05124 00000 Ab 1234 234 323 524 xxxx xxx 1234 234 332 542 xxxx xxx 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v由上面的階梯形矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行初等行變換化為簡(jiǎn)化 的階梯

21、形矩陣，完成回代過(guò)程(接上面的最后一個(gè)矩 陣)： 最后的階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為 與原方程已同解。 13213 13213 124 0512401 555 00000 00000 713 10 555 124 01 555 00000 Ab 134 234 371 555 412 555 xxx xxx 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v取自由未知量 就可以確定對(duì)應(yīng)的 值，從而得到方程組的全部解(或一般解)： v因此原方程組有無(wú)窮多組解。這時(shí)，變量 為自由未知量。 3142 ,xc xc 12 ,x x 112 212 12 31 42 371 555 412 , 555 xcc xcc c

22、cR xc xc 34 ,x x 線性代數(shù)第四章：線性方程組 解的情況 v對(duì)一般的線性方程組 對(duì)于增廣矩陣 施以初等行變換，化為階梯形矩陣 或 ) 1 ( 2211 22222121 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 111121 212222 12 n n mmmnm baaa aaab Ab aaab 1112111 22222 1 0 00 0000 00000 rn rr rrrnr r ccccd cccd ccd d 1112111 22222 0 00 00000 00000 rn rr rrrnr ccccd cccd

23、ccd 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v1.當(dāng) 時(shí),方程組無(wú)解； v2.當(dāng) 時(shí),方程組與三角形方程組 同解，且解惟一。 3.當(dāng) 時(shí),方程組與階梯形方程組 同解，且解有無(wú)窮多組 . ()1r Abr A ()r Abr An 11 112211 22222 nn nn nnnn c xc xc xd c xc xd c xd ()r Abr An . 11 211222222 111111212111 nrnrrrrrrr nnrrrr nnrrrr xcxcdxc xcxcdxcxc xcxcdxcxcxc 線性代數(shù)第四章：線性方程組 線性方程組解的存在性線性方程組解的存在性 v定理定理 n元齊

24、次線性方程組 有非零解的充要條充要條 件件是系數(shù)矩陣 的秩 。 v推論推論 齊次線性方程組 有惟一解的充分必要條 件是 。 即： v推論推論 線性方程組 有無(wú)窮多組解的充分必要條 件是 。 即： 。 v推論推論若方程組 中有 ，即方程個(gè)數(shù)小于 末知量個(gè)數(shù)時(shí)，方程組 必有非零解。 0Ax () ijm n Aa ( )r An ( )r An 0Ax 0Ax 0Ax 0Ax mn ( )0r AnAx .0)(只有零解AxnAr ( )r An 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v推論推論若方程組 中有 ，即方程個(gè)數(shù)等于末 知量個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行 列式等于零。 v定理定理 n元非

25、齊次線性方程組 有解的充要條件 是系數(shù)矩陣 的秩等于增廣矩陣 的秩, 即 。 v推論推論元非齊次線性方程組 無(wú)解。 有唯一解；bAxnArAr) ()( 有無(wú)窮多解；bAxnArAr) ()( ( )( )r Ar AAxb 0Axmn bAx () ijm n Aa )( bAA ( )( )r Ar A bAx 線性代數(shù)第四章：線性方程組 4.4齊次線性方程組齊次線性方程組 內(nèi)容要點(diǎn)內(nèi)容要點(diǎn) v 解向量的概念 v 齊次線性方程組解的性質(zhì) v 基礎(chǔ)解系的定義 v 基礎(chǔ)解系的求法 v解空間及其維數(shù) 線性代數(shù)第四章：線性方程組 解向量的概念解向量的概念 v設(shè)有齊次線性方程 (1) 若記系數(shù)矩陣為

26、 未知數(shù)向量為 則方程組(1)可記為： (2) 稱方程(2)的解 為方程組(1)的解向量。解向量。 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 n x x x X 1 0AX n x x x X 2 1 線性代數(shù)第四章：線性方程組 齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì): v性質(zhì)性質(zhì)1 若 為方程組(2)的解, 則 也 是該方程組的解。 v性質(zhì)性質(zhì)2 若 為方程組(2)的解, k為實(shí)數(shù), 則 也是(2)的解。 v性質(zhì)性質(zhì)3 若 為方程組(

27、2)的解， 為任意實(shí)數(shù)，則有： 也是該 方程組的解。 12 , n 12 , n kkk 1 122nn kkk k 21, 21 線性代數(shù)第四章：線性方程組 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 v定義定義 齊次線性方程組 的有限個(gè)解 滿足: (1) 線性無(wú)關(guān); (2) 的任意一個(gè)解均可由 線性表示。 則稱解向量組 是齊次線性方程組 的一 個(gè)基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系。 v定義定義設(shè)A為 矩陣, 則n元齊次線性方程組 的全 體解向量所構(gòu)成的集合對(duì)于加法和數(shù)乘是封閉的， 因此線性方程組 的全體解構(gòu)成的集合V是一個(gè) 向量空間, 稱此向量空間為齊次線性方程組 的解解 空間空間。 0AX 0AX 0AX 0AX t , 21 t , 21 t , 21 t , 21 0AX nm 0AX 線性代數(shù)第四章：線性方程組 v當(dāng) 時(shí), 方程組 只有零解, 此時(shí)，解 空間V只含有一個(gè)零向量, 解空間V的維數(shù)為0， 當(dāng)一個(gè)齊次線性方程組只有零解時(shí), 該方程組 沒(méi)有基礎(chǔ)解系; v當(dāng)系數(shù)矩陣的秩 時(shí), 解空間V的維數(shù) 齊次線性方程組有非零解時(shí),一定有基礎(chǔ)解系 v定理定理 對(duì)于齊次線性方程組 若 ,則該 方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解 系中所含解向量的個(gè)數(shù)均等于 , 其中n是 方程組所含未知量的個(gè)數(shù)。 nAr)( 0AX ( )0r Ar 0nr 0AXnrAr)