自動控制理論第三章 線性系統(tǒng)的時域分析

1、1 第三章第三章 線性系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的時域分析 3.1 緒言 3.2 典型輸入信號 3.3 控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 3.4 控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng) 3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定判據(jù) 3.6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 2 一一. 控制系統(tǒng)的分析方法控制系統(tǒng)的分析方法 分析控制系統(tǒng)的分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型第一步是建立模型，建建 立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，第二步第二步 分析控制性能分析控制性能， 就是采用各種分析方法對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分就是采用各種分析方法對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分 析。分析方法主要有析。分析方法主要有時域分

2、析法時域分析法，頻域分析頻域分析 法法，根軌跡法根軌跡法等。等。 每種方法，各有千秋。均有他們的適用每種方法，各有千秋。均有他們的適用 范圍和對象。范圍和對象。 本章先討論時域法。本章先討論時域法。 3.1 3.1 緒緒 言言 3 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的時域分析時域分析對系統(tǒng)外施一對系統(tǒng)外施一 給定輸入信號，通過研究系統(tǒng)的時間響應(yīng)來給定輸入信號，通過研究系統(tǒng)的時間響應(yīng)來 分析系統(tǒng)的性能。分析系統(tǒng)的性能。 系統(tǒng)系統(tǒng)時間（時域）響應(yīng)時間（時域）響應(yīng)控制系統(tǒng)在控制系統(tǒng)在 某一個輸入信號作用下，其輸出隨時間變化某一個輸入信號作用下，其輸出隨時間變化 的函數(shù)，是描述系統(tǒng)的微分方程的解。的函數(shù)，是描述系統(tǒng)的

3、微分方程的解。 4 二二. . 線性系統(tǒng)的時域分析法內(nèi)容線性系統(tǒng)的時域分析法內(nèi)容 線性系統(tǒng)的時域分析法線性系統(tǒng)的時域分析法 典型輸入信號典型輸入信號 線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算 一、二階暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)一、二階暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo) 高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分析高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分析 5 實(shí)際上，控制系統(tǒng)的輸入信號常常是不知的，而是隨機(jī)的。實(shí)際上，控制系統(tǒng)的輸入信號常常是不知的，而是隨機(jī)的。 很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知 道的，可

4、以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的 自動控制的例子。自動控制的例子。 3.2 3.2 典型輸入信號典型輸入信號 Typical test signals 在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，對各種控制系統(tǒng)性能要有評判、在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，對各種控制系統(tǒng)性能要有評判、 比較的依據(jù)。這個依據(jù)也許可以通過對這些系統(tǒng)加上各種輸比較的依據(jù)。這個依據(jù)也許可以通過對這些系統(tǒng)加上各種輸 入信號，比較它們對特定的輸入信號的響應(yīng)來建立。入信號，比較它們對特定的輸入信號的響應(yīng)來建立。 許多設(shè)計準(zhǔn)則就建立在這些信號的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng)許多設(shè)計準(zhǔn)則就建立在這些信

5、號的基礎(chǔ)上，或者建立在系統(tǒng) 對初始條件變化（無任何試驗(yàn)信號）的基礎(chǔ)上，因?yàn)橄到y(tǒng)對對初始條件變化（無任何試驗(yàn)信號）的基礎(chǔ)上，因?yàn)橄到y(tǒng)對 典型試驗(yàn)信號的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對實(shí)際輸入信號的響應(yīng)特典型試驗(yàn)信號的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對實(shí)際輸入信號的響應(yīng)特 性之間，存在著一定的關(guān)系，所以采用試驗(yàn)信號即典型輸入性之間，存在著一定的關(guān)系，所以采用試驗(yàn)信號即典型輸入 信號來評價系統(tǒng)性能是合理的。信號來評價系統(tǒng)性能是合理的。 6 作為典型的外部輸入信號，其具備的基本特點(diǎn)是：作為典型的外部輸入信號，其具備的基本特點(diǎn)是： 在實(shí)際工作現(xiàn)場或?qū)嶒?yàn)室中，這種外作用信號容易產(chǎn)生。 在實(shí)際工作現(xiàn)場或?qū)嶒?yàn)室中，這種外作用信號容易產(chǎn)生。

6、 在典型的外部信號作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)能夠反映出該控制系統(tǒng) 在典型的外部信號作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)能夠反映出該控制系統(tǒng) 在實(shí)際工作中的確定性能。在實(shí)際工作中的確定性能。 選擇的外部作用信號其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，便于進(jìn)行理論計算。 選擇的外部作用信號其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，便于進(jìn)行理論計算。 常用的典型輸入信號有常用的典型輸入信號有階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、 脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)和和正弦函數(shù)。正弦函數(shù)。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，輸出響應(yīng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，輸出響應(yīng) 除與數(shù)學(xué)模型有關(guān)外，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號的形除與數(shù)學(xué)模型有關(guān)外，還與系

7、統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號的形 式有關(guān)。式有關(guān)。 在實(shí)際的使用中，控制系統(tǒng)的輸入信號是多種多樣的。為在實(shí)際的使用中，控制系統(tǒng)的輸入信號是多種多樣的。為 便于分析和設(shè)計，常采用典型的輸入信號便于分析和設(shè)計，常采用典型的輸入信號數(shù)學(xué)處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)處理系統(tǒng) 化，推知復(fù)雜輸入下的系統(tǒng)性能?；?，推知復(fù)雜輸入下的系統(tǒng)性能。 7 單位階躍函數(shù)的單位階躍函數(shù)的拉氏變換拉氏變換為為： 通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，這樣可在通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，這樣可在 一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。 這一章僅討論系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)，

