kejian2自動控制原理

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 前言前言 元件和系統(tǒng)微分方程的建立元件和系統(tǒng)微分方程的建立 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 拉普拉斯變換法求解微分方程拉普拉斯變換法求解微分方程 傳遞函數(shù)的概念傳遞函數(shù)的概念 結(jié)構(gòu)圖、信號流圖及梅森增益公式結(jié)構(gòu)圖、信號流圖及梅森增益公式 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 小結(jié)小結(jié) 前言前言 在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù) 學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。 描述變量各

2、階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知 輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出 量的表達式，并對系統(tǒng)進行性能分析。量的表達式，并對系統(tǒng)進行性能分析。 建立數(shù)學(xué)模型方法有分析法和實驗法。分析法是對系統(tǒng)各部分建立數(shù)學(xué)模型方法有分析法和實驗法。分析法是對系統(tǒng)各部分 的運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律分別列寫的運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律分別列寫 相應(yīng)的運動方程。實驗法是給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出相應(yīng)的運動方程。實

3、驗法是給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出 響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。本章重點研究分析法。響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。本章重點研究分析法。 自控理論數(shù)學(xué)模型有多種形式。時域中有微分方程、差分方自控理論數(shù)學(xué)模型有多種形式。時域中有微分方程、差分方 程和狀態(tài)方程；復(fù)數(shù)域中有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻域中有頻率特程和狀態(tài)方程；復(fù)數(shù)域中有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻域中有頻率特 性等。性等。 2-1 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型 1 1 線性元件的微分方程線性元件的微分方程 解解: 設(shè)回路電流為設(shè)回路電流為 i(t) , 由基爾霍夫定律可寫出回路方程為由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 )()(

4、 1 )( )( tudtti C tRi dt tdi L i dtti C tuo)( 1 )( ui(t) uo o(t) C RL i(t) 例例2-1 圖為由電阻圖為由電阻R、電電 感感L電容電容C組成的無源網(wǎng)絡(luò)組成的無源網(wǎng)絡(luò),試試 列寫以列寫以 ui(t) 為輸入量為輸入量,以以uo(t) 為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程. 圖圖2-1 RLC無源網(wǎng)絡(luò)無源網(wǎng)絡(luò) 消去中間變量消去中間變量i(t),便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為 )()( )()( 2 2 tutu dt tdu RC dt tud LC io oo (2-1)

5、(2-1) 假定假定R、L、C都是常數(shù)，這是一個二階常系數(shù)線性微分方程都是常數(shù)，這是一個二階常系數(shù)線性微分方程, 也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學(xué)模型。也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學(xué)模型。 例例2-2 試列圖試列圖2.2所示電樞控制直所示電樞控制直 流電動機的微分方程，要求取電樞流電動機的微分方程，要求取電樞 電壓電壓 ua(t)為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速 m(t)為輸出量。圖中為輸出量。圖中Ra，La分別是分別是 電樞電路的電阻和電感；電樞電路的電阻和電感；Mc是折合是折合 到電動機軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁到電動機軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁 磁通設(shè)為常值。磁通設(shè)為常值。 電樞回路電壓平衡方

6、程電樞回路電壓平衡方程 式中式中 Ea(V) 是電樞反電勢是電樞反電勢,它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電勢它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電勢,其大其大 小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比,方向與電樞電壓方向與電樞電壓 ua(t) 相反相反,即即 是反電勢系數(shù)是反電勢系數(shù).)/(, )(sradVCtCE emea aaa a aa EtiR dt tdi Ltu)( )( )(2-2)(2-2) 電磁轉(zhuǎn)矩方程電磁轉(zhuǎn)矩方程 式中式中 是電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)是電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù) , 是電樞電流是電樞電流 產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩. )/(AmNCm)(MNtM m )()(tiCtM amm (2-3)(

7、2-3) 電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程 )()()( )( tMtMtf dt td J cmmm m m (2-4)(2-4) 式中式中, 是電動機和負(fù)載折合到電動機軸上的粘是電動機和負(fù)載折合到電動機軸上的粘 性摩擦系數(shù)性摩擦系數(shù); 是電動機和負(fù)載折合到電動機軸上是電動機和負(fù)載折合到電動機軸上 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量. )/(sradmNfm )( 2 smkgJ m 由式由式(2-2)式式(2-4）消去中間變量）消去中間變量 ia(t) , Ea 及及 Mm(t) , 便可便可 得到以得到以 m(t) 為輸出量為輸出量,以以ua(t)為輸入量的直流電機微分方程為為輸入量的

8、直流電機微分方程為 )( )( )( )()( )( )( )( 2 2 tMR dt tdM LtuC tCCfR dt td JRfL dt td JL ca c aam memma m mama m ma (2-5)(2-5) 工程中電樞電路電感工程中電樞電路電感 La 較小較小, 常忽略不計常忽略不計,因而上式可簡化為因而上式可簡化為 )()()( )( 21 tMKtuKt dt td T cam m m (2-6)(2-6) 式中式中 Tm=RaJm/(Rafm+CmCe) 是電動機機電時間常數(shù)是電動機機電時間常數(shù)(s); K1=Cm/(Rafm+CmCe) , K2=Ra/(Ra

9、fm+CmCe)是電動機傳遞系數(shù)是電動機傳遞系數(shù). 如果如果 Ra 和和 Jm 都很小而忽略不計時都很小而忽略不計時,式式(2-6)還可進一步簡化為還可進一步簡化為 這時這時, m(t)與與ua(t)成正比成正比,于是于是,電動機可作為測速發(fā)電機使用電動機可作為測速發(fā)電機使用. )()(tutC ame (2-7)(2-7) 例例2-3 圖圖2-32-3a) )所示為彈簧、所示為彈簧、 質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。當(dāng)受外力質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。當(dāng)受外力 F( (t) )作用時，要求寫出系統(tǒng)作用時，要求寫出系統(tǒng) 的微分方程。的微分方程。 F(t) x(t) m F2(t) F1(t) 圖圖2-3 2-3 機械位移

