構(gòu)建建模意識 培養(yǎng)創(chuàng)新思維

1、構(gòu)建建模意識 培養(yǎng)創(chuàng)新思維論文摘要：提升中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，不但僅是為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，更重要的是能使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)。為此，作者認(rèn)為在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識無疑是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個準(zhǔn)確的方向。本文結(jié)合自己的教學(xué)體會，從理論上及實(shí)踐上闡述：、構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識的基本方法。、通過建模教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型方法、數(shù)學(xué)建模意識、創(chuàng)新思維。一、引言回答是：為了高考；如果我們在非數(shù)學(xué)系的在讀大學(xué)生中作一個調(diào)查，問其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的用處是什么？可能絕大部分同學(xué)的回答是：應(yīng)付考試。到了應(yīng)用題，尤其是1994年考了三個小題，其中一道題是測量某物理量的“最佳近似值”，試題

2、新穎，文字較長，應(yīng)用性較強(qiáng)，其結(jié)果理科難度為0.29，文科為0.16，得分率較低。從1995年1999年高考增大了應(yīng)用題力度，連續(xù)五年出了大題，這些題目成了很多同學(xué)取得高分的“攔路虎”，解答不太理想。應(yīng)該說，我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是一種“目標(biāo)教學(xué)”。一方面，我們一直想教給學(xué)生有用的數(shù)學(xué)，但學(xué)生高中畢業(yè)后如不攻讀數(shù)學(xué)專業(yè)，就覺得數(shù)學(xué)除了高考拿分外別無它用；另一方面，我們的“類型十方法”的教學(xué)方式的確是提升了學(xué)生的應(yīng)試“水平”，但是學(xué)生一旦碰到陌生的題型或者聯(lián)系實(shí)際的問題卻又不會用數(shù)學(xué)的方法去解決它。絕大部分同學(xué)學(xué)了十二年的數(shù)學(xué)，卻沒有起碼的數(shù)學(xué)思維，更不用說用創(chuàng)造性的思維自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題了。

3、由此看來，中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的矛盾顯得特別尖銳。增強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)正是在這種教學(xué)現(xiàn)狀下提出來的?！盁o論從教育、科學(xué)的觀點(diǎn)來看，還是從社會和文化的觀點(diǎn)來看，這些方面（數(shù)學(xué)應(yīng)用、模型和建模）都已被廣泛地認(rèn)為是決定性的、重要的?！蔽覈胀ǜ咧行碌臄?shù)學(xué)教學(xué)大綱中也明確提出要“切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的水平”要求“增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識，能初步使用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后使用數(shù)學(xué)方法實(shí)行探索、猜測、判斷、證明、運(yùn)算、檢驗(yàn)使問題得到解決?！边@些要求不但符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要。因?yàn)槲覀兊臄?shù)學(xué)教學(xué)不但要使學(xué)生獲得新的知識而且要提升學(xué)生的思維水平，要培養(yǎng)學(xué)生自覺地

4、使用數(shù)學(xué)知識去考慮和處理日常生活、生產(chǎn)中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì)，造就一代具有探索新知識，新方法的創(chuàng)造性思維水平的新人。二、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模意識著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對于模式的研究”。所謂數(shù)學(xué)模型，是指對于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設(shè)，使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表述出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都以各自相對應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。舉個簡單的例子，二次函數(shù)就是一個數(shù)學(xué)模型，很多數(shù)學(xué)問題甚至實(shí)際問題都能夠轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決。而

5、通過對問題數(shù)學(xué)化，模型構(gòu)建，求解檢驗(yàn)使問題獲得解決的方法稱之為數(shù)學(xué)模型方法。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)說到底實(shí)際上就是教給學(xué)生前人給我們構(gòu)建的一個個數(shù)學(xué)模型和怎樣構(gòu)建模型的思想方法，以使學(xué)生能使用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。具體的講數(shù)學(xué)模型方法的操作程序大致上為： 實(shí)際問題分析抽象建立模型數(shù)學(xué)問題 檢驗(yàn) 實(shí)際解 釋譯 數(shù)學(xué)解由此，我們能夠看到，培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的水平關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識系統(tǒng)去處理，這不但要求學(xué)生有一定的抽象水平，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比水平。學(xué)生的這種水平的獲得不是一朝一夕

6、的事情，需要把數(shù)學(xué)建模意識貫穿在教學(xué)的始終，也就是要持續(xù)的引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。三、構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識的基本途徑。1、為了培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)首先需要提升自己的建模意識。這不但意味著我們在教學(xué)內(nèi)容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學(xué)觀點(diǎn)的更新。中學(xué)數(shù)學(xué)教師除需要了解數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要持續(xù)地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)建模理論，并且努力鉆研如何把中學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。北京大學(xué)附中張思明老師