8、也就是時域響應(yīng)。這一章僅討論系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)，也就是時域響應(yīng)。 （對正弦試驗(yàn)信號將在第五章頻域分析法、第六章校正方（對正弦試驗(yàn)信號將在第五章頻域分析法、第六章校正方 法中討論）法中討論） 定義定義為為： 式中式中A 為常量。為常量。A=1的階躍函數(shù)稱為的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，記，記 為為1（t）如如圖圖3-1所示。所示。 一、階躍函數(shù)一、階躍函數(shù) s A sR)( 8 定義：定義： 式中式中A為常量。當(dāng)為常量。當(dāng)A=1時時,稱為稱為單位斜單位斜 坡函數(shù)坡函數(shù),記為記為t1（t），如圖），如圖3-2所示。所示。 它等于對單位階躍函數(shù)對時間的積它等于對單位階躍函數(shù)對時間的積 分。即分。即

9、斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)就是階躍斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)就是階躍 函數(shù)。函數(shù)。單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為 R(S)=Lr(t)=1/s2 (3-4) 如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù)，則斜坡如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù)，則斜坡 時間函數(shù)是比較合適的。所以時間函數(shù)是比較合適的。所以在分析隨動系統(tǒng)時常用斜坡在分析隨動系統(tǒng)時常用斜坡 函數(shù)和加速度函數(shù)。函數(shù)和加速度函數(shù)。 2 )( s A sR 二、斜坡函數(shù)二、斜坡函數(shù) 9 定義為定義為： 式中式中A為常量。為常量。 當(dāng)當(dāng)A=1時，稱為時，稱為 單位拋物線函數(shù)單位拋物線函數(shù)，記為，記為 如圖如圖3-3所示。所示。

10、 它等于單位斜坡函數(shù)它等于單位斜坡函數(shù) 對時間的積分。對時間的積分。即單位拋物線函即單位拋物線函 數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)就是單位斜坡數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)就是單位斜坡 函數(shù)。函數(shù)。其拉氏變換為其拉氏變換為： 三、拋物線函數(shù)三、拋物線函數(shù) )( 1 2 1 2 tt 10 定義為定義為 ： 脈沖函數(shù)如圖脈沖函數(shù)如圖3-4所示所示,令令0,則稱為則稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù),記為記為 （t）,見圖見圖3-4（b）,有有 單位脈沖函數(shù)的單位脈沖函數(shù)的拉氏變換拉氏變換為：為： 單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù) 四、脈沖函數(shù)四、脈沖函數(shù) 11 定義為：定義為： 式中式中,A

11、為振幅；為振幅； 為角頻率。為角頻率。 用頻率不同的正弦函數(shù)作為輸入信號，用頻率不同的正弦函數(shù)作為輸入信號， 可求得系統(tǒng)此時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在頻率法中可求得系統(tǒng)此時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在頻率法中 廣泛使用。廣泛使用。 五、正弦函數(shù)五、正弦函數(shù) tAtrsin)( 12 如系統(tǒng)的輸入為如系統(tǒng)的輸入為r（t），輸出為），輸出為c（t），則用以下常微分），則用以下常微分 方程描述其運(yùn)動行為方程描述其運(yùn)動行為 : 由由: 可得可得 式中式中 SiG(S)的極點(diǎn)；的極點(diǎn)； SkR(S)的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。 一一. . 線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng) 3.3 控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo) 1

12、3 如果如果Si和和Sk都是互異極點(diǎn)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為都是互異極點(diǎn)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 式中式中Ak，Bk常數(shù)常數(shù)。 由于由于 si只是只是 G（s）的極點(diǎn)）的極點(diǎn)，所以式（所以式（3-14）等號右）等號右 側(cè)第一項(xiàng)與輸入無關(guān)，即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的側(cè)第一項(xiàng)與輸入無關(guān)，即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng) 分量。分量。sk只與外部輸入只與外部輸入r（t）有關(guān)）有關(guān)，所以式（所以式（3-14）等號）等號 右側(cè)第二項(xiàng)即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的右側(cè)第二項(xiàng)即為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。 可從暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中求取系統(tǒng)的性能指標(biāo)?？蓮臅簯B(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中求取系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 1

13、4 1.瞬時響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬時響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) Transient Response （3)若要求若要求 %=16%， 當(dāng)當(dāng)T不變時不變時K應(yīng)當(dāng)取何值？應(yīng)當(dāng)取何值？ 解解 （1）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 因此有：因此有： (2)則 57 （3）為使）為使 %=16%，由式，由式 得得 =0.5, =0.5, 當(dāng)當(dāng)T=0.25T=0.25不變時，不變時，因因 則有則有 5 .0 2 1 2 1 KT T n 4 25. 05 . 04 1 4 1 22 T K 或或 58 課堂測驗(yàn)課堂測驗(yàn) 1.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 已知一階環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)已知一階環(huán)

14、節(jié)的傳遞函數(shù) 。 今欲采用加負(fù)反今欲采用加負(fù)反 饋的辦法，將過渡過程時間饋的辦法，將過渡過程時間ts減小為原來的減小為原來的0.1倍，并保證總倍，并保證總 放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)k kh和和K K0的數(shù)值。的數(shù)值。 K K0G(S) K Kh R(S)C(S) - 12 . 0 10 )( s sG 59 2.如圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與其單位階躍響應(yīng)如圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與其單位階躍響應(yīng),試確定試確定 k1、 k2及及的值。的值。 K2 s(s + ) k1 R(S)C(S) t 0 0.8 2.18 2.0 c(t) - 作業(yè)作業(yè) P113 3-5 3-7 3-10 3-11

15、 60 4二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 22 2 2 )( nn n ss sc 通過對單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)可得到單位脈沖響應(yīng)通過對單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)可得到單位脈沖響應(yīng)或?qū)ο到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函或?qū)ο到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函 數(shù)直接進(jìn)行拉氏反變換，得不同數(shù)直接進(jìn)行拉氏反變換，得不同 值時二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)值時二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 61 結(jié)論：結(jié)論： （1）如果脈沖響應(yīng)如果脈沖響應(yīng)(t) 不改變符號，則系統(tǒng)的不改變符號，則系統(tǒng)的 1 1，即為臨界阻尼或，即為臨界阻尼或 過阻尼；過阻尼； （2）欠阻尼時，響應(yīng)）欠阻尼時，響應(yīng) 曲線圍繞零值振蕩曲線圍繞零值振蕩 （3 3）單位脈沖響應(yīng)曲線單位脈沖響應(yīng)曲線 第一次