10、系統(tǒng)機械位移系統(tǒng) b) F(t) x(t) m K f a) 質(zhì)量質(zhì)量 m 上受力情況如圖上受力情況如圖示。示。 根據(jù)牛頓第二運動定律有：根據(jù)牛頓第二運動定律有： 2 2 21 )( )()()( dt txd mtFtFtF （2-82-8） 式中式中: )( 1 tF阻尼器阻力。其大小與運動速度成正比，方向阻尼器阻力。其大小與運動速度成正比，方向 與運動方向相反，阻尼系數(shù)為與運動方向相反，阻尼系數(shù)為f，即：即： dt tdx ftF )( )( 1 )( 2 tF彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有：彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有： )()( 2 tKxtF K彈簧剛度彈簧剛度 聯(lián)立

11、以上三式并整理得：聯(lián)立以上三式并整理得： )()( )()( 2 2 tFtKx dt tdx f dt txd m（2-92-9） 假定假定m、k、f均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。 從以上分析可以發(fā)現(xiàn)從以上分析可以發(fā)現(xiàn), ,物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng), ,可可 以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型, ,例如，前述的例如，前述的RLC無源網(wǎng)絡(luò)和無源網(wǎng)絡(luò)和 彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器機械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均是二階微分方程，阻尼器機械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均是二階微分方程， 我們稱之為相似系統(tǒng)我們稱之為相似系統(tǒng). .相似系

12、統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本 質(zhì)相似關(guān)系，利用它可以質(zhì)相似關(guān)系，利用它可以 (1) (1) 用一個簡單系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)用一個簡單系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng); ; (2) (2) 為控制系統(tǒng)的計算機數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ)為控制系統(tǒng)的計算機數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ). . (3) (3) 二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng)二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng). . 綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下：綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下： 根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確 定其輸入量和輸

13、出量；定其輸入量和輸出量； 分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列寫相分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列寫相 應(yīng)的微分方程；應(yīng)的微分方程； 消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微 分方程，便是元件時域的數(shù)學(xué)模型。一般應(yīng)將微分方分方程，便是元件時域的數(shù)學(xué)模型。一般應(yīng)將微分方 程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右 端，與輸出量有關(guān)的項寫在方程的左端，方程兩端變端，與輸出量有關(guān)的項寫在方程的左端，方程兩端變 量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。 2 2 控制系統(tǒng)微分方程的建立

14、控制系統(tǒng)微分方程的建立 建立系統(tǒng)微分方程時，先由系統(tǒng)原理線路圖或方塊圖，建立系統(tǒng)微分方程時，先由系統(tǒng)原理線路圖或方塊圖， 分別列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程；然后，消去中間變量分別列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程；然后，消去中間變量 便得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。便得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。 解解 系統(tǒng)被控對象是電動機系統(tǒng)被控對象是電動機 （帶負(fù)載），系統(tǒng)的輸出量是（帶負(fù)載），系統(tǒng)的輸出量是 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速，參據(jù)量是參據(jù)量是ui。系統(tǒng)由系統(tǒng)由 給定電位器、運算放大器給定電位器、運算放大器I I、 運算放大器運算放大器、功率放大器、功率放大器、 測速發(fā)電機、減速器等組成

15、。測速發(fā)電機、減速器等組成。 分別列寫各元部件微分方程：分別列寫各元部件微分方程： 例例2-4 2-4 試列寫圖試列寫圖2-42-4所示速度控制系統(tǒng)的微分方程。所示速度控制系統(tǒng)的微分方程。 圖2-4 R2 運算放大器運算放大器I I 給定電壓給定電壓ui與速度反饋電壓與速度反饋電壓ut合成，產(chǎn)生偏差電壓并放大合成，產(chǎn)生偏差電壓并放大 運算放大器運算放大器 u2與與u1之間的微分方程為之間的微分方程為 功率放大器功率放大器 采用晶閘管整流裝置采用晶閘管整流裝置,k3為比例系數(shù)為比例系數(shù) 直流電動機直流電動機 直接引用例直接引用例2-22-2所求得的直流電動機微分方程式所求得的直流電動機微分方程式

16、(2-6)(2-6) 齒輪系齒輪系 設(shè)速比為設(shè)速比為i，電機轉(zhuǎn)速電機轉(zhuǎn)速m經(jīng)齒輪系減速后變?yōu)榻?jīng)齒輪系減速后變?yōu)橛杏?測速發(fā)電機測速發(fā)電機 其輸出電壓其輸出電壓ut與轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)速成正比成正比 Kt為比例系數(shù)為比例系數(shù) （2-10） 3 3 線性系統(tǒng)的基本特性線性系統(tǒng)的基本特性 疊加原理疊加原理 兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個外作用單兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個外作用單 獨作用時分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍時，其獨作用時分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍時，其 輸出亦相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。因此對線性系統(tǒng)進行分析和設(shè)計時，輸出亦相應(yīng)增大同樣的倍

17、數(shù)。因此對線性系統(tǒng)進行分析和設(shè)計時， 如果有幾個外作用同時加于系統(tǒng)，則可將它們分別處理，依次求出如果有幾個外作用同時加于系統(tǒng)，則可將它們分別處理，依次求出 各個外作用單獨加入時系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。各個外作用單獨加入時系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。 4 4 線性定常微分方程的求解線性定常微分方程的求解 當(dāng)系統(tǒng)微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便當(dāng)系統(tǒng)微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便 可對微分方程求解，并由此了解系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性。線性可對微分方程求解，并由此了解系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性。線性 定常微分方程的求解方法有經(jīng)典法、拉氏變換法和數(shù)值計算方法。定