7、對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印?！笔裁词茿1型號？在弄清了各種型號的比例關(guān)系后，他便把這個材料引入到初中“相似形”部分的教學(xué)中。這是一般人所忽略的事，卻是數(shù)學(xué)教師使用數(shù)學(xué)建模實(shí)行教學(xué)的良好機(jī)會。2、數(shù)學(xué)建模教學(xué)還應(yīng)與現(xiàn)行教材結(jié)合起來研究。教師應(yīng)研究在各個教學(xué)章節(jié)中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關(guān)問題放入到這些模型中來解決；又如在解幾中講了兩點(diǎn)間的距離公式后，可引入兩點(diǎn)間的距離模型解決一些具體問題,而儲蓄問題、信用貸款問題則可結(jié)合在數(shù)列教學(xué)中。要經(jīng)常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學(xué)生能夠從各類大量的建模問題中逐

8、步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生去研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提升他們使用數(shù)學(xué)知識實(shí)行建模的水平。3、注意與其它相關(guān)學(xué)科的關(guān)系。因?yàn)閿?shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)以至社會科學(xué)的工具而且其它學(xué)科與數(shù)學(xué)的聯(lián)系是相當(dāng)密切的。所以我們在教學(xué)中應(yīng)注意與其它學(xué)科的呼應(yīng)，這不但能夠協(xié)助學(xué)生加深對其它學(xué)科的理解，也是培養(yǎng)學(xué)生建模意識的一個不可忽視的途徑。例如教了正弦型函數(shù)后，可引導(dǎo)學(xué)生用模型函數(shù)y=Asin（wx+）寫出物理中振動圖象或交流圖象的數(shù)學(xué)表達(dá)式。又如當(dāng)學(xué)生在化學(xué)中學(xué)到CH4CL4，金剛石等物理性質(zhì)時，可用立幾模型來驗(yàn)證它們的鍵角為arccos（-1/3）=10928可見，這樣的模型意識不但僅是抽象的數(shù)

9、學(xué)知識，而且將對他們學(xué)習(xí)其它學(xué)科的知識以及將來用數(shù)學(xué)建模知識探討各種邊緣學(xué)科產(chǎn)生長遠(yuǎn)的影響。4、在教學(xué)中還要結(jié)合專題討論與建模法研究。我們能夠選擇適當(dāng)?shù)慕ｎ}，如“代數(shù)法建?！薄ⅰ皥D解法建?！薄ⅰ爸保ㄇ┚€擬合法建?！保ㄟ^討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學(xué)建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至能夠引導(dǎo)學(xué)生通過對日常生活的觀察，自己選擇實(shí)際問題實(shí)行建模練習(xí)，從而讓學(xué)生嘗到數(shù)學(xué)建模成功的“甜”和難于解決的“苦”借亦拓寬視野、增長知識、積累經(jīng)驗(yàn)。這亦符合玻利亞的“主動學(xué)習(xí)原則”，也正所謂“學(xué)問之道，問而得，不如求而得之深固也”。 四 把構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識與培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維過程統(tǒng)一起來。 在諸

10、多的思維活動中，創(chuàng)新思維是最高層次的思維活動，是開拓性、創(chuàng)造性人才所必須具備的水平。麻省理工大學(xué)創(chuàng)新中心提出的培養(yǎng)創(chuàng)造性思維水平，主要應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生靈活使用基本理論解決實(shí)際問題的水平。由此，我認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的過程有三點(diǎn)基本要求。第一，對周圍的事物要有積極的態(tài)度；第二，要敢于提出問題；第三，善于聯(lián)想，善于理論聯(lián)系實(shí)際。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建學(xué)生的建模意識實(shí)質(zhì)上是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維水平，因?yàn)榻；顒颖旧砭褪且豁?xiàng)創(chuàng)造性的思維活動。它既具有一定的理論性又具有較大的實(shí)踐性；既要求思維的數(shù)量，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在建?；顒舆^程中，能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立，自覺地使用所給問題的條件，尋求解決問題的最佳

11、方法和途徑，能夠培養(yǎng)學(xué)生的想象水平，直覺思維、猜測、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造等水平。而這些數(shù)學(xué)水平正是創(chuàng)造性思維所具有的最基本的特征。1、發(fā)揮學(xué)生的想象水平，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維眾所周知，數(shù)學(xué)史上很多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)來源于直覺思維，如笛卡爾坐標(biāo)系、費(fèi)爾馬大定理、歌德巴赫猜想、歐拉定理等，應(yīng)該說它們不是任何邏輯思維的產(chǎn)物，而是數(shù)學(xué)家通過觀察、比較、領(lǐng)悟、突發(fā)靈感發(fā)現(xiàn)的。通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)，使學(xué)生有獨(dú)到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發(fā)現(xiàn)問題，溝通各類知識之間的內(nèi)在聯(lián)系等是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的核心。例：證明分析：此題若作為“三角”問題來處理，當(dāng)然也能夠證出來，但從題中的數(shù)量特征來看，發(fā)現(xiàn)這些角都依次相差72，聯(lián)想到正五邊