16、與時間軸交點(diǎn)的第一次與時間軸交點(diǎn)的 時間為峰值時間時間為峰值時間t tp p （4 4）單位脈沖響應(yīng)曲線單位脈沖響應(yīng)曲線 與與時間軸包圍的面積時間軸包圍的面積代代 數(shù)和數(shù)和為為1 1。 62 (1) 在典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個閉環(huán)零點(diǎn)，構(gòu)成一類具有在典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個閉環(huán)零點(diǎn)，構(gòu)成一類具有 零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。它的階躍響應(yīng)與典型二階系統(tǒng)明顯不同。此時系統(tǒng)的零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。它的階躍響應(yīng)與典型二階系統(tǒng)明顯不同。此時系統(tǒng)的 閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 寫成零、極點(diǎn)形式時：寫成零、極點(diǎn)形式時： 設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c1(t)，c2

17、(t)為增加零點(diǎn)引起的響應(yīng)分量為增加零點(diǎn)引起的響應(yīng)分量,則上則上 述具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)述具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)c(t)與與c1 (t)、 c2(t)具有以下關(guān)系：具有以下關(guān)系： 求拉氏反變換，得：求拉氏反變換，得： 5. 具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)分析具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)分析 63 為定量說明引入的零點(diǎn)對典型二階系統(tǒng)性能的影響，引入為定量說明引入的零點(diǎn)對典型二階系統(tǒng)性能的影響，引入 不同不同時的單位階躍響應(yīng)曲線時的單位階躍響應(yīng)曲線 %與與的關(guān)系的關(guān)系 64 幾點(diǎn)結(jié)論：幾點(diǎn)結(jié)論： 當(dāng)其它條件不變時，附加一個零點(diǎn)，將使當(dāng)其它條件不變時，附加一個零點(diǎn)，將使 % 增大，增大，tr和和tp減小

18、減小; 減小時，明顯加大上述影響；減小時，明顯加大上述影響； 加大時，對系統(tǒng)的影響變小，增大到一定程度加大時，對系統(tǒng)的影響變小，增大到一定程度 時，可以忽略該零點(diǎn)的影響；時，可以忽略該零點(diǎn)的影響； 采用在系統(tǒng)閉環(huán)外增加一階微分環(huán)節(jié)的方法實(shí)采用在系統(tǒng)閉環(huán)外增加一階微分環(huán)節(jié)的方法實(shí) 現(xiàn)附加零點(diǎn)，該方法不改變原系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)?，F(xiàn)附加零點(diǎn)，該方法不改變原系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 65 （2）微分順饋微分順饋-另一類增加零點(diǎn)的方法另一類增加零點(diǎn)的方法 本方法在增加一個閉環(huán)零點(diǎn)的同時，也改變了原系統(tǒng)本方法在增加一個閉環(huán)零點(diǎn)的同時，也改變了原系統(tǒng) 的阻尼系數(shù)。的阻尼系數(shù)。方框圖如下圖所示：方框圖如下圖所示： 加入微

19、分順饋后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為加入微分順饋后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ： 2 11 2 2 1 222 2 2 )1 ( )2( )1 ( )( nn n nnn n ss s ss s s 66 無阻尼振蕩角頻率和阻尼比分別為：無阻尼振蕩角頻率和阻尼比分別為： 結(jié)論：結(jié)論： 附加這類零點(diǎn)可引起阻尼比附加這類零點(diǎn)可引起阻尼比 增大?？梢姡龃??？梢?，引 入微分順饋后將使超調(diào)量入微分順饋后將使超調(diào)量 %減小，調(diào)節(jié)時間也有減小，調(diào)節(jié)時間也有 所減小，因此使系統(tǒng)暫態(tài)性能得到改善。所減小，因此使系統(tǒng)暫態(tài)性能得到改善。 67 三、高階系統(tǒng)的時域響應(yīng) 凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系凡是用高階微分方程

20、描述的系統(tǒng)，稱為高階系 統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函分母中統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函分母中s的最高冪次的最高冪次n2. 高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函的一般形式為高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函的一般形式為 q i r k nknkki m j j nn nn mm mm ssps zsK sR sC asasasa bsbsbsb sR sC 11 22 1 1 1 10 1 1 10 )2()( )( )( )( )( )( 或或 為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對數(shù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)個數(shù)，rqrqn2 68 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)拉氏變換式為拉氏變換式為： 0)1cos(1)( 1 2 1 tteDeAtc r k kknk t k q i

21、 tp i nkki ， 數(shù)。是由零、極點(diǎn)確定的常式中 knki DA, 從上式可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分從上式可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分 量和暫態(tài)分量兩個部分組成。而暫態(tài)分量又是由一階量和暫態(tài)分量兩個部分組成。而暫態(tài)分量又是由一階 慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量的合成慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量的合成 對上式進(jìn)行拉氏反變換，得對上式進(jìn)行拉氏反變換，得 69 .高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù) 決定。系統(tǒng)極點(diǎn)在左半平面離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)的分量決定。系統(tǒng)極點(diǎn)在左半平面離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)的分量 衰減的越快。衰減的越快