18、常微分方程的求解方法有經(jīng)典法、拉氏變換法和數(shù)值計算方法。 用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程時用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程時, ,可以得到控制系統(tǒng)可以得到控制系統(tǒng) 在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù). .傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài) 性能性能, ,而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響. . 拉普拉斯變換方法求解的優(yōu)點：拉普拉斯變換方法求解的優(yōu)點： 拉普拉斯變換法可以直接將微分方程變換成代數(shù)方程，簡化求拉普拉斯變換法可以直接將微分方程變換成代數(shù)方程，簡化求 解過程；解過程；

19、 可以同時獲得解的瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量；可以同時獲得解的瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量； 可以求得微分方程的全解。可以求得微分方程的全解。 4.1 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換（參見附錄變換（參見附錄A） 定義：定義： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f( (t) )當(dāng)當(dāng)t 00時時, ,f( (t) )有定義，且積分有定義，且積分 在在s s的某一域內(nèi)收斂的某一域內(nèi)收斂, ,則稱則稱F(s)為為f( (t) ) 的拉氏變換，記的拉氏變換，記 作作F(s)=Lf(t) , F(s)又稱為象函數(shù)又稱為象函數(shù)， f( (t) )稱為稱為原函數(shù)原函數(shù)。 0 )()(dtetfsF st (2-11)( (s s是一個復(fù)參量

20、是一個復(fù)參量) ) 若若F(s)是是f( (t) ) 的拉氏變換，稱的拉氏變換，稱f( (t) )為為F(s)的拉氏逆變的拉氏逆變 換，記作換，記作f(t) =L-1F(s). F(s)和和f( (t) )為為 一個拉氏變換對。一個拉氏變換對。 拉氏變換表拉氏變換表 表表2 21 1 拉氏變換表拉氏變換表( (參見教材表參見教材表A-3) ) f(t)F(s) (t)1 1(t)1 / s t1 1 / s2 2 tn-1/(n-1)!1 /sn e-at 1 1/(s+a) sin t /(s2+ 2) cos ts/(s2+ 2) 1 ba (e-ate-bt)1 1/(s+a)(s+b)

21、 位移定理：位移定理：)()(sFetfL s )()(asFtfeL at 基本定理基本定理 設(shè)設(shè)F(s)=Lf(t) , F1(s)=Lf1(t), F2(s)=Lf2(t),為常數(shù)為常數(shù) 線性定理：線性定理：)()()()( 2121 sFsFtftfL )()()()( 2121 1 sfsftFtFL 相似定理：相似定理： )()(sF t fL 為實常數(shù)為實常數(shù) 微分定理：微分定理：)0()( )( fssF dt tdf L )0()0( )0()0()( )( )1()2( 21 nn nnn n n fsf fsfssFs dt tfd L 當(dāng)當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都

22、為零時：及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都為零時： )( )( sFs dt tfd L n n 積分定理：積分定理： s f s sF dttfL )0()( )( 1 式中：式中： 為在為在 處的值處的值 dttff)()0( 1 0t L L L L 終值定理：終值定理： )(lim)(lim)( 0 sFstff st 拉氏反變換拉氏反變換 定義：定義： )0,()( 2 1 )( tjsdsesF j tf j j st 拉氏反演積分拉氏反演積分 求拉氏逆變換的方法求拉氏逆變換的方法 在實際使用時，采用部分分式展開法，即將復(fù)雜函在實際使用時，采用部分分式展開法，即將復(fù)雜函 數(shù)展開成簡單函數(shù)的和數(shù)

23、展開成簡單函數(shù)的和 當(dāng)：當(dāng)： 時時 )()()()( 21 sFsFsFsF n 初值定理：初值定理： )()()( )()()()( 21 1 2 1 1 11 tftftf sFLsFLsFLsFL n n 其中：其中： 可查表?？刹楸怼?)()( 1 sFLtf ii ni,2 ,1 一般地，象函數(shù)一般地，象函數(shù)F(s)F(s)是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)s s的有理代數(shù)分式的有理代數(shù)分式 例例2-5 解解 (1) A(s)=0無重根時，可有無重根時，可有 或或(2-12) 根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)有根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)有 (2-13) 則有則有 根據(jù)式根據(jù)式(2-12)(2-12) 根據(jù)式根據(jù)式(

24、2-13),(2-13),得原函數(shù)得原函數(shù) (2) (2) A(s)=0有重根時有重根時 重根項的待定系數(shù)重根項的待定系數(shù) (2-14)(2-14) 故有原函數(shù)故有原函數(shù) (2-15)(2-15) 例例2-62-6 根據(jù)式根據(jù)式(2-14)(2-14) 根據(jù)式根據(jù)式(2-12)(2-12) 根據(jù)式根據(jù)式(2-15)(2-15) 4.2 4.2 拉氏變換發(fā)求解微分方程算例拉氏變換發(fā)求解微分方程算例 例例2-7 在例在例2-1中，若已知中，若已知L1H，CIF，Rl，且電容上初始且電容上初始 電壓電壓uo(0)=0.1V，初始電流初始電流i(0)=0.1A，電源電壓電源電壓ui(t)= 1V。試求

