同濟(jì)高數(shù)習(xí)題課PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 同濟(jì)高數(shù)習(xí)題課同濟(jì)高數(shù)習(xí)題課 一、主要內(nèi)容 重重）極極限限元元函函數(shù)數(shù)的的（、nn 1 ),(lim),(lim)(lim 1 1 , 0 0 11 00 11 0 n xx xx n xxxx PP xxfxxfPf nn nn 方方式式；以以即即定定義義：任何 , 0|0 , 1) 00f DPPPPP 次次極極限限混混淆淆。注注意意：不不要要于于n 。（幾幾乎乎）同同一一元元函函數(shù)數(shù)性性質(zhì)質(zhì)、運(yùn)運(yùn)算算、求求法法 2) 連連續(xù)續(xù)、 2 )()(lim )1 0 0 PfPf PP 定義：定義： 同同一一元元函函數(shù)數(shù)。 的的連連續(xù)續(xù)性性性性質(zhì)質(zhì)、運(yùn)運(yùn)算算、初初等等函函數(shù)數(shù) 2) 2

2、/17 第1頁(yè)/共18頁(yè) 全全連連續(xù)續(xù)與與偏偏連連續(xù)續(xù) 3) 全全連連續(xù)續(xù) 偏偏連連續(xù)續(xù) 征征二二元元函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)的的幾幾何何特特 4) 函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)上上連連續(xù)續(xù)有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 5) 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)、 3 0 1 1 ) ),(),( )1 00 21 00 1 x nnx xxxfxxf 定定義義： 物物理理意意義義與與幾幾何何意意義義 )2 計(jì)計(jì)算算 )3）同同一一元元函函數(shù)數(shù)（更更復(fù)復(fù)雜雜 用用定定義義 )1( 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則則則運(yùn)運(yùn)算算法法則則、 公公式式、（偏偏）導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的四四用用基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) )2( 式式法法、直直接接

3、法法）用用隱隱函函數(shù)數(shù)的的求求導(dǎo)導(dǎo)法法（公公 )3( 3/17 第2頁(yè)/共18頁(yè) 高高階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) )4 定定義義 )1( 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的條條件件混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與求求導(dǎo)導(dǎo)順順序序 )2( 全全微微分分、 4 定定義義 )1 同同一一元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分運(yùn)運(yùn)算算法法則則、計(jì)計(jì)算算 )2 的的關(guān)關(guān)系系連連續(xù)續(xù)、可可導(dǎo)導(dǎo)、可可微微之之間間、 5 （全全）連連續(xù)續(xù) 在在各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)（偏偏微微分分）存存各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)可可微微 關(guān)關(guān)于于各各變變量量偏偏連連續(xù)續(xù) 4/17 第3頁(yè)/共18頁(yè) 微微分分法法的的應(yīng)應(yīng)用用、 6 幾幾何何應(yīng)應(yīng)用用 )1 求求曲曲線線的的切切線線與與法法平

4、平面面 )1(關(guān)關(guān)鍵鍵：切切向向量量 求求曲曲面面的的切切平平面面與與法法線線 )2(關(guān)關(guān)鍵鍵：法法向向量量 求求極極值值與與最最值值 )2 極極值值的的必必要要條條件件 )1( 點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分條條件件二二元元函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為極極值值 )2( 條條件件極極值值的的求求法法 )3( 最最值值的的求求法法 )4( 解解出出隱隱函函數(shù)數(shù)法法、 拉拉格格朗朗日日數(shù)數(shù)乘乘法法 5/17 第4頁(yè)/共18頁(yè) ？ ？ 二、例題 例1 .lim 0 0 yx xy y x 求求 解1 xy yx yx xy同同除除 )0,0(),( lim . 0 xy yx11 1 lim )0 , 0(),( 解

5、2 0 0 lim 0 x x x . 0 解3 , sin cos 4 3 4 )0 , 0(),( lim ry rx yx yx xy 及及 sincos sincos lim 0 r r . 0 6/17 ？ 0 )0 , 0(),( lim y yx yx xy 第5頁(yè)/共18頁(yè) ？ 解4 1, )0 , 0(),( lim kkxy yx yx xy . 0 kxx kxx x0 lim 連連 k kx x 1 lim 0 實(shí)實(shí)際際上上，又又由由 yx xy xxy yx 2 )0 , 0(),( lim. 1 )( )( lim 2 2 0 xxx xxx x 連連 1 1 li

6、m 0 x x 此此極極限限不不存存在在。 例1.lim 0 0 yx xy y x 求求 7/17 第6頁(yè)/共18頁(yè) 例2 解 .)(lim 22 22 0 0 yx y x yx 求求 原原式式 )ln()(lim 222 0,0 yxxy yx e 122 22 0, 0 2 22 0, 0 )( )ln( lim )( lim yx yx yx xy yxyx e 22 2 )( yx xy 22 222 )( 2 1 ( yx yx )( 4 1 22 yx ;0 122 22 0, 0 )( )ln( lim yx yx yx 22 yxu 1 0 ln lim u u u ,0.