22、。 .各暫態(tài)分量的系數(shù)還和零點(diǎn)的位置有關(guān)。若一對零、各暫態(tài)分量的系數(shù)還和零點(diǎn)的位置有關(guān)。若一對零、 極點(diǎn)很靠近，則該極點(diǎn)對暫態(tài)響應(yīng)的影響很?。ù藭r對極點(diǎn)很靠近，則該極點(diǎn)對暫態(tài)響應(yīng)的影響很?。ù藭r對 應(yīng)的系數(shù)很?。?。若某個極點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)，且距離應(yīng)的系數(shù)很?。?。若某個極點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)，且距離 原點(diǎn)較近，則就大，對暫態(tài)分量的影響就大。原點(diǎn)較近，則就大，對暫態(tài)分量的影響就大。 由于以上兩點(diǎn)，對于系數(shù)很小的分量和衰減很快的由于以上兩點(diǎn)，對于系數(shù)很小的分量和衰減很快的 分量常常忽略，用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似高階系統(tǒng)的響分量常常忽略，用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似高階系統(tǒng)的響 應(yīng)。這就是合理的簡化，既不改變問題的性

23、質(zhì)，又使處應(yīng)。這就是合理的簡化，既不改變問題的性質(zhì)，又使處 理過程簡單。理過程簡單。 i A i A 70 .如果高階系統(tǒng)中距虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)如果高階系統(tǒng)中距虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí) 部比其他極點(diǎn)實(shí)部小部比其他極點(diǎn)實(shí)部小5倍以上，并且附近不存在零倍以上，并且附近不存在零 點(diǎn)可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定這些點(diǎn)可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定這些 對系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)，稱為系統(tǒng)的主對系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)，稱為系統(tǒng)的主 導(dǎo)極點(diǎn)導(dǎo)極點(diǎn) 如果能找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)如果能找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng) 就可近似地作為二階系統(tǒng)分析。就可近似地作為二階系統(tǒng)分析。 7

24、1 一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義 穩(wěn)定是一個控制系統(tǒng)能否在實(shí)際中投入使用的首穩(wěn)定是一個控制系統(tǒng)能否在實(shí)際中投入使用的首 要條件。要條件。 系統(tǒng)穩(wěn)定性：如系統(tǒng)處于初始平衡狀態(tài)，在受到系統(tǒng)穩(wěn)定性：如系統(tǒng)處于初始平衡狀態(tài)，在受到 外界擾動作用后，將會偏離該平衡狀態(tài)。如果該擾動外界擾動作用后，將會偏離該平衡狀態(tài)。如果該擾動 作用消失后，若系統(tǒng)在有限時間內(nèi)能恢復(fù)到原平衡狀作用消失后，若系統(tǒng)在有限時間內(nèi)能恢復(fù)到原平衡狀 態(tài)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。態(tài)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)不穩(wěn)定情況：離初始狀態(tài)越來越遠(yuǎn)；達(dá)到另系統(tǒng)不穩(wěn)定情況：離初始狀態(tài)越來越遠(yuǎn)；達(dá)到另 一個平衡狀態(tài)。一個平

25、衡狀態(tài)。 3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定判據(jù) 72 二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件: 根據(jù)穩(wěn)定性定義，系統(tǒng)穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)決定于根據(jù)穩(wěn)定性定義，系統(tǒng)穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)決定于 系統(tǒng)響應(yīng)中的暫態(tài)分量。而暫態(tài)分量與系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)中的暫態(tài)分量。而暫態(tài)分量與系統(tǒng)的 參數(shù)、結(jié)構(gòu)和初始條件有關(guān)，與外作用無關(guān)，參數(shù)、結(jié)構(gòu)和初始條件有關(guān)，與外作用無關(guān)， 因此，分析系統(tǒng)響應(yīng)中暫態(tài)分量的運(yùn)動形式，因此，分析系統(tǒng)響應(yīng)中暫態(tài)分量的運(yùn)動形式， 即可找出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。即可找出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。 73 設(shè)線性定常系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)線性定常系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 特征

26、方程為：特征方程為： 為闡述簡單起見，設(shè)前述特征方程不存在重極點(diǎn)（對有為闡述簡單起見，設(shè)前述特征方程不存在重極點(diǎn)（對有 重極點(diǎn)的情況，以下結(jié)論也是成立的），則在擾動作用下系重極點(diǎn)的情況，以下結(jié)論也是成立的），則在擾動作用下系 統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量為：統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量為： 從從c1(t)的表達(dá)式可知，只有當(dāng)特征方程的的表達(dá)式可知，只有當(dāng)特征方程的所有根（閉環(huán)極所有根（閉環(huán)極 點(diǎn)）點(diǎn)）都具有都具有負(fù)的實(shí)部負(fù)的實(shí)部時，隨著時間的推移，時，隨著時間的推移， c1(t)才能趨于零，才能趨于零， 即回到初始狀態(tài)。即回到初始狀態(tài)。 74 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為： 系統(tǒng)

27、特征方程的所有根（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)特征方程的所有根（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的 所有極點(diǎn)）均具有負(fù)的實(shí)部。（或特征方程所有極點(diǎn)）均具有負(fù)的實(shí)部。（或特征方程 的所有根均在的所有根均在S S平面的左半部）平面的左半部）。 根據(jù)充要條件，如果能將系統(tǒng)所有極點(diǎn)求根據(jù)充要條件，如果能將系統(tǒng)所有極點(diǎn)求 出，即可立即判斷穩(wěn)定性。出，即可立即判斷穩(wěn)定性。 但系統(tǒng)階次較高時，所有極點(diǎn)不易求出。但系統(tǒng)階次較高時，所有極點(diǎn)不易求出。 75 1. 系統(tǒng)特征方程如下：系統(tǒng)特征方程如下： 利用特征方程的系數(shù)構(gòu)成勞斯表：利用特征方程的系數(shù)構(gòu)成勞斯表： 表中，除第一、二行外需表中，除第一、二行外需 要按照下列規(guī)律進(jìn)行計算。要按照