25、電路試求電路 突然接通電源時，電容電壓突然接通電源時，電容電壓uo(t)的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 ui(t) uo o(t) C RL i(t) 解解 在例在例2-12-1中得網(wǎng)絡(luò)微分方程為中得網(wǎng)絡(luò)微分方程為 對網(wǎng)絡(luò)微分方程兩邊求拉氏變換并代入已知數(shù)據(jù)，經(jīng)整理后有對網(wǎng)絡(luò)微分方程兩邊求拉氏變換并代入已知數(shù)據(jù)，經(jīng)整理后有 在上式中，前兩項是由網(wǎng)絡(luò)輸入電壓產(chǎn)生的輸出分在上式中，前兩項是由網(wǎng)絡(luò)輸入電壓產(chǎn)生的輸出分 量，與初始條件無關(guān)，故稱為零初始條件響應(yīng)；后一項則量，與初始條件無關(guān)，故稱為零初始條件響應(yīng)；后一項則 是由初始條件產(chǎn)生的輸出分量，與輸入電壓無關(guān)，故稱為是由初始條件產(chǎn)生的輸出分量，與輸入電壓

26、無關(guān)，故稱為 零輸入響應(yīng)，它們統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)的單位階躍響應(yīng)。零輸入響應(yīng)，它們統(tǒng)稱為網(wǎng)絡(luò)的單位階躍響應(yīng)。 用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過 程可歸結(jié)如下：程可歸結(jié)如下： 考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行 拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s s的代數(shù)方程；的代數(shù)方程； 由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式；由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式； 對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的 時域表達式，即為所求微分方程的解。時域表達式，

27、即為所求微分方程的解。 5 5 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 實際上所有現(xiàn)實中的系統(tǒng)都不實際上所有現(xiàn)實中的系統(tǒng)都不 是線性的，為了便于分析和求解，是線性的，為了便于分析和求解， 通常要對系統(tǒng)進行通常要對系統(tǒng)進行“理想化理想化”和和 “線性化線性化”處理；處理； 手段手段: :a. .忽略非線性忽略非線性; ;b. .小偏差小偏差 線性化法線性化法, ,取某平衡狀態(tài)點取某平衡狀態(tài)點A,泰勒泰勒 級數(shù)展開級數(shù)展開,小范圍內(nèi)以直代曲小范圍內(nèi)以直代曲. . 一般地一般地, ,自動控制系統(tǒng)在正常情況下都處于一個穩(wěn)定的工作狀自動控制系統(tǒng)在正常情況下都處于一個穩(wěn)定的工作狀 態(tài)，而其被控量的偏

28、差一般不會很大，只是態(tài)，而其被控量的偏差一般不會很大，只是“小偏差小偏差”。在建立控。在建立控 制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時，通常是將系統(tǒng)的穩(wěn)定工作狀態(tài)作為起始狀態(tài)，制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時，通常是將系統(tǒng)的穩(wěn)定工作狀態(tài)作為起始狀態(tài)， 僅僅研究小偏差的運動情況，因而這種小偏差線性化方法對于控制僅僅研究小偏差的運動情況，因而這種小偏差線性化方法對于控制 系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的。系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的。 2-2 2-2 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型- -傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 拉氏變換法求解系統(tǒng)微分方程時，可得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)拉氏變換法求解系統(tǒng)微分方程時，可得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù) 域中的數(shù)學(xué)模型域

29、中的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可表征系統(tǒng)的動態(tài)性傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可表征系統(tǒng)的動態(tài)性 能，且可用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)能，且可用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng) 典控制論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基典控制論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基 礎(chǔ)的，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。礎(chǔ)的，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。 1 1 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) 定義定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù), ,定義為初始條件為零時定義為初始條件為零時, ,輸出輸出 量的拉

30、氏變換與輸入量的拉氏變換之比量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比, ,記為記為G( (S),),即即: : )( )( )( sR sC sG （2-16） 設(shè)線性定常系統(tǒng)的設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階線性常微分方程為階線性常微分方程為 )()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 10 trbtr dt d btr dt d btr dt d b tcatc dt d atc dt d atc dt d a mm m m m m nn n n n n 設(shè)設(shè) r(t) 和和 c(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)在及其各階導(dǎo)數(shù)在 t=0 時的值均為零時的值均為零,即零初始條件即零初始條件, 對上式中

31、各項分別求拉氏變換對上式中各項分別求拉氏變換,令令C(s)=Lc(t), R(s)=Lr(t)可可 得得 s 的代數(shù)方程為的代數(shù)方程為 )()( )()( 1 1 10 1 1 10 sRbsbsbsb sCasasasa mm mm nn nn 式中式中 mm mm bsbsbsbsM 1 1 10 )( nn nn asasasasN 1 1 10 )( 于是于是,由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )( )( )( )( )( 1 1 10 1 1 10 sN sM asasasa bsbsbsb sR sC sG nn nn mm mm (2-17) ui(t) uo o

32、(t) C RL i(t) 例例2-8 試求例試求例2-1 RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) 解解: 該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出,如式如式(2-1) )()( )()( 2 2 tutu dt tdu RC dt tud LC io oo 在零初始條件下在零初始條件下,對上式進行拉氏變換對上式進行拉氏變換,令令Uo(s)=Luo(t), Ui(s)=Lui(t)得得 )()() 1( 2 sUsURCsLCs io (2-18) 由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為 1 1 )( )( )( 2 RCsLCssU sU sG i o (2-19)

33、 性質(zhì)性質(zhì) 傳遞函數(shù)是復(fù)變量傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s 的有理真分式函數(shù)的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函數(shù)具有復(fù)變函數(shù) 的所有性質(zhì)的所有性質(zhì). 有有mn且所有系數(shù)均為實數(shù)且所有系數(shù)均為實數(shù). 傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示 輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達式輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達式,它只它只 取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與輸而與輸 入量的形式無關(guān)入量的形式無關(guān),也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任 何信息何信息.因此因此,可以用圖可以用圖2-5的方塊圖表示的方塊圖表示 一個具有傳遞函數(shù)一個具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng). 圖圖2-

