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文檔簡介
1、有限元 第二次作業(yè)2-2 圖示懸臂板,屬于平面應力問題,其網(wǎng)格圖及單元、節(jié)點編號見圖2-1,E=2.11011,u=0.28,演算其單剛陣到總剛陣的組集過程,并用MATLAB軟件計算總剛陣。圖2-1答:根據(jù)圖2-1所示列出單元節(jié)點列表:節(jié)點 單元ijk1354225332654162(1)計算單元剛度陣單元1的剛度矩陣: ,;單元2的剛度矩陣:,;單元3的剛度矩陣:,;單元4的剛度矩陣:,;總剛度矩陣:Matlab 程序語言的編寫:function Idexglobal gNode gElement gMaterialgNode=0.0 0.01 0.5 0.01 1.0 0.01 1.0 0
2、.0 0.5 0.0 0.0 0.0 %gNode 同樣是一個矩陣,每一行表示一個結(jié)點,第1 列是結(jié)點的x 坐標,第2 列是結(jié)點的y坐標gElement=3 4 5 2 3 5 2 5 6 1 2 6 ; %gElement 是一個矩陣,每一行表示一個單元,第1 行是單元的第1 個結(jié)點號,第2 行是單元的第2個結(jié)點號。Returnfunction k=StiffnessMatrix(ie)%計算單元剛度矩陣函數(shù)global gNode gElement k=zeros(6,6); %6x6單元剛陣E=2.1*1011; %材料特性u=0.28 ; %材料特性t=0.01; %材料特性xi=gN
3、ode(gElement(ie,1),1);yi=gNode(gElement(ie,1),2);xj=gNode(gElement(ie,2),1);yj=gNode(gElement(ie,2),2);xm=gNode(gElement(ie,3),1);ym=gNode(gElement(ie,3),2); %計算節(jié)點坐標分量ai=xj*ym-xm*yj;aj=xm*yi-xi*ym;am=xi*yj-xj*yi;bi=yj-ym;bj=ym-yi;bm=yi-yj;ci=-(xj-xm);cj=-(xm-xi);cm=-(xi-xj);d=1,xi,yi;1,xj,yj;1,xm,ym
4、;area=det(d); %計算單元面積B=bi 0 bj 0 bm 0 ;0 ci 0 cj 0 cm;ci bi cj bj cm bm;B=B/2/area;D=1 u 0;u 1 0;0 0 (1-u)/2;D=D*E/(1-u2);k=transpose(B)*D*B*t*abs(area); %計算單元剛度矩陣Returnfunction gK=AssembleStiffnessMatrix% 計算總剛陣 global gElement gK ie gK=zeros(12,12); for ie =1:1:4 %單元循環(huán) k=StiffnessMatrix(ie); for i=
5、1:1:3 %節(jié)點循環(huán) for j=1:1:3 %節(jié)點循環(huán) for p=1:1:2 %自由度循環(huán) for q=1:1:2 %自由度循環(huán) m=(i-1)*2+p; %每個節(jié)點有2個自由度,i節(jié)點的第p個自由度為(i-1)*2+p n=(j-1)*2+q; %每個節(jié)點有2個自由度,i節(jié)點的第p個自由度為(i-1)*2+p M=(gElement(ie,i)-1)*2+p; N=(gElement(ie,j)-1)*2+q; gK(M,N)=gK(M,N)+k(m,n); end end end end end Return 則單元1的剛度矩陣為 StiffnessMatrix(1)ans = 1.