28、下列規(guī)律進(jìn)行計算。 英國人英國人E.J.勞斯提出一種代數(shù)判據(jù)，它是根據(jù)系統(tǒng)特征方勞斯提出一種代數(shù)判據(jù)，它是根據(jù)系統(tǒng)特征方 程式的系數(shù)來直接判斷特征根的實(shí)數(shù)部分的符號，從而決定程式的系數(shù)來直接判斷特征根的實(shí)數(shù)部分的符號，從而決定 系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 三、勞斯判據(jù)三、勞斯判據(jù) 0 1 1 10 nn nn asasasa 76 勞斯判據(jù)：勞斯判據(jù)： (ai0) 勞斯表中第一列的所有計算值均大于零，則勞斯表中第一列的所有計算值均大于零，則 系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，如果第一列中出現(xiàn)小于或等于系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，如果第一列中出現(xiàn)小于或等于 零的數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且第一列各系數(shù)符號的零的數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且

29、第一列各系數(shù)符號的 改變次數(shù)，等于特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。改變次數(shù)，等于特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。 注意注意：勞斯表的每一行右邊要計算到出現(xiàn)零為止：勞斯表的每一行右邊要計算到出現(xiàn)零為止 ；總行數(shù)應(yīng)為；總行數(shù)應(yīng)為n+1;如果計算過程無誤，最后一行如果計算過程無誤，最后一行 應(yīng)只有一個數(shù)，且等于應(yīng)只有一個數(shù)，且等于an；可用一個正整數(shù)去乘；可用一個正整數(shù)去乘 或除勞斯表中的任意一行，不改變判斷結(jié)果?；虺齽谒贡碇械娜我庖恍校桓淖兣袛嘟Y(jié)果。 77 例例1：系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為s42s33s24s5=0，試用勞斯判據(jù)，試用勞斯判據(jù) 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

30、且第一列系數(shù)因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且第一列系數(shù) 符號改變兩次，故特征方程有兩個正實(shí)部根。符號改變兩次，故特征方程有兩個正實(shí)部根。 如題意只要求判別穩(wěn)定性如題意只要求判別穩(wěn)定性,則計算至出現(xiàn)符號改變即可結(jié)則計算至出現(xiàn)符號改變即可結(jié) 束。否則應(yīng)計算到束。否則應(yīng)計算到n+1行。行。 解解 根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表 例題例題1 1 78 例例2：某系統(tǒng)特征方程為某系統(tǒng)特征方程為s43s33s22s2=O，試用勞斯，試用勞斯 判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 根據(jù)特征方程系根據(jù)特征方程系 數(shù)計算勞斯表數(shù)計算勞斯表 因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，因第一列出現(xiàn)負(fù)

31、數(shù)， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且 第一列系數(shù)符號改變第一列系數(shù)符號改變 兩次，故特征方程有兩次，故特征方程有 兩個正實(shí)部根。兩個正實(shí)部根。 例題例題2 2 79 特殊情況一特殊情況一：勞斯表的某一行中，出現(xiàn)第一列為零，而其：勞斯表的某一行中，出現(xiàn)第一列為零，而其 他他各項(xiàng)不全為零。各項(xiàng)不全為零。 這時可用一個這時可用一個足夠小的正數(shù)足夠小的正數(shù) 代替為零的項(xiàng)，然后繼續(xù)計代替為零的項(xiàng)，然后繼續(xù)計 算勞斯表余下系數(shù)。如果算勞斯表余下系數(shù)。如果 上面一行的系數(shù)符號與上面一行的系數(shù)符號與 下面一行的下面一行的 系數(shù)符號相反，表明有一個符號變化。系數(shù)符號相反，表明有一個符號變化。 例例3: 系

32、統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 s42s3+s2+2s1=0,試判別系統(tǒng)試判別系統(tǒng) 的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。 當(dāng)當(dāng) 0時，時， 是一個很大的負(fù)是一個很大的負(fù) 數(shù)因此第一列各項(xiàng)數(shù)值的符號數(shù)因此第一列各項(xiàng)數(shù)值的符號 改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系 統(tǒng)有兩個極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)統(tǒng)有兩個極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng) 是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的 2. 2. 兩種特殊情況兩種特殊情況 2 2 解解 根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表 80 例例3: 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 s42s3+s2+2s1=0,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 當(dāng)當(dāng) 時，時， 是一個很大

33、是一個很大 的負(fù)數(shù)因此第一列各項(xiàng)數(shù)值的負(fù)數(shù)因此第一列各項(xiàng)數(shù)值 的符號改變了兩次。按勞斯判的符號改變了兩次。按勞斯判 據(jù)，該系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)具有正據(jù)，該系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)具有正 實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 2 2 解解 根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表根據(jù)特征方程系數(shù)計算勞斯表 0 81 這時可將不為零的最后一行這時可將不為零的最后一行(即全為零行的即全為零行的上上一一 行行)的各項(xiàng)構(gòu)成一個的各項(xiàng)構(gòu)成一個輔助多項(xiàng)式輔助多項(xiàng)式。用對輔助多項(xiàng)式各。用對輔助多項(xiàng)式各 項(xiàng)對項(xiàng)對s求導(dǎo)后所得的系數(shù)代替全部為零求導(dǎo)后所得的系數(shù)代替全部為零的的行的各項(xiàng)，行的各項(xiàng)， 繼續(xù)計算余下各行。繼續(xù)計算余下各行。 特殊

34、情況二特殊情況二：計算勞斯表時：計算勞斯表時,某一行各項(xiàng)全為零。某一行各項(xiàng)全為零。 這表明特征方程具有對稱于原點(diǎn)的根。這表明特征方程具有對稱于原點(diǎn)的根。 這些對稱于原點(diǎn)的根可由令這些對稱于原點(diǎn)的根可由令輔助多項(xiàng)式輔助多項(xiàng)式等于零等于零 構(gòu)成的構(gòu)成的輔助方程輔助方程求得求得 82 例例3: 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為 s5s4十十3s3十十3s22s2=0， 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 : 列勞斯表列勞斯表 構(gòu)成輔助方程：構(gòu)成輔助方程： Q（s）=S43S22=0 求導(dǎo)后得求導(dǎo)后得 4S4S3 3十十 6S=06S=0，用其系數(shù)構(gòu)成全為零的行，繼續(xù)計算余下各行用其系數(shù)構(gòu)成全