34、2-5 5 傳遞函數(shù)的圖示傳遞函數(shù)的圖示 G(s) R(s)C(s) 傳遞函數(shù)與微分方程有相通性傳遞函數(shù)與微分方程有相通性.在零初始條件下，若將在零初始條件下，若將 微分方程的算符微分方程的算符d/dt 用復(fù)數(shù)用復(fù)數(shù) s 置換便得到傳遞函數(shù)置換便得到傳遞函數(shù);反之亦可反之亦可. 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) G(s) 的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng) g(t) . 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖是系統(tǒng)在單位脈沖 輸入時的輸出響應(yīng)輸入時的輸出響應(yīng),此時此時, )(t)()(tLsR .)()()()()(,1 111 sGLsGsRLsCLtg 故故有有 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義

35、的傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,控制系統(tǒng)的零初始條控制系統(tǒng)的零初始條 件有兩方面的含義件有兩方面的含義:一是指輸入量是在一是指輸入量是在t0時才作用于系統(tǒng)時才作用于系統(tǒng),因因 此在此在t=0- -時輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零時輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零;二是指輸入量加于系二是指輸入量加于系 統(tǒng)之前統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在 t=0- -時的值也為零時的值也為零.現(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬此類情況現(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬此類情況. 物理意義物理意義 例例2-9 試求例試求例2-2電樞控制直流電機的傳遞函數(shù)電樞控制直流電機的傳遞函數(shù)

36、解解: 在例在例2-2中已求得電樞控制直流電機簡化后的微分方程為中已求得電樞控制直流電機簡化后的微分方程為 )()()( )( 21 tMKtuKt dt td T cam m m (2-(2-20)20) 根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理,可分別求出可分別求出ua(t)到到 m(t)和和Mc(t)到到 m(t) 的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù).先求先求 ,為此令為此令Mc(t)=0 , 則有則有 )(/ )(sUs am )()( )( 1 tuKt dt td T am m m 在零初始條件下在零初始條件下,對上式各項求拉氏變換對上式各項求拉氏變換,則得則得 )()() 1( 1 sUKss

37、T amm (2-(2-21)21) 由傳遞函數(shù)定義由傳遞函數(shù)定義,于是有于是有 1)( )( )( 1 sT K sU s sG ma m (2-(2-22)22) 同理同理,令令 ua(t)=0 ,可求得可求得 1)( )( )( 2 sT K sM s sG mc m m(2-(2-23)23) 式中式中, -稱為傳遞函數(shù)的零點稱為傳遞函數(shù)的零點;),2,1(mizi -稱為傳遞函數(shù)的極點稱為傳遞函數(shù)的極點.),2,1(njpj 2 傳遞函數(shù)的零點和極點傳遞函數(shù)的零點和極點 傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后,可寫可寫 為如下形式為如

38、下形式 n j j m i i n m ps zs K pspspsa zszszsb sG 1 1 * 210 210 )( )( )()( )()( )( (2-24) 傳遞函數(shù)的零點和極點可以是實數(shù)傳遞函數(shù)的零點和極點可以是實數(shù),也可是復(fù)數(shù)也可是復(fù)數(shù),系數(shù)系數(shù) K*=b0/ /a0稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益.這種用零點和極點表示這種用零點和極點表示 傳遞函數(shù)的方法傳遞函數(shù)的方法,在根軌跡法中使用較多在根軌跡法中使用較多. 在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點和極點時在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點和極點時,稱為傳遞函稱為傳遞函 數(shù)的零極點分布圖數(shù)的零極點分布圖.在圖中一般用

39、在圖中一般用 表示零點表示零點,用用 表示極點表示極點. 傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后,也可也可 以寫為如下因子連乘積的形式以寫為如下因子連乘積的形式 ) 1() 12)(1( ) 1() 12)(1( )( 2 22 21 2 22 21 sTsTsTsTa ssssb sG jn im (2-25) 式中式中,一次因子對應(yīng)于實數(shù)零極點一次因子對應(yīng)于實數(shù)零極點,二次因子對應(yīng)于復(fù)數(shù)零極點二次因子對應(yīng)于復(fù)數(shù)零極點. 稱為時間常數(shù)稱為時間常數(shù), 稱為傳稱為傳 遞系數(shù)或增益遞系數(shù)或增益.傳遞函數(shù)的這種表示形式在頻率法在使用較多傳遞函數(shù)的這種

40、表示形式在頻率法在使用較多. ji T, n j j m i inm pzKabK 11 * )()( 顯然，傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根。顯然，傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根。 3 典型元部件的傳遞函數(shù)典型元部件的傳遞函數(shù) 為建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，必須首先了解各種元部件的數(shù)學(xué)為建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，必須首先了解各種元部件的數(shù)學(xué) 模型及其特性。模型及其特性。 電位器電位器 電位器是一種把線位移或角位移變換為電壓量的裝置電位器是一種把線位移或角位移變換為電壓量的裝置.在在 控制系統(tǒng)中控制系統(tǒng)中,單個電位器用作為信號變換裝置單個電位器用作為信號變換裝置,如圖如圖2-6(a)所示所示; 一對電

41、位器可組成誤差檢測器一對電位器可組成誤差檢測器,如圖如圖2-6(b)所示所示. 圖圖2-6 電位器及其特性電位器及其特性 空載時空載時,單個電位器的電刷角位移單個電位器的電刷角位移(t)與輸出電壓與輸出電壓u(t)的關(guān)的關(guān) 系曲線如圖系曲線如圖2-6(c)所示所示.圖中的階梯形狀是由繞線線徑產(chǎn)生的圖中的階梯形狀是由繞線線徑產(chǎn)生的 誤差誤差,理論分析時可用直線近似理論分析時可用直線近似.由圖可得輸出電壓為由圖可得輸出電壓為 )()( 1 tKtu 式中式中, 是電刷單位角位移對應(yīng)的輸出電壓是電刷單位角位移對應(yīng)的輸出電壓,稱電位器稱電位器 傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)(V/rad),其中其中 E 是電位器電源