6、0e+010 * 2.0508 0 -2.0508 0.0410 0 -0.0410 0 5.6966 0.0319 -5.6966 -0.0319 0 -2.0508 0.0319 2.0531 -0.0729 -0.0023 0.0410 0.0410 -5.6966 -0.0729 5.6974 0.0319 -0.0008 0 -0.0319 -0.0023 0.0319 0.0023 0 -0.0410 0 0.0410 -0.0008 0 0.0008單元2的剛度矩陣 StiffnessMatrix(2)ans = 1.0e+010 * 2.0531 -0.0729 -2.0508
7、 0.0319 -0.0023 0.0410 -0.0729 5.6974 0.0410 -5.6966 0.0319 -0.0008 -2.0508 0.0410 2.0508 0 0 -0.0410 0.0319 -5.6966 0 5.6966 -0.0319 0 -0.0023 0.0319 0 -0.0319 0.0023 0 0.0410 -0.0008 -0.0410 0 0 0.0008單元3的剛度矩陣為 StiffnessMatrix(3)ans = 1.0e+010 * 0.0023 0 -0.0023 0.0319 0 -0.0319 0 0.0008 0.0410 -0
8、.0008 -0.0410 0 -0.0023 0.0410 2.0531 -0.0729 -2.0508 0.0319 0.0319 -0.0008 -0.0729 5.6974 0.0410 -5.6966 0 -0.0410 -2.0508 0.0410 2.0508 0 -0.0319 0 0.0319 -5.6966 0 5.6966單元4的剛度矩陣 StiffnessMatrix(4)ans = 1.0e+010 * 2.0531 -0.0729 -2.0508 0.0319 -0.0023 0.0410 -0.0729 5.6974 0.0410 -5.6966 0.0319 -
9、0.0008 -2.0508 0.0410 2.0508 0 0 -0.0410 0.0319 -5.6966 0 5.6966 -0.0319 0 -0.0023 0.0319 0 -0.0319 0.0023 0 0.0410 -0.0008 -0.0410 0 0 0.0008總剛度矩陣為ans = 1.0e+011 * Columns 1 through 8 0.2053 -0.0073 -0.0002 0.0041 0 0 0 0 -0.0073 0.5697 0.0032 -0.0001 0 0 0 0 -0.0002 0.0032 0.4106 -0.0073 -0.0002 0
10、.0041 0 0 0.0041 -0.0001 -0.0073 1.1395 0.0032 -0.0001 0 0 0 0 -0.0002 0.0032 0.2053 0 -0.2051 0.0041 0 0 0.0041 -0.0001 0 0.5697 0.0032 -0.5697 0 0 0 0 -0.2051 0.0032 0.2053 -0.0073 0 0 0 0 0.0041 -0.5697 -0.0073 0.5697 0 0 -0.4102 0.0073 0 -0.0073 -0.0002 0.0032 0 0 0.0073 -1.1393 -0.0073 0 0.0041
11、 -0.0001 -0.2051 0.0041 0 -0.0073 0 0 0 0 0.0032 -0.5697 -0.0073 0 0 0 0 0 Columns 9 through 12 0 0 -0.2051 0.0032 0 0 0.0041 -0.5697 -0.4102 0.0073 0 -0.0073 0.0073 -1.1393 -0.0073 0 0 -0.0073 0 0 -0.0073 0 0 0 -0.0002 0.0041 0 0 0.0032 -0.0001 0 0 0.4106 -0.0073 -0.0002 0.0041 -0.0073 1.1395 0.003
12、2 -0.0001 -0.0002 0.0032 0.2053 0 0.0041 -0.0001 0 0.5697 2-3 在平面問題有限元分析中, (1)用到了哪些彈性力學中的基本方程?答:平衡微分方程、幾何方程、相容方程(形變協(xié)調(diào)方程)。 (2)力的平衡條件是如何滿足的?答:根據(jù)能量守恒原理,有外力所作虛功應該等于內(nèi)力虛功。也就是結(jié)構(gòu)在外載荷作用下處于平衡狀態(tài)則在結(jié)構(gòu)上的力在任意虛功位移上所作的虛功之和等于零。以下是用到的方程: (3)變形協(xié)調(diào)條件是如何滿足的?答:對材料進行線彈性和各向同性的假設,用彈性力學中應力-應變之間的關系得到變形協(xié)調(diào)條件。下面是形變協(xié)調(diào)方程。2-4 在平面三角形單元中的位移、應變、應力具有什么特征?位移特征:(1)必須包含單元的剛體位移;(2)必須包含單元的常應變狀態(tài);(3)必須保證不偏惠各坐標軸;(4)必須保證單元內(nèi)位移連續(xù)。應力特征:(1)三角形單元其應力僅與單元材料和幾何尺寸有關,與節(jié)點位移有關,而與單元內(nèi)位置坐標無關,也即這類單元內(nèi)的應力是常量。(2)三角形單元內(nèi)應力連續(xù),但在公共邊界上應力有突變,密布網(wǎng)格可以減少這種沖突的不合理性。應變特征:由于簡單三角形單元取線性位移模式,其應變矩陣為常數(shù)矩陣,即在這樣的位移模式下,三角形單元內(nèi)的應變?yōu)槟骋怀A俊?
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