牛頓問題練習(xí)題

1、牛頓問題牛頓問題，因由牛頓提出而得名，也有人稱這一類問題叫做牛吃草問題。英國(guó)著名的物理學(xué)家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃多少天？1解題關(guān)鍵牛頓問題，稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長(zhǎng)。解題環(huán)節(jié)主要有四步：1、求出每天長(zhǎng)草量；2、求出牧場(chǎng)原有草量；3、求出每天實(shí)際消耗原有草量( 牛吃的草量-生長(zhǎng)的草量= 消耗原有的草量)；4、最后求出?？沙缘奶鞌?shù)。想：這片草地天天以勻速生長(zhǎng)是分析問題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到

2、的1022-1610=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把所有頭牛分成兩部分來研究，用其中一部分吃掉新長(zhǎng)出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數(shù)。設(shè)一頭牛1天吃的草為一份。那么10頭牛22天吃草為11022=220(份)，16頭牛10天吃草為11610=160(份)（220-160）（22-10）=5(份)，說明牧場(chǎng)上一天長(zhǎng)出新草5份。220-522=110（份)，說明原有老草110份。綜合式：110（25-5）=5.5(天)，就能算出一共多少天。如果想求出有多少牛，那么題目一定會(huì)告訴你原來的

3、草量，方法就和求草一樣。你可以先寫出求草的算式，再帶入數(shù)字。2題目解法牛頓問題的解法是這樣的：在牧草不生產(chǎn)的條件下，如果12頭公牛在四星期內(nèi)吃掉三又三分之一由格爾（當(dāng)時(shí)牛頓想出問題并解出答案的地方）的牧草，則按比例36頭公牛四星期內(nèi)，或16頭公牛九個(gè)星期內(nèi)，或八頭公牛18星期內(nèi)吃掉10由格爾的牧草，由于牧草在生長(zhǎng)，所以21頭公牛9星期只吃掉10由格爾牧草，即在隨后的五周內(nèi)，在10由格爾的草地上新長(zhǎng)的牧草足夠21-16=5頭公牛吃9星期，或足夠5/2頭公牛吃18個(gè)星期，由此推得，14個(gè)星期（即18個(gè)星期減去初的四個(gè)星期）內(nèi)新長(zhǎng)的牧草可供7頭公牛吃18個(gè)星期，因?yàn)?：14=5/2：7。前已算出，如

4、牧草不長(zhǎng)，則10由格爾草地牧草可供8頭公牛吃18個(gè)星期，現(xiàn)考慮牧草生長(zhǎng)，故應(yīng)加上7頭，即10由格爾草地的牧草實(shí)際可供15頭公牛吃18個(gè)星期，由此按比例可算出。24由格爾草地的牧草實(shí)際可供36頭公牛吃18星期。牛頓還給出代數(shù)解法：他設(shè)格爾草地一個(gè)星期內(nèi)新長(zhǎng)出的牧草相當(dāng)于面積為y由格爾的草地，又每頭公牛每個(gè)星期所吃牧草所占的面積是相等的。根據(jù)題意，設(shè)若所求的公牛頭數(shù)為x，就為（10/3+10/3*4y）/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x解得x=36 即36條公牛在18個(gè)星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草。還有一種方法就是使用方程式的解法。例如有一塊牧場(chǎng)，可供

5、9頭牛吃3天，或者5頭牛吃6天，請(qǐng)問多少牛能夠2天吃完？我們做方程式：設(shè)牧場(chǎng)原有草量為y，每天新增加的牧草可供x頭牛食用，N頭牛能夠2天將草吃完，根據(jù)題目條件，我們列出方程式：y=(9-x）3y=(5-x) 6y=(N-x) 2解方程組得x=1 y=24 N=13其實(shí)這種牛吃草問題的核心公式是：原有草量=（牛數(shù)-單位時(shí)間長(zhǎng)草量可供應(yīng)的牛的數(shù)量）天數(shù)另一解法：牛吃草問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于這個(gè)問題隱藏了一個(gè)基本的平衡在其中，那就是：假若每頭牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此題無解，為什么？因?yàn)楹芸赡芤活^牛心情好一天就能吃完這些草，也可能10頭牛食欲不佳一個(gè)月吃都不完這些草，因此每頭牛每天的吃草速率