42、電壓是電位器電源電壓(V), 是電位器是電位器 最大工作角最大工作角(rad). max1 EK max 對上式求拉氏變換對上式求拉氏變換,可得電位器的傳遞函數(shù)為可得電位器的傳遞函數(shù)為 1 )( )( )(K s sU sG 上式表明上式表明,電位器的傳遞函數(shù)是一個常值電位器的傳遞函數(shù)是一個常值,故稱比例元件故稱比例元件,可用圖可用圖 2-6(d)所示的方塊圖來表示所示的方塊圖來表示. 用一對相同的電位器組成誤差檢測器時用一對相同的電位器組成誤差檢測器時,其輸出電壓為其輸出電壓為 )()()()()()( 121121 tKttKtututu 式中式中 K1 是單個電位器的傳遞系數(shù)是單個電位器

43、的傳遞系數(shù), 是兩個電位器電刷角是兩個電位器電刷角 位移之差位移之差,稱誤差角稱誤差角.因此以誤差角為輸入時因此以誤差角為輸入時,誤差檢測器的傳遞誤差檢測器的傳遞 函數(shù)與單個電位器的傳遞函數(shù)相同函數(shù)與單個電位器的傳遞函數(shù)相同,即為即為 )(t 在使用電位器時要注意負(fù)載效應(yīng)，即指在電位器輸出端接有負(fù)在使用電位器時要注意負(fù)載效應(yīng)，即指在電位器輸出端接有負(fù) 載時所產(chǎn)生的影響。載時所產(chǎn)生的影響。 1 )( )( )(K s sU sG 圖示電位器輸出端接有負(fù)載電阻圖示電位器輸出端接有負(fù)載電阻Rl時的電路圖，設(shè)電位時的電路圖，設(shè)電位 器電阻是器電阻是Rp，可求得電位器輸出電壓為，可求得電位器輸出電壓為

44、測速發(fā)電機測速發(fā)電機 測速發(fā)電機是用于測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置測速發(fā)電機是用于測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置. 在控制系統(tǒng)中常用的有直流和交流測速發(fā)電機在控制系統(tǒng)中常用的有直流和交流測速發(fā)電機,如圖如圖2-7所示所示.圖圖2- 7(a)是永磁式直流測速發(fā)電機的原理線路圖是永磁式直流測速發(fā)電機的原理線路圖,其輸出電壓與轉(zhuǎn)子角其輸出電壓與轉(zhuǎn)子角 速度的關(guān)系為速度的關(guān)系為 圖圖2-7 測速發(fā)電機示意圖測速發(fā)電機示意圖 dt td KtKtu tt )( )()( 式中式中 Kt 是測速發(fā)電機輸出斜率是測速發(fā)電機輸出斜率,表示單位角速度的輸出電壓表示單位角速度的輸出電壓. 在零在零 初始

45、條件下初始條件下,對上式拉氏變換可得直流測速發(fā)電機的傳遞函數(shù)為對上式拉氏變換可得直流測速發(fā)電機的傳遞函數(shù)為 sK s sU sG t )( )( )(或或 t K s sU sG )( )( )( 分別用方塊圖表示如下分別用方塊圖表示如下: sKt U(s) )(s Kt U(s) )(s 圖圖2-8 測速發(fā)電機的方塊圖測速發(fā)電機的方塊圖 圖圖2-7(b)是交流測速發(fā)電機的示意圖是交流測速發(fā)電機的示意圖.在結(jié)構(gòu)上它有兩個互在結(jié)構(gòu)上它有兩個互 相垂直放置的線圈相垂直放置的線圈,其中一個是激磁繞組其中一個是激磁繞組,接入一定頻率的正弦接入一定頻率的正弦 額定電壓額定電壓;另一個是輸出繞組另一個是輸

46、出繞組.當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時,輸出繞組產(chǎn)生與轉(zhuǎn)輸出繞組產(chǎn)生與轉(zhuǎn) 子角速度成比例的交流電壓子角速度成比例的交流電壓 u(t) , 其頻率與激磁電壓頻率相同其頻率與激磁電壓頻率相同, 其傳遞函數(shù)及方塊圖亦同直流測速發(fā)電機其傳遞函數(shù)及方塊圖亦同直流測速發(fā)電機. 電樞控制直流伺服電動機電樞控制直流伺服電動機 直流伺服電動機在控制系統(tǒng)中廣泛用作執(zhí)行機構(gòu)直流伺服電動機在控制系統(tǒng)中廣泛用作執(zhí)行機構(gòu),用來對用來對 被控對象的機械運動實現(xiàn)快速控制被控對象的機械運動實現(xiàn)快速控制.根據(jù)例根據(jù)例2-9的式的式(2-22)和式和式 (2-23)可用下列方塊圖表示三種情況下的直流伺服電動機可用下列方塊圖表示三種情況下

47、的直流伺服電動機. 兩相伺服電動機兩相伺服電動機 兩相伺服電動機具有重量輕、慣性小、加速特性好的優(yōu)點兩相伺服電動機具有重量輕、慣性小、加速特性好的優(yōu)點, 是控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的一種小功率交流執(zhí)行機構(gòu)是控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的一種小功率交流執(zhí)行機構(gòu). 兩相伺服電動機由互相垂直配置的兩相定子線圈和一個高兩相伺服電動機由互相垂直配置的兩相定子線圈和一個高 電阻值的轉(zhuǎn)子組成電阻值的轉(zhuǎn)子組成.定子線圈的一相是激磁繞組定子線圈的一相是激磁繞組,另一相是控制另一相是控制 繞組繞組,通常接在功率放大器的輸出端通常接在功率放大器的輸出端,提供數(shù)值和極性可變的交提供數(shù)值和極性可變的交 流控制電壓流控制電壓. 兩相伺服