35、為零的行，繼續(xù)計算余下各行 例題例題3 83 可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定， 但第一列元素未改變符但第一列元素未改變符 號，所以系統(tǒng)沒有位于號，所以系統(tǒng)沒有位于S 右半平面的根，有位于右半平面的根，有位于 虛軸上的根。虛軸上的根。 虛軸上根的求取虛軸上根的求取 由輔助方程求得由輔助方程求得 S43s22=0 則有則有 （S21）（）（S22）=0 故故S1、 、2= j S3、4= j 2 84 例例4：已知系統(tǒng)特征方程，判斷穩(wěn)定性：已知系統(tǒng)特征方程，判斷穩(wěn)定性 01616201282)( 23456 sssssssD 解：列勞斯表為：解：列勞斯表為： 行的各項(xiàng)組成輔助方程將 4 s s

36、s ds sdA sssA 124 )( 86)( 3 24 將輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù)將輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù) 作為作為 行的元素，并往下行的元素，并往下 計算各行，得：計算各行，得： 3 s 例題例題4 85 勞斯表的第一列各項(xiàng)符號沒有勞斯表的第一列各項(xiàng)符號沒有 改變，因此系統(tǒng)在右半平面改變，因此系統(tǒng)在右半平面 沒有極點(diǎn)但由于沒有極點(diǎn)但由于S3行的各項(xiàng)行的各項(xiàng) 為零，說明有共軛虛數(shù)極點(diǎn)。為零，說明有共軛虛數(shù)極點(diǎn)。 可由輔助方程求出。可由輔助方程求出。 解解 22 086 4, 32, 1 24 jsjs ss ， 得得 86 由赫爾維茨由赫爾維茨1895年提出的常用代數(shù)判據(jù)。年提出的常用代數(shù)判據(jù)

37、。 設(shè)系統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為： 用特征方程的系數(shù)構(gòu)成赫爾維茨行列式：用特征方程的系數(shù)構(gòu)成赫爾維茨行列式： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分系統(tǒng)穩(wěn)定的充分 必要條件是：必要條件是： 在在a0 0的情況的情況 下，赫爾維茨行列下，赫爾維茨行列 式的各階主子式均式的各階主子式均 大于零，否則系統(tǒng)大于零，否則系統(tǒng) 不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。 四、赫爾維茨（四、赫爾維茨（Hurwitz）判據(jù)）判據(jù) 87 (林納德林納德-奇帕特證明的推論：在奇帕特證明的推論：在ai 0的條的條 件下件下,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：所有奇數(shù)次赫系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：所有奇數(shù)次赫 爾維茨行列式均大于零爾維茨行列式均大于零,或者是所有偶數(shù)次

38、赫爾維或者是所有偶數(shù)次赫爾維 茨行列式均大于零。茨行列式均大于零。) 對穩(wěn)定系統(tǒng)來說要求對穩(wěn)定系統(tǒng)來說要求 88 例例5: 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為 S42S38S2十十4S十十2=0， 試判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定試判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定 解解 因因ai 0 ，故可使用林納德故可使用林納德-奇帕特證明的奇帕特證明的 推論進(jìn)行判斷。因?yàn)橥普撨M(jìn)行判斷。因?yàn)?故系統(tǒng)穩(wěn)定故系統(tǒng)穩(wěn)定 例題例題5 89 1判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響 利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以確定個別參數(shù)變化對系利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以確定個別參數(shù)變化對系 統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)

39、范圍。統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。 例例6: 設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)設(shè)控制系統(tǒng)結(jié) 構(gòu)圖如圖構(gòu)圖如圖 3-6所示，試所示，試 確定滿足穩(wěn)定要求時確定滿足穩(wěn)定要求時K1 的臨界值和開環(huán)放大系的臨界值和開環(huán)放大系 數(shù)的穩(wěn)定臨界值數(shù)的穩(wěn)定臨界值Kc。 五、穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用五、穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 90 解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 特征方稱為：特征方稱為： 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有 （1）K10 （2）a1a2-a0a30,得得K16 綜合考慮，使系統(tǒng)穩(wěn)定的綜合考慮，使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K1取值范圍應(yīng)為：取值范圍應(yīng)為：0K10,系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定。 （2）令）令s = z- =

40、 z-1,代入特征方程得代入特征方程得：2 2z3 3+4+4z2 2- - z-1=0-1=0， 例題例題7 93 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于左半系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于左半 平面平面 勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可給出勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可給出 使系統(tǒng)穩(wěn)定的某一參數(shù)的范圍。使系統(tǒng)穩(wěn)定的某一參數(shù)的范圍。 勞斯判據(jù)沒有也不能說明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定，勞斯判據(jù)沒有也不能說明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定， 應(yīng)該爭取的校正途徑應(yīng)該爭取的校正途徑 小小 結(jié)結(jié) 94 系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)由由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和和暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)兩部分組成。我兩部分組成。我 們曾經(jīng)規(guī)定了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性

41、能指標(biāo)們曾經(jīng)規(guī)定了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)?，F(xiàn)在要討論現(xiàn)在要討論 系統(tǒng)跟蹤輸入信號的精確度或抑制干擾信號的能力系統(tǒng)跟蹤輸入信號的精確度或抑制干擾信號的能力。 從穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以分析系統(tǒng)的從穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差，從而定量分，從而定量分 析系統(tǒng)的析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能。穩(wěn)態(tài)誤差反映了控制系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)誤差反映了控制系統(tǒng)的穩(wěn) 態(tài)精度態(tài)精度。 因此因此穩(wěn)態(tài)誤差分析穩(wěn)態(tài)誤差分析是控制系統(tǒng)分析的一項(xiàng)基本是控制系統(tǒng)分析的一項(xiàng)基本 內(nèi)容。我們不考慮由于元件的不靈敏，零點(diǎn)漂移和內(nèi)容。我們不考慮由于元件的不靈敏，零點(diǎn)漂移和 老化所造成的永久性誤差老化所造成的永久性誤差。穩(wěn)態(tài)誤差只與輸入信號穩(wěn)態(tài)誤差只與輸

