【新教材教案】5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計（2）-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

1、【新教材】5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計（人教A版）本節(jié)課是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的繼續(xù)，本課是正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線的特點得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì). 課程目標(biāo)1.了解周期函數(shù)與最小正周期的意義;2.了解三角函數(shù)的周期性和奇偶性;3.會利用周期性定義和誘導(dǎo)公式求簡單三角函數(shù)的周期;4.借助圖象直觀理解正、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、圖象與x軸的交點等);5.能利用性質(zhì)解決一些簡單問題. 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：理解周期函數(shù)、周期、最小正周期等的含義； 2.邏輯推理： 求正弦、余弦形函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.數(shù)學(xué)運算：利用性質(zhì)求周期、比較大小、最值、值域及判斷奇

2、偶性.4.數(shù)學(xué)建模：讓學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖像探究正、余弦函數(shù)的性質(zhì).重點：通過正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)； 難點：應(yīng)用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)來求含有cosx,sinx的函數(shù)的單調(diào)性、最值、值域及對稱性. 教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。一、 情景導(dǎo)入研究一個函數(shù)的性質(zhì)從哪幾個方面考慮？我們知道從定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、稱性等考慮，那么正余弦函數(shù)有哪些性質(zhì)呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本201-205頁，思考并完成以下問題1.

3、周期函數(shù)、周期、最小正周期等的含義？ 2. 怎樣判斷三角函數(shù)的周期性和奇偶性？ 3. 通過正弦曲線和余弦曲線得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？ 要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集(或).2.值域(1)值域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是.(2)最值正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值3.周期性定義：對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時,都有,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.由此可知,都是這兩個函

4、數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.根據(jù)上述定義,可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱()為偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對稱5.對稱性正弦函數(shù)的對稱中心是,對稱軸是直線;余弦函數(shù)的對稱中心是,對稱軸是直線(正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點).6.單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增大到;在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增加到;余弦函數(shù)在每

5、一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.四、典例分析、舉一反三題型一 正、余弦函數(shù)的周期性例1 求下列三角函數(shù)的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3)y=2sin(),xR; (4)y=|cos x|,xR.【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4).【解析】:(1)因為3cos(x+2)=3cos x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=3cos x的最小正周期為2.(2)因為sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函數(shù)的定義知,y=sin2x的最小正周期為.(3)因為,所以由周期函數(shù)的定義知,的最小正周期為4.(4)y=|cos

6、x|的圖象如圖(實線部分)所示.由圖象可知,y=|cos x|的最小正周期為. 解題技巧：（求函數(shù)最小正周期的常用方法）(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解(2)公式法，對形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常數(shù)，A0，0)的函數(shù)，T.(3)圖象法，即通過畫出函數(shù)圖象，通過圖象直接觀察即可三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼飧櫽?xùn)練一1.（1）函數(shù)y=2sin (3x+),xR的最小正周期是()(A)(B)(C)(D)(2)函數(shù)y=|sin 2x|(xR)的最小正周期為. 【答案】(1)B；(2) 【解析】(2)作出y=|sin 2x|(xR)的圖象(如圖所

7、示).由圖象可知,函數(shù)y=|sin 2x|(xR)的最小正周期為.題型二 化簡、求值例2判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.【答案】(1) 奇函數(shù);(2) 偶函數(shù);(3) 偶函數(shù);(4) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).【解析】(1)顯然xR,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函數(shù).(2)因為xR,f(x)=sin(+)=-cos,所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin(+)是偶函數(shù).(3)顯然xR,f(-x)=si

8、n |-x|=sin |x|=f(x),所以函數(shù)f(x)=sin |x|是偶函數(shù). (4)由得cos x=1,所以x=2k(kZ),關(guān)于原點對稱,此時f(x)=0,故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解題技巧：(判斷函數(shù)奇偶性的方法)判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)利用定義判斷一個函數(shù)f(x)的奇偶性,要考慮兩方面:函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱;f(-x)與f(x)的關(guān)系;(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是:定義法;圖象法. 跟蹤訓(xùn)練二1.下列函數(shù)中,最小正周期為的奇函數(shù)是()(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)(C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)【答案】B【解析】A中,y