48、電動機的轉(zhuǎn)矩兩相伺服電動機的轉(zhuǎn)矩-速度特性曲線有負(fù)的斜率速度特性曲線有負(fù)的斜率(b)是在是在 不同控制電壓不同控制電壓ua 時時,實驗測取的一組機械特性曲線實驗測取的一組機械特性曲線.圖中的虛線圖中的虛線 是線性化曲線是線性化曲線,其線性化方程可表示為其線性化方程可表示為 圖圖2-9 兩相伺服電動機及其特性兩相伺服電動機及其特性 式中式中 Mm 是電動機輸出轉(zhuǎn)矩是電動機輸出轉(zhuǎn)矩, m 是電動機角速度是電動機角速度, C=dMm/d m 是阻尼系數(shù)是阻尼系數(shù),即機械特性線性化的直線斜率即機械特性線性化的直線斜率, Ms是堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩是堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩,由圖由圖 2-9(b)可得可得Ms=CMua. smm

49、MCM 由前面兩式消去中間變量由前面兩式消去中間變量Ms和和Mm ,并在零初始條件下求并在零初始條件下求 拉氏變換拉氏變換,可求得兩相伺服電動機的傳遞函數(shù)為可求得兩相伺服電動機的傳遞函數(shù)為 ) 1()()( )( )( sTs K CfsJs C sU s sG m m mm M a m 或或 1)( )( )( sT K sU s sG m m a m 式中式中 Km=CM/(fm+C) 是電動機的傳遞系數(shù)是電動機的傳遞系數(shù) , Tm=Jm/(fm+C) 是是 電動機時間常數(shù)?？梢姡瑑上嗨欧姍C和直流電機的傳遞函數(shù)電動機時間常數(shù)?？梢?，兩相伺服電機和直流電機的傳遞函數(shù) 在形式上完全相同。在形

50、式上完全相同。 無源網(wǎng)絡(luò)無源網(wǎng)絡(luò) 為了改善控制系統(tǒng)的性能為了改善控制系統(tǒng)的性能,常在系統(tǒng)中引入無源網(wǎng)絡(luò)作為常在系統(tǒng)中引入無源網(wǎng)絡(luò)作為 校正元件校正元件.無源網(wǎng)絡(luò)通常是由電阻、電容和電感組成無源網(wǎng)絡(luò)通常是由電阻、電容和電感組成. 求無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),可用前述的方法可用前述的方法,即列寫網(wǎng)絡(luò)微分即列寫網(wǎng)絡(luò)微分 方程，進行拉氏變換，從而得到輸出量與輸入量間的傳遞函方程，進行拉氏變換，從而得到輸出量與輸入量間的傳遞函 數(shù)。此外還可采用復(fù)數(shù)阻抗法數(shù)。此外還可采用復(fù)數(shù)阻抗法.用復(fù)數(shù)阻抗法表示電阻時仍為用復(fù)數(shù)阻抗法表示電阻時仍為 R , 電容的復(fù)數(shù)阻抗為電容的復(fù)數(shù)阻抗為1/Cs , 電

51、感的復(fù)數(shù)阻抗為電感的復(fù)數(shù)阻抗為 Ls . 圖圖2-1的的RLC無源網(wǎng)絡(luò)用復(fù)數(shù)無源網(wǎng)絡(luò)用復(fù)數(shù) 阻抗表示后的電路如圖阻抗表示后的電路如圖2-10所示所示. 圖中圖中Z1=R+Ls, Z2=1/Cs . 由圖可直由圖可直 接寫出電路的傳遞函數(shù)為接寫出電路的傳遞函數(shù)為 Z1 Z2 uiuo 圖圖2-10 復(fù)阻抗表示的復(fù)阻抗表示的RLC電路電路 應(yīng)該注意應(yīng)該注意,求取無源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)時求取無源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)時,一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸出端一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸出端 有無窮大的負(fù)載阻抗有無窮大的負(fù)載阻抗,輸入內(nèi)阻為零輸入內(nèi)阻為零,否則應(yīng)考慮負(fù)載效應(yīng)否則應(yīng)考慮負(fù)載效應(yīng). 圖圖2-11中中,兩個兩個RC網(wǎng)絡(luò)不相連接時網(wǎng)絡(luò)不相連接

52、時,可視為空載可視為空載, 傳遞函數(shù)分別為傳遞函數(shù)分別為 圖圖2-11 負(fù)載效應(yīng)示意圖負(fù)載效應(yīng)示意圖 I2 I 1 I 若將若將 G1(s) 與與 G2(s) 兩方塊串聯(lián)連接兩方塊串聯(lián)連接,如圖如圖2-11右端右端, 其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為 但是但是,若將兩個若將兩個RC網(wǎng)絡(luò)直接連接網(wǎng)絡(luò)直接連接,則由電路微分方程可求得則由電路微分方程可求得 連接后電路的傳遞函數(shù)為連接后電路的傳遞函數(shù)為 單容水槽、電加熱爐和雙容水槽的傳遞函數(shù)單容水槽、電加熱爐和雙容水槽的傳遞函數(shù) 2-3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖是描述系統(tǒng)各元部件之控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號