42、入信號 的形式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量有關(guān)的形式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量有關(guān)。 3.6 3.6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 95 一、穩(wěn)態(tài)誤差和誤差傳遞函數(shù)一、穩(wěn)態(tài)誤差和誤差傳遞函數(shù) 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：指系統(tǒng)響應(yīng)的期望值指系統(tǒng)響應(yīng)的期望值Co（t）和和 實(shí)際值實(shí)際值C（t）之差，即之差，即 (t)= Co（t）- C（t） 系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)當(dāng)t時系統(tǒng)誤差稱為穩(wěn)時系統(tǒng)誤差稱為穩(wěn) 態(tài)誤差，用態(tài)誤差，用ess表示，即表示，即 )( lim te t ss 96 穩(wěn)態(tài)誤差是在穩(wěn)態(tài)誤差是在初始平衡條件初始平衡條件下加入輸入信號，經(jīng)下加入輸入信號，經(jīng) 過足夠長的時間，其過足夠長的時間，其暫態(tài)響應(yīng)部分暫態(tài)

43、響應(yīng)部分已經(jīng)已經(jīng)衰減到微不足衰減到微不足 道道時，系統(tǒng)響應(yīng)的時，系統(tǒng)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之差期望值與實(shí)際值之差。因此，只有。因此，只有 穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)，討論穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。，討論穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。 單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng)圖圖3-7（a圖）圖） 偏差偏差e(t) ： e(t)= r(t)-c(t) = co(t)-c(t), 即偏差即偏差e(t)等于誤差等于誤差 (t) ， 偏差的穩(wěn)態(tài)值等于系統(tǒng)的偏差的穩(wěn)態(tài)值等于系統(tǒng)的 穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差。 97 非單位反饋系統(tǒng)非單位反饋系統(tǒng)圖圖3- 7（b圖）偏差圖）偏差e(t) ： e(t)= r(t)-b(t)，與誤差，與誤差 (t) = c0(

44、t)-c(t)不相等，不相等， 但具有確定的關(guān)系但具有確定的關(guān)系： 故在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析中，通常使用偏差代替誤差進(jìn)行故在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析中，通常使用偏差代替誤差進(jìn)行 研究，即用研究，即用 表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的一般計算式：穩(wěn)態(tài)誤差的一般計算式： H(S) G(S) R(S) C(S) B(S) E(S) + - 圖圖3-7（b圖）圖） 98 誤差及穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)和輸入和輸入 信號信號R(s)有關(guān)。有關(guān)。 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)記為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)記為 穩(wěn)態(tài)誤差計算式為穩(wěn)態(tài)誤差計算式為 表明，影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素有開環(huán)

45、增益、輸入信號和開環(huán)表明，影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素有開環(huán)增益、輸入信號和開環(huán) 傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。 因此按系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行因此按系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行 分類，即當(dāng)分類，即當(dāng) =0，1，2，時，分別稱相應(yīng)系統(tǒng)為時，分別稱相應(yīng)系統(tǒng)為0型，型，I型，型， II型，型， 型系統(tǒng)型系統(tǒng)。 99 1階躍輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)階躍輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp 設(shè)設(shè)r(t)=A.1(t)，則，則R(s)=A/s，則，則 令令 定義定義Kp為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，則有為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，則有 對對0型系統(tǒng)，有型系統(tǒng)

46、，有 則則 為有限值。為有限值。 二、給定輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差二、給定輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 100 則則ess=0 由于由于0型系統(tǒng)無積分環(huán)節(jié)，其階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)無積分環(huán)節(jié)，其階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為 與與K有關(guān)的一定值，因此常稱為有差系統(tǒng)。有關(guān)的一定值，因此常稱為有差系統(tǒng)。 對對I型及型及I型以上系統(tǒng)型以上系統(tǒng)有：有： 為減小穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下增大為減小穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下增大K值。值。 若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)使系統(tǒng)的若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)使系統(tǒng)的 類型高于類型高于I型。型。也即采用也即采用型或型或型系統(tǒng)。型

47、系統(tǒng)。 101 2. 斜坡輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系統(tǒng)斜坡輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系統(tǒng)Kv 設(shè)設(shè)r(t)=At，則，則R(s)=A/s2，則有，則有 令令 定義定義Kv為為靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)，則有，則有 102 對對0型系統(tǒng)，有型系統(tǒng)，有 此時，此時，ess= 對對I型系統(tǒng)，有型系統(tǒng)，有 此時，此時， 對對II型及以上系統(tǒng)有型及以上系統(tǒng)有 此時，此時，ess= 0 103 可見可見,0型系統(tǒng)型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號不能跟蹤斜坡輸入信號,隨隨 時間的推移時間的推移,誤差越來越大；誤差越來越大； I型系統(tǒng)型系統(tǒng)可以跟蹤斜坡輸入信號可以跟蹤斜坡輸入信號。但具。但具

48、 有與有與K有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可用增加有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可用增加K的方法的方法 提高穩(wěn)態(tài)精度；提高穩(wěn)態(tài)精度； II型及以上系統(tǒng)型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入信可完全跟蹤斜坡輸入信 號號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。 104 設(shè)設(shè)r(t)= ( A/2)t2，則，則R(s)=A/s3，則有，則有 定義定義Ka為為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù),有有 3. 拋物線輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)拋物線輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka 令 對于對于0型系統(tǒng)，型系統(tǒng)， =0，Ka=0,ess= ; 對于對于I型系統(tǒng)，型系統(tǒng)， =1，Ka=0,ess= ; 對于對于II型系統(tǒng)