6、和數(shù)量必須都是相同的是這個(gè)問題成立并且能夠得到答案的充要條件。得到這個(gè)結(jié)論后，我們就要開始確定一個(gè)平衡的方程式出來，如何確定？不難想到，可以是吃草量和草本身量之間的平衡，也就是吃草量=草總量。于是我們就可以假設(shè)一頭牛一天的吃草量為1個(gè)單位，并假設(shè)第三種情況牛吃草的天數(shù)為N；接下來開始尋找平衡方程，我們可以看到，在問題提供的條件中，第一種情況的草的總量為1022，第二種情況的草的總量為1610，第三種情況的草的總量為25N。然后我們開始尋找方程的平衡：既然我們現(xiàn)在已經(jīng)找到三種情況里草地的總量，那么不難想到方程的另一邊就要靠草的量來進(jìn)行平衡，于是，我們假設(shè)原有草量為Y，草每天的生長(zhǎng)量為X，得到如下

7、方程組：1022=22X+Y1610=10X+Y25N=NX+Y解此方程組，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25頭牛用五天半的時(shí)間就能吃完這些草。3規(guī)律總結(jié)牛頓問題的難點(diǎn)在于草每天都在不斷生長(zhǎng)，草的數(shù)量都在不斷變化。解答這類題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長(zhǎng)的草量。顯而易見，原有的草量是一定的，新長(zhǎng)的草量雖然在變，但如果是勻速生長(zhǎng)，我們也能找到另一個(gè)不變量每天（每周）新長(zhǎng)出的草的數(shù)量?；舅悸罚杭僭O(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：

8、原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量。基本公式：生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間短時(shí)間牛頭數(shù)）（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；原有草量=較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間生長(zhǎng)量；牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式：牛吃草問題又稱為消長(zhǎng)問題，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨著吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式，分別是（1）草的生長(zhǎng)速度= （對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較多天數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較少天數(shù)

9、）（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；（2）原有草量=牛頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；（3）吃的天數(shù)=原有草量（牛頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度）；（4）牛頭數(shù)=原有草量吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。這四個(gè)公式是解決消長(zhǎng)問題的基礎(chǔ)。由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個(gè)不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€(gè)基本公式。兩只蝸牛由于耐不住陽(yáng)光的照射，從井頂逃向井底白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個(gè)白天爬20分米，另一只爬15分米黑夜里往下滑，兩只蝸牛滑行

10、的速度卻是相同的結(jié)果一只蝸牛恰好用5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用6個(gè)晝夜到達(dá)井底那么，井深多少米？分析：一只蝸牛恰好用5個(gè)晝夜到達(dá)井底，白天爬； 205=100（分米）； 另一只蝸牛恰好用6個(gè)晝夜到達(dá)井底，白天爬：156=90（分米） 黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的說明，每夜下滑：100-90=10（分米） 那么井深就是：（10+20）5=150（分米）=15（米），或：（15+10）6=150（分米）=15（米）解答：解：（205-156+20）5，=305，=150（米）答：井深150米點(diǎn)評(píng)：此題按牛吃草問題來處理，考察了學(xué)生的思維和推理能力4練習(xí)題及答案（）牧場(chǎng)上有一片牧

11、草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長(zhǎng)，可供21頭牛吃幾周？（）有一口水井，如果水位降低，水就不斷地勻速涌出，且到了一定的水位就不再上升?，F(xiàn)在用水桶吊水，如果每分吊4桶，則15分鐘能吊干，如果每分鐘吊8桶，則7分吊干?，F(xiàn)在需要5分鐘吊干，每分鐘應(yīng)吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均勻的速度生長(zhǎng)，現(xiàn)在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，則24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現(xiàn)在這桶酒如果給6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？（）一水庫(kù)存水量