53、流圖是描述系統(tǒng)各元部件之 間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間它們表示了系統(tǒng)中各變量之間 的因果關(guān)系以及對各變量所進行的運算的因果關(guān)系以及對各變量所進行的運算,是控制理論中描述是控制理論中描述 復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡便方法復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡便方法. 與結(jié)構(gòu)圖相比與結(jié)構(gòu)圖相比,信號流圖符號簡單信號流圖符號簡單,更便于繪制和應(yīng)用更便于繪制和應(yīng)用. 但是但是,信號流圖只適用于線性系統(tǒng)信號流圖只適用于線性系統(tǒng),而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線 性系統(tǒng)性系統(tǒng). 1 1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對信號進行單向運算的方框和

54、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對信號進行單向運算的方框和 一些信號流向線組成一些信號流向線組成,它包含四種基本單元它包含四種基本單元: 信號線信號線 . 帶有箭頭的直線帶有箭頭的直線,箭頭表示信號的流向箭頭表示信號的流向,在直線旁在直線旁 標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，如圖標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，如圖2-12(a); 引出點引出點(測量點測量點) . 表示信號引出或測量的位置表示信號引出或測量的位置,從同一位從同一位 置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全性同，如圖置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全性同，如圖2-12(b); 比較點比較點(綜合點綜合點) . 對兩個以上的信號進行加減運算對兩個以上的信號進

55、行加減運算, “+”+” 號表示相加，號表示相加，“-”-”號表示相減，號表示相減，“+”號可省略，如圖號可省略，如圖2- 12(c); 方框方框(環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)) . 對信號進行的數(shù)學(xué)變換對信號進行的數(shù)學(xué)變換, 框內(nèi)為元部件或系統(tǒng)框內(nèi)為元部件或系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù),如圖如圖2-12(d).方框可視作單向運算的算子，方框的方框可視作單向運算的算子，方框的 輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積, C(s)=G(s)U(s)。 圖圖2-12 結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元 繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，首先考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫各元繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，首先考慮負(fù)載效應(yīng)

56、分別列寫各元 部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示；然后部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示；然后 根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方框連接便根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方框連接便 得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。結(jié)構(gòu)圖上可以用方框進行數(shù)學(xué)運算，得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。結(jié)構(gòu)圖上可以用方框進行數(shù)學(xué)運算， 也可以直觀了解各元部件的相互關(guān)系及其在系統(tǒng)中所起的也可以直觀了解各元部件的相互關(guān)系及其在系統(tǒng)中所起的 作用。而且，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函作用。而且，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函 數(shù)。所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。數(shù)。所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)

57、的一種數(shù)學(xué)模型。 結(jié)構(gòu)圖中的方框與實際系統(tǒng)的元部件并非是一一對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中的方框與實際系統(tǒng)的元部件并非是一一對應(yīng) 的。一個實際元部件可以用一個方框或幾個方框表示；的。一個實際元部件可以用一個方框或幾個方框表示； 而一個方框也可以代表幾個元部件或是一個子系統(tǒng)，或而一個方框也可以代表幾個元部件或是一個子系統(tǒng)，或 是一個大的復(fù)雜系統(tǒng)。是一個大的復(fù)雜系統(tǒng)。 例例2-10 繪制如圖繪制如圖2-13所示所示 RC 無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖 圖圖2-13 RC無源網(wǎng)絡(luò)無源網(wǎng)絡(luò) 解解 將無源網(wǎng)絡(luò)視為一個系統(tǒng)，將無源網(wǎng)絡(luò)視為一個系統(tǒng)， 組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對應(yīng)于系統(tǒng)的組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對應(yīng)于系統(tǒng)的 元部件。設(shè)電

58、路中各變量如圖中元部件。設(shè)電路中各變量如圖中 所示，應(yīng)用復(fù)阻抗概念，根據(jù)基所示，應(yīng)用復(fù)阻抗概念，根據(jù)基 爾霍夫定律寫出以下方程：爾霍夫定律寫出以下方程： 按照這些方程可分別繪制按照這些方程可分別繪制 相應(yīng)元件的方框圖如圖相應(yīng)元件的方框圖如圖2-14(a) - (d)所示。然后用信號線按信所示。然后用信號線按信 號流向依次將各方框連接起來，號流向依次將各方框連接起來， 便得到無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，見便得到無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，見 圖圖2-14(e). 圖圖2-14 RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 2 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖通過等效變換由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖通過等效變換( (簡

59、化簡化) )可方便地求取閉環(huán)系可方便地求取閉環(huán)系 統(tǒng)的傳遞函數(shù)或系統(tǒng)輸出量響應(yīng)。實際上，該過程對應(yīng)于由統(tǒng)的傳遞函數(shù)或系統(tǒng)輸出量響應(yīng)。實際上，該過程對應(yīng)于由 元部件運動方程消去中間變量求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)過程。元部件運動方程消去中間變量求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)過程。 復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其方框間的連接是錯綜復(fù)雜的，但復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其方框間的連接是錯綜復(fù)雜的，但 方框間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。 結(jié)構(gòu)圖簡化的一般方法是移動引出點或比較點，交換比較結(jié)構(gòu)圖簡化的一般方法是移動引出點或比較點，交換比較 點，進行方框運算將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并

60、。點，進行方框運算將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。 在簡化過程中應(yīng)遵循變換前后變量關(guān)系保持等效的原則，在簡化過程中應(yīng)遵循變換前后變量關(guān)系保持等效的原則， 具體而言，就是變換前后前向通路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保具體而言，就是變換前后前向通路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保 持不變，回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。持不變，回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。 （l）串聯(lián)方框的簡化（等效）串聯(lián)方框的簡化（等效） 傳遞函數(shù)分別為傳遞函數(shù)分別為G1(s)和和G2(s)的兩個方框，若的兩個方框，若G1(s)的輸出的輸出 量作為量作為G2(s)的輸入量，則的輸入量，則G1(s)與與G2(s)稱為串聯(lián)連接。稱為串聯(lián)連接。 圖圖