9、=sin(2x+),即y=cos 2x,為偶函數(shù);C,D中,函數(shù)為非奇非偶函數(shù);B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函數(shù),T=,故選B.2.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為，且當(dāng)x時，f(x)sin x，則f 等于 ()A B1 C D【答案】D【解析】因為f(x)的最小正周期為T，所以f f f ，又yf(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)所以f f f sin.題型三 正、余弦函數(shù)的單調(diào)性例3 求函數(shù)y=sin(x+)的單調(diào)區(qū)間.【答案】略.【解析】當(dāng)-+2kx+2k(kZ)時函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-+,+(kZ).當(dāng)+

10、2kx+2k(kZ)時函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為+,+(kZ).解題技巧：（求單調(diào)區(qū)間的步驟）(1)用“基本函數(shù)法”求函數(shù)yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)ysin x(或ycos x)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；第二步：將“x”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(用不等式表示)中的“x”；第三步：解關(guān)于x的不等式(2)對于形如yAsin(x)的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當(dāng)0時，可先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為yAsin(x)，則yAsin(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間余弦函數(shù)yAcos(x)的單調(diào)

11、性討論同上另外，值得注意的是kZ這一條件不能省略跟蹤訓(xùn)練三1求函數(shù)y2sin的單調(diào)增區(qū)間【答案】略.【解析】y2sin2sin，令zx，則y2sin z，求y2sin z的增區(qū)間，即求ysin z的減區(qū)間，所以2kz2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以y2sin的單調(diào)增區(qū)間是(kZ)題型四 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4 比較下列各組中函數(shù)值的大?。?（1）cos與cos；(2)sin 194與cos 160.【答案】（1）coscos；（2）sin 194cos 160.【解析】（1）coscoscos，coscoscos，2，且函數(shù)ycos x在，2上單調(diào)遞

12、增，coscos，即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，且函數(shù)ysin x在0x90時單調(diào)遞增，sin 14sin 70.從而sin 14sin 70，即sin 194cos 160.解題方法（比較兩個三角函數(shù)值的大?。?(1)比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較(2)比較兩個不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上(3)已知正(余)弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解跟蹤訓(xùn)練四1

13、下列結(jié)論正確的是 ()Asin 400sin 50Bsin 220cos 200 Dcos(40)cos 310【答案】C.【解析】由cos 130cos(18050)cos 50，cos 200cos(18020)cos 20，因為當(dāng)0x90時，函數(shù)ycos x是減函數(shù)，所以cos 50cos 20，即cos 130cos 200.題型五 正、余弦函數(shù)的值域與最值問題例5 求下列函數(shù)的值域:(1)y=cos(x+),x0,;(2)y=cos2x-4cos x+5. 【答案】（1）-, ；（2）2,10.【解析】(1)由x0,可得x+,函數(shù)y=cos x在區(qū)間,上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的值域為-,

14、. (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,則-1t1.y=t2-4t+5=(, 當(dāng)t=-1時,函數(shù)取得t-2)2+1最大值10;t=1時,函數(shù)取得最小值2,所以函數(shù)的值域為2,10. 解題方法（三角函數(shù)的值域問題解題思路） 三角函數(shù)的值域問題的兩種類型,一是化為y=Asin(x+)+B的形式,這種類型的值域問題解決方法是利用區(qū)間上的單調(diào)性;二是與其他函數(shù)相復(fù)合,最為常見的是與二次函數(shù)復(fù)合,利用的是三角函數(shù)的有界性和二次函數(shù)區(qū)間的最值.其方法是換元法,把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題.跟蹤訓(xùn)練五1. 函數(shù)y=2cos2x+5sin x-4的值域為. 【答案】-9,1.【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.故當(dāng)sin x=1時,ymax=1;當(dāng)sin x=-1時,ymin=-9,故y=2cos2x+5sin x-4的值域為-9,1.2.設(shè)f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,則g(x)=bsin(ax+)的最大值為.【答案】1.【解析】由題意a0,當(dāng)a0時,所以此時g(x)=-sin(2x+),其最大值為1.當(dāng)a0時,所以此時g(x)=