12、一定，河水均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？（6）自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，已知小明每分鐘走20梯級(jí)，小紅每分鐘走14梯級(jí)，結(jié)果小明4分鐘到達(dá)樓上，小紅用5分鐘到達(dá)樓上，求扶梯共有多少級(jí)？（7）：兩只蝸牛由于耐不住陽(yáng)光照射，從井頂走向井底，白天往下走，一只蝸牛一個(gè)白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，兩只蝸牛下滑速度相同，結(jié)果一只蝸牛5晝夜到達(dá)井底，另一只卻恰好用了6晝夜。問井深是多少？（8）一塊1000平方米的牧場(chǎng)能讓12頭牛吃16個(gè)星期，或讓18頭牛吃8個(gè)星期，那么一塊

13、4000平方米的牧場(chǎng)6個(gè)星期能養(yǎng)活多少頭牛？（9）有一只船有一個(gè)漏洞，水用均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果用12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完。如果只有5個(gè)人淘水，要10小時(shí)才能淘完?，F(xiàn)在要想2小時(shí)淘完，需要多少人？（10）有一個(gè)水井，水不斷由泉涌出，井滿則溢出。若用4臺(tái)抽水機(jī)，15小時(shí)可把井水抽干。若用8臺(tái)抽水機(jī)，7小時(shí)可把井水抽干。現(xiàn)在要用幾臺(tái)抽水機(jī)，能5小時(shí)把井水抽干？（11）李村組織農(nóng)民抗旱，從一個(gè)有地下泉的池塘擔(dān)水澆地。如果50人擔(dān)水，20小時(shí)可把池水擔(dān)完。如果70人擔(dān)水，10小時(shí)可把池水擔(dān)完?，F(xiàn)有130人擔(dān)水，幾小時(shí)可把池水擔(dān)完？答案（1）276=162239=2072

14、07-162=4545/(9-6)=15每周生長(zhǎng)數(shù)162-156=72(原有量)72/(21-15)=12周（2）415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分鐘涌量)60-150、5=52、5（原有水量）52、5+/(50.5)/5=11桶（3）1730=5101924=456510-456=5454/(30-24)=9每天生長(zhǎng)量510-309=240原有草量240+69=294294/6=49人（4）64=2445=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉數(shù)24+44=40原有數(shù)這桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天？（5）520=100615=90100-90=1010

15、/（20-15）=2每天入庫(kù)數(shù)100-202=60原有庫(kù)存數(shù)60+26=7272/6=12臺(tái)（6）204=80145=7080-70=1010/（5-4）=10每分鐘減少數(shù)80+410=120原有數(shù)70+510=120（7）205=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑數(shù)100+510=150156+106=150（8）1216-188=192-144=4848/(16-8)=6每星期生長(zhǎng)數(shù)192-166=96原有數(shù)96+66=132132/6=22224=88頭（9）123=36510=5050-36=1414/(10-3)=2每小時(shí)增加數(shù)36-32=30原有3

16、0+22=3434/2=17人（10）415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.560-150.5=52.552.5+50.5=5555/5=11臺(tái)（11）5020=10007010=7001000-700=300300/(20-10)=30每小時(shí)增加1000-3020=400原有400/(130-30)=4小時(shí)1、牧場(chǎng)上有一片牧草，可以供27頭牛吃6天，供23頭牛吃9天，如果每天牧草生長(zhǎng)的速度相同，那么這片牧草可以供21頭牛吃幾天？2、一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果10個(gè)人舀水，3小時(shí)可以舀完；如果5個(gè)人舀水，8小時(shí)可以舀水，如果要求2小時(shí)舀完，那么要安排多少人舀水？3、某牧場(chǎng)上的草，若用17人去割，30天可以割盡，若用19人去割，則只要24天便可割盡，問用多少人割，6天可以割盡？（草勻速生長(zhǎng)，每人每天割草量相同）4、有一眼泉水，用功率一樣的3臺(tái)抽水機(jī)去抽井水，同時(shí)開機(jī)，