【教案】人教版高一數(shù)學§2.2.1《等差數(shù)列》教學設計

1、2.2.1等差數(shù)列一、基本說明1模塊：高中數(shù)學2年級：高中一年級 3所用教材版本：普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5（人教版）4所屬的章節(jié)：第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。5學時數(shù)： 40分鐘二、教學設計 1、教學目標：通過本節(jié)課的學習使學生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導學生了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數(shù)列的公差及通項公式，能在解題中靈活應用，初步引入“數(shù)學建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\用；并在此過程中培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數(shù)與數(shù)列關系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習

2、，提高學生分析問題和解決問題的能力。在解決問題的過程中培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；使學生認識事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。并通過一定的實例激發(fā)同學們的民族自豪感和愛國熱情。2、內容分析： 數(shù)列是高中數(shù)學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列等內容做好準備。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法通項公式和遞推公式的基礎上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。3

3、、重難點分析：理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式和等差中項的概念是本節(jié)的重點內容，而等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想方法是被本節(jié)的難點。4、教學方法：教師啟發(fā)講授，學生探究學習。 5、教學手段：電腦輔助教學。 三、教學活動活動1 創(chuàng)設情境，引入課題 1.復習：(1)數(shù)列的簡單表示法列舉法、圖象法、遞推公式、通項公式.(2)數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型數(shù)列可以看成以正整數(shù)集 （或它的有限子集1,2,3，n）為定義域的函數(shù)設計意圖強調數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，研究函數(shù)從特殊的函數(shù)入手，研究數(shù)列也從特殊的數(shù)列入手2.實例背景：(1) 姚明訓練罰球得到數(shù)列：6000，6

4、500，7000，7500，8000，8500，9000.(2) 奧運會主辦時間得到數(shù)列：1984，1988，1992，1996，2000， 2004，2008， 2012，2016, 2020(3) 運動鞋的尺碼得到數(shù)列25, 25.5, 26, 26.5, 27, 27.5，28, 28.5, (4) 從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，組成的數(shù)列為：0，5，10，15，20，25，.3.舉例歸納： 觀察歸納以上四組數(shù)列的共同特征，繼而請學生自己舉例預案：(5)寫一個公差為負數(shù)的等差數(shù)列；(6)寫一個公差為無理數(shù)的等差數(shù)列；(7)寫一個公差為0的等差數(shù)列；設計意圖讓學生通過觀察歸納再

5、到舉例說明，深化理解，加深認識，同時教師在學生舉例的過程中附加條件與要求，豐富學生對等差數(shù)列的認識.活動2 等差數(shù)列的概念1.定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.將文字語言轉化為符號語言: =d （d是常數(shù)，n2，nN*）或 =d （ d是常數(shù), nN*）深化理解：(1) “從第二項起” 這是為了使每一項與它的前一項都存在.(2)“同一個常數(shù)”揭示了等差數(shù)列本質就是等差.2.鞏固練習：例1、判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列? 如果是等差數(shù)列，說出公差是多少? （1）1，2，4，6，8

6、 （2）2，4，6，8（3）1，-1，1，-1 （4）0, 0, 0, 0,（5）1，1/2，1/3，1/4 （6）-5，-4，-3 （7）設計意圖讓學生由特殊到一般，再由一般回到特殊，在歸納出等差數(shù)列的定義后，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第二次認識.活動3 等差數(shù)列的通項公式：1.運用兩種方法研究通項公式：已知等差數(shù)列的首項是，公差是d不完全歸納法累加法（迭加法） 由此我們可以歸納得出通項公式：以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為 這n-1個等式左邊與左邊相加，右邊于右邊相加，可以得到設計意圖 當我們得到等差數(shù)列的定義后，就要站在函數(shù)的高度，去研究項與項數(shù)之間的

7、關系，這是數(shù)列的核心讓學生嘗試用歸納法找到通項公式的同時,強調定義式這一遞推關系，也可以用迭加法求出通項公式.教學中鼓勵學生從不同側面展開對某一問題的研究，讓學生感受從多角度、多層次地分析問題的方式2.深化對通項公式的認識：(1)方程的角度:四個量： , , n ,d 知三求一. (2)函數(shù)的角度: 通項公式是關于正整數(shù)n的一次函數(shù)（本節(jié)選講）.例2:已知等差數(shù)列的首項 =3 ，公差 d =2，求它的通項公式。分析：知道,d ,求 ;代入通項公式。解： =3 , d=2 =+(n-1)d =3+（n-1）=2n+1例3: (1) 求等差數(shù)列8，5，2，的第20項。(2) 等差數(shù)列 -5，-9，

8、-13，判斷401是不是它的項 ？要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項公式，并且需要注意的是，項數(shù)是否有意義。解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為 由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。總結：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關于、d、n（獨

9、立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當判斷是第幾項的項數(shù)時還應看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。例4 、在等差數(shù)列中 ，已知=12 ， =36 , 求公差d和通項公式.分析：例4目的是講解等差數(shù)列中任意兩項和之間的關系：=+(n-m)d (n,mN*)解（方法二）： =12 ， =36 ， =+(18-6)d an = +(n-6)d =12+(n-6) 2=2n 所以，d=2， =2n.方法一（方程思想）:引導學生認識到等差數(shù)列的通項公式,其實就是一個關于、d、n 的方程,以便于學生把方程思想和通項公式相結合,解決等差

10、數(shù)列問題.方法二(通項公式的變式): 注意公式的推廣, 等差數(shù)列的通項公式是、d、n的關系,引導學生進一步探究數(shù)列任意兩項和之間的表示關系,從而加深對通項公式認識的深度和廣度,體會多種方法所帶來的便利.活動4 等差中項：在如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后這三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：（1） 2 ，( 3 ) ， 4 （2） -12，( -6 ) ， 0 ( 3 ) a , ( ) , b等差中項定義引入：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項. A是a與b的等差中項 )(它們之間可以相互推出，即充分必要條件)例5、填上適當?shù)臄?shù)，組成等差數(shù)列（1

11、） 1，0 , _-1_ （2）_0_，2，4 ( 3 ) 1 ,_1_, 3（4） _1_, 3 , 5 ,_ 7 _ （5） , , 設計意圖要熟練的運用等差數(shù)列的等差中項解決問題，特別在3個數(shù)成等差數(shù)列時，非常好用，本例題目的是突出第5小題，給出了等差數(shù)列等差中項的另一種形式，從第二項起，每一項于它的前一項和后一項都構成了等差中項。四、課堂作業(yè)：、在等差數(shù)列中,，則；、在等差數(shù)列中 ，已知= ， =6求：（）（），（3）10是不是這個數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？如果不是說明理由。設計意圖用練習的方式讓學生突破本節(jié)的重難點.五、小結1、等差數(shù)列的概念：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.將文字語言轉化為符號語言: =d （d是常數(shù)，n2，nN*）或 =d （ d是常數(shù), nN*）2、等差數(shù)列的通項公