12、形的內(nèi)角關(guān)系，由此構(gòu)造一個正五邊形（如圖）因?yàn)?.從而它們的各個向量在Y軸上的分量之和亦為0，故知原式成立。這里，正五邊形作為建模的對象恰到好處地體現(xiàn)了題中角度的數(shù)量特征。反映了學(xué)生敏銳的觀察水平與想象水平。如果沒有一定的建模訓(xùn)練，是很難“創(chuàng)造”出如此簡潔、優(yōu)美的證明的。正如EL泰勒指出的“具有豐富知識和經(jīng)驗(yàn)的人，比只有一種知識和經(jīng)驗(yàn)的人更容易產(chǎn)生新的聯(lián)想和獨(dú)創(chuàng)的見解。2、構(gòu)建建模意識，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)換水平恩格斯曾說過：“由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式不是無聊的游戲而是數(shù)學(xué)的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠(yuǎn)?！币?yàn)閿?shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，所以如果我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重轉(zhuǎn)化，用好這根有力的杠

13、桿，對培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)水平、提升解題速度是十分有益的。如在教學(xué)中，我曾給學(xué)生介紹過“洗衣問題”：給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服放入水中就洗；或是將水分成相同的兩份，先在其中一份中洗滌，然后在另一份中清一下，哪種洗法效果好？答案不言而喻，但如何從數(shù)學(xué)角度去解釋這個問題呢？我們借助于溶液的濃度的概念，把衣服上殘留的臟物看成溶質(zhì)，設(shè)那桶水的體積為x，衣服的體積為y，而衣服上臟物的體積為z，當(dāng)然z應(yīng)非常小與x、y比可忽略不計(jì)。第一種洗法中，衣服上殘留的臟物為 ；按第二種洗法：第一次洗后衣服上殘留的臟物為 ；第二次洗后衣服上殘留的臟物為 ；顯然有這就證明了第二

14、種洗法效果好一些。事實(shí)上，這個問題能夠更引申一步，如果把洗衣過程分為k步（k給定）則怎樣分才能使洗滌效果最佳？學(xué)生對這個問題的進(jìn)一步研究，無疑會激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性，且能開拓學(xué)生創(chuàng)造性思維水平，養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題，獨(dú)立思考的習(xí)慣。3、以“構(gòu)造”為載體，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新水平“一個好的數(shù)學(xué)家與一個蹩腳的數(shù)學(xué)家之間的差別，就在于前者有很多具體的例子，而后者則只有抽象的理論。”我們前面講到，“建?！本褪菢?gòu)造模型，但模型的構(gòu)造并不是一件容易的事，又需要有充足強(qiáng)的構(gòu)造水平，而學(xué)生構(gòu)造水平的提升則是學(xué)生創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造水平的基礎(chǔ)：創(chuàng)造性地使用已知條件，創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。如：在一條筆直的大街上，有n座房子，

15、每座房子里有一個或更多的小孩，問：他們應(yīng)在什么地方會面，走的路程之和才能盡可能地少？分析：如何表示房子的位置？構(gòu)造數(shù)軸，用數(shù)軸表示筆直的大街，幾座房子分別位于x1、x2 、 、xn ，不妨設(shè)x1 x2 xn ,又設(shè)各座房子中分別有a1 、a2 、 、an 個小孩，則問題就成為求實(shí)數(shù)x ，使f(x)= ai|x - xi|最小。 又如：求函數(shù) 的最小值。分析：學(xué)生首先想到的用不等式求得最小值為2，但忽略了等號成立的條件。若把函數(shù)變換為 ，則可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型“求過定點(diǎn)A（0,-4）及動點(diǎn)B（2 sin，sin2）的直線AB斜率的最小值”而動點(diǎn)B（2 sin，sin2）的軌跡是拋物線段： 結(jié)合圖象知f

16、()的最小值為 。從上面兩個例子能夠看出，只要我們在教學(xué)中教師仔細(xì)地觀察，精心的設(shè)計(jì)，能夠把一些較為抽象的問題，通過現(xiàn)象除去非本質(zhì)的因素，從中構(gòu)造出最基本的數(shù)學(xué)模型，使問題回到已知的數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域，并且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新水平。五、總結(jié)綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識與素質(zhì)教學(xué)所要求的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維水平是相輔相成，密不可分的。要真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新水平，光憑傳授知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，重要的是在教學(xué)中必須堅(jiān)持以學(xué)生為主體，不能脫離學(xué)生搞一些不切實(shí)際的建模教學(xué)，我們的一切教學(xué)活動必須以調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主活動，自覺的在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識，只有這樣才能使學(xué)生分析和解決問題的水平得到長足的進(jìn)步，也只有這樣才能真正提升學(xué)生的創(chuàng)新水平，使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)。我們相信，在展開“目標(biāo)教學(xué)”的同時，大力滲透“建模教