組合公式及證明

1、組合公式及證明第十講 組合恒等式一、 知識概要數(shù)學競賽中組合數(shù)計算和組合恒等式的證明，是以高中排列、組合、二項式定理為基礎(chǔ)，并加以推廣和補充而形成的一類習題，它往往會具有一定的難度且靈活性較強。解決這類問題常常對學生良好的運算能力和思維的靈活性都有較高的要求。同時，此類問題的解決也有著自身特殊的解題技巧。因此，在各類數(shù)學競賽中經(jīng)常被采用。1，基本的組合恒等式簡單的組合恒等式的化簡和證明，可以直接運用課本所學的基本組合恒等式。事實上，許多競賽中出現(xiàn)的較復(fù)雜的組合數(shù)記算或恒等式證明，也往往運用這些基本組合恒等式，通過轉(zhuǎn)化，分解為若干個簡單的組合恒等式而加以解決。課本中的組合恒等式有：；2，解題中常

2、用方法 運用基本組合恒等式進行變換； 運用二項展開式作為輔助函數(shù)，通過比較某項的系數(shù)進行計算或證明； 運用數(shù)學歸納法； 變換求和指標； 運用賦值法進行證明； 建立遞推公式，由初始條件及遞推關(guān)系進行計算和證明； 構(gòu)造合理的模型。二、 運用舉例例1，求證：.證明：根據(jù)前面提到的基本的組合恒等式第三條，可得：左邊右邊例2，求和式的值?；舅悸罚簩⒏膶憺椋葘⒂煤愕仁?提取公因式，然后再將變形成為，而又可以繼續(xù)運用上述恒等變形，這樣就使得各項系數(shù)中均不含有變動指標了。解：例3，求的值。解： 。例4，設(shè)，求證：?；舅悸罚河蓛蓚€連續(xù)自然數(shù)與的積，聯(lián)想到可化為，進一步運用，反復(fù)運用基本的組合恒等式2即可化

3、簡。證明：例5，當時，求證 基本思路：利用基本組合恒等式4化簡原式左邊各項，使得化簡后僅有中含有變動指標。證明：顯然，當時，原式左邊。 當時，利用基本組合恒等式4可得：左邊。只要令，原式即可變?yōu)椋?。即原式成立。說明：變換求和指標是解決較復(fù)雜的組合記數(shù)的一種常見技巧，它可以起到簡化計算的目的。變換求和指標時，要注意求和指標的上、下限需要同時變換。例6，求證：。證明：所以，右邊。例7，求證： 基本思路1：此題若考慮用基本組合恒等式來證明是比較困難的，注意到左端各項恰好是二項展開式中各項系數(shù)的平方，考慮構(gòu)造兩個二項展開式。證明：因為：顯然，的展開式中，常數(shù)項即為所求證等式的左端。不妨設(shè)，將原式變形為：將上式展開，其中常數(shù)項為，由此可知，原式成立?；舅悸?：注意到恒等式，要證的等式的左邊可變形為：；而等式右邊即為：，因此可以考慮建立適當?shù)慕M合記數(shù)模型來加以證明。證明：設(shè)袋子中有個白球，個紅球，現(xiàn)從這個小球中隨機抽取個小球，其方法種數(shù)為：。另一方面，可以看成次如下的取球活動：從個白球中取出個，再從個紅球中取出個，其取法種數(shù)為：，所以符合題意的取球方法種數(shù)是：。因此原式成立。說明：本題的兩種證明方法均采用了構(gòu)造思想。構(gòu)造法是解決競賽問題的一種常用方法。三、鞏固練習1，求證：。2，求證：當是偶數(shù)時，。3，求證：。（利用）4，求的值。（）5，求證：。（利用）6，求證：（利用）7，求證：（利