7、 0 原原式式 8/17 第7頁(yè)/共18頁(yè) ？ 解有有由由 ),( ),( yxtttxfy x t t f x f dx dy 0),( tyxF由由 t x F F x t )( t x tx F F ff dx dy . t xttx F FfFf 9/17 例30),( ),( tyxFttxfy是是由由方方程程而而設(shè)設(shè) . 1 dx dy CFfyx，求，求、的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中、確定的確定的 第8頁(yè)/共18頁(yè) 解1 , ),(,( )( 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)為為視視yxtxfyxyy )( dx yd ttff dx yd yxtx ),(,(),( yxtxfyyxG由由

8、 y x G G dx yd ). 1 y t xtx tf tff . 1 yt xtx tf tff dx yd 此此步步也也可可用用公公式式：( , t x F F x t 又又 . ytt x ttx FfF FfFf dx yd 10/17 , 0),( ),( 確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)為為而而 tyxFyxtt則有則有 , t y F F y t 例30),( ),( tyxFttxfy是是由由方方程程而而設(shè)設(shè) . 1 dx dy CFfyx，求，求、的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中、確定的確定的 第9頁(yè)/共18頁(yè) 解2求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 確定確定由由視視 . 0),( ),( )( tyx

9、F txfy xyy 0 dx dt F dx dy FF dx dt ff dx dy tyx tx ),(),( txfytyxG記記 )t , y( )G,F( / )t ,x( )G,F( dx dy . dx dy ,或或 . 11/17 例30),( ),( tyxFttxfy是是由由方方程程而而設(shè)設(shè) . 1 dx dy CFfyx，求，求、的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中、確定的確定的 第10頁(yè)/共18頁(yè) *例4 解 .,),( 2 2 2 23 yx z y z y z Cf x y xyfxz ，求，求設(shè)設(shè) ) 1 ( 21 3 x fxfx y z , 2 2 1 4 fxfx )

10、 1 () 1 ( 2221 2 1211 4 2 2 x fxfx x fxfx y z ,2 2212 3 11 5 fxfxfx xy z yx z 22 221211 4 1 3 2)(4fx x y fyfxfx )( 2 2 1 4 fxfx x .24 2211 4 21 3 f yf yxf xfx )( 22221 2 x y fyfx 12/17 第11頁(yè)/共18頁(yè) *例5 解 ., 0 ,sin, 0),(),( 1 2 dx du z Cf xyzexzyxfu y 求求且且 設(shè)設(shè) ，、 u .cos x dx yd 顯顯然然: y z x z 及及求求 得得求求導(dǎo)導(dǎo)關(guān)

11、關(guān)于于對(duì)對(duì)視視,0),(),( 2 xzexyxzz y 02 31 x z x )( 321 dx yd y z x z f dx yd ff dx du x y z x y x x ; 2 3 1 x x z z y y y zex zex y z ),( ),( 2 2 3 2 y e . 表表示示用用x dx du 直接法 公式法 13/17 第12頁(yè)/共18頁(yè) 另解1 .cos x dx yd 顯顯然然: dx dz 求求 得得求求導(dǎo)導(dǎo) 兩兩邊邊對(duì)對(duì)視視 , 0),()()(,( 2 zexxzxyxzz y ,02 321 dx dz dx yd ex y dx dz f dx y

12、d ff dx du 321 ; cos2 3 2 sin 1 xex dx dz x . 表表示示代代入入，用用x dx du 14/17 *例5 ., 0 ,sin, 0),(),( 1 2 dx du z Cf xyzexzyxfu y 求求且且 設(shè)設(shè) ，、 u x y z x y x x 第13頁(yè)/共18頁(yè) 另解2 . 自變量自變量為為為因變量為因變量、則則x,uzy得得求求導(dǎo)導(dǎo) , .u 解解出出 . sin 0),( ),( )( 2 確定確定由由視視 xy zex zyxfu xuu y , cos 02 321 321 xy zyex zfyffu y 15/17 *例5 .,

13、 0 ,sin, 0),(),( 1 2 dx du z Cf xyzexzyxfu y 求求且且 設(shè)設(shè) ，、 u x y z x y x x 第14頁(yè)/共18頁(yè) 另解3 . 為自變量為自變量為因變量為因變量、則則x,uzy ),(),( zyxfuzyxF 記記 dx du 則則 確定確定由由視視 sin 0),( ),( )( 2 xy zex zyxfu xuu y . ),(),( 2 zexzyxG y ,sin),(xyzyxH ),( ),( uzy HGF / ),( ),( xzy HGF 16/17 *例5 ., 0 ,sin, 0),(),( 1 2 dx du z Cf

14、 xyzexzyxfu y 求求且且 設(shè)設(shè) ，、 u x y z x y x x 第15頁(yè)/共18頁(yè) 之間的最短距離之間的最短距離與與求求22 22 zyxyxz例6 解的的距距離離為為到到平平面面022),( zyxzyxP 問(wèn)題歸結(jié)為：?jiǎn)栴}歸結(jié)為： ）的的條條件件最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)。（即即先先求求 2 dd ),()22( 6 1 ),( 222 yxzzyxzyxF 設(shè)設(shè) 令,Fx0 ,Fy0 ,Fz0 ,yxz 22 . 8 1 , 4 1 , 4 1 zyx解解此此方方程程組組得得 得得，最最短短距距離離 .22 6 1 zyxd 條條件件下下的的最最小小值值。在在求求0 ),( 22 zyxzyxd 17/17 第16頁(yè)/共18頁(yè) 練 習(xí) 題 22 )(lim 1 22 0 0 yx y x yx 、求求 2 2、討論、討論 33 yx