49、，型系統(tǒng)， =2，Ka=K,ess= A/K; 對于對于III型及以上系統(tǒng)，型及以上系統(tǒng)， =3，Ka= , ess = 0。 105 可見，可見，I型及以下系統(tǒng)不能跟蹤拋物線型及以下系統(tǒng)不能跟蹤拋物線 輸入，誤差越來越大；輸入，誤差越來越大； II型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號。但型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號。但 具有與具有與K有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可有關(guān)的穩(wěn)態(tài)誤差，可 用增加用增加K的方的方 法提高穩(wěn)態(tài)精度；法提高穩(wěn)態(tài)精度； III型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入 信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。 106 4. 有限個典型信號構(gòu)成的組合信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計

50、算有限個典型信號構(gòu)成的組合信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算 設(shè)給定組合信號設(shè)給定組合信號 為：為： 利用線性系統(tǒng)的利用線性系統(tǒng)的 疊加原理，可得疊加原理，可得 顯然，只有顯然，只有II型以上系統(tǒng)才能跟蹤上述給定信號。型以上系統(tǒng)才能跟蹤上述給定信號。 各靜態(tài)誤差系數(shù)的大小反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差各靜態(tài)誤差系數(shù)的大小反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差 的能力，系數(shù)值越大，則給定輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差越小。的能力，系數(shù)值越大，則給定輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差越小。 107 各種不同輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差見表各種不同輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差見表 108 例例8： 已知兩控制系統(tǒng)如已知兩控制系統(tǒng)如右右圖圖 所所 示。當(dāng)給定輸入

51、為示。當(dāng)給定輸入為r（t）=46t 3t2。計算穩(wěn)態(tài)誤差。計算穩(wěn)態(tài)誤差。 解解 （1）右右圖圖(a)的開環(huán)傳遞的開環(huán)傳遞 函數(shù)為：函數(shù)為： 這是一個這是一個I型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，K=2.5， Kp= ,Kv=K=2.5，Ka=0,不能跟蹤不能跟蹤 拋物線輸入，所以拋物線輸入，所以ess= 例題8 109 （2）圖）圖3-36（b）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 這是一個這是一個II型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，K=2.5,，Kp= ,Kv= , Ka= K=2.5, 能跟蹤拋物線輸入，所以能跟蹤拋物線輸入，所以 4.2 5.2 6 2 a ss K A e 110 例例9：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳

52、函為：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為 ) 1( 10 )( ss sG 2 210 2 1 )( 1)(tAtAtAtr 其中均為大于零的常數(shù)，求系統(tǒng)給定其中均為大于零的常數(shù)，求系統(tǒng)給定 穩(wěn)態(tài)誤差終值穩(wěn)態(tài)誤差終值 210 ,AAA sr e 例題例題9 9 111 解：此為型系統(tǒng) 01011 0)(lim 10)(lim )(lim 210210 2 0 0 0 AAA K A K A K A e sGsK ssGK sGK avp sr s a s v s p 112 根據(jù)式根據(jù)式 以及終值定理得擾動輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為以及終值定理得擾動輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為 1階躍擾動信號下的穩(wěn)態(tài)誤差階躍擾動信號下

53、的穩(wěn)態(tài)誤差 因因 則有則有 當(dāng)開環(huán)增益足夠大時，則有當(dāng)開環(huán)增益足夠大時，則有 三、擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差三、擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差 113 當(dāng)當(dāng)G1(s)為比例環(huán)節(jié)時為比例環(huán)節(jié)時 當(dāng)當(dāng)G1(s)為積分環(huán)節(jié)時為積分環(huán)節(jié)時 為使階躍擾動下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)在誤差信號與擾動為使階躍擾動下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應(yīng)在誤差信號與擾動 作用點(diǎn)之間至少應(yīng)設(shè)置一個積分環(huán)節(jié)。實(shí)際系統(tǒng)所受到的干擾作用點(diǎn)之間至少應(yīng)設(shè)置一個積分環(huán)節(jié)。實(shí)際系統(tǒng)所受到的干擾 以階躍信號居多以階躍信號居多, ,此結(jié)論很有意義此結(jié)論很有意義 。 2、斜坡擾動信號下的穩(wěn)態(tài)誤差、斜坡擾動信號下的穩(wěn)態(tài)誤差 因因則有則有 114 為使斜坡擾動下的穩(wěn)態(tài)誤

54、差為零，應(yīng)在誤差為使斜坡擾動下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)在誤差 信號與擾動作用點(diǎn)之間，至少應(yīng)設(shè)置兩個積分環(huán)信號與擾動作用點(diǎn)之間，至少應(yīng)設(shè)置兩個積分環(huán) 節(jié)。但積分環(huán)節(jié)的增多，會使系統(tǒng)的階數(shù)升高，節(jié)。但積分環(huán)節(jié)的增多，會使系統(tǒng)的階數(shù)升高， 將會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。將會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 實(shí)際系統(tǒng)一般總是同時受到給定信號和擾動實(shí)際系統(tǒng)一般總是同時受到給定信號和擾動 作用作用,因此系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)等于給定信號和擾因此系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)等于給定信號和擾 動信號分別作用于系統(tǒng)時動信號分別作用于系統(tǒng)時,其穩(wěn)態(tài)誤差的代數(shù)和，其穩(wěn)態(tài)誤差的代數(shù)和， 即即 115 116 利用靜態(tài)誤差系數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差，實(shí)際上是計算在利用靜態(tài)

55、誤差系數(shù)求穩(wěn)態(tài)誤差，實(shí)際上是計算在t時系時系 統(tǒng)誤差的極限值。它不能反映誤差隨時間變化的規(guī)律。統(tǒng)誤差的極限值。它不能反映誤差隨時間變化的規(guī)律。 為此為此,引入動態(tài)誤差系數(shù)的概念引入動態(tài)誤差系數(shù)的概念 ,用于分析誤差隨時間變化用于分析誤差隨時間變化 的規(guī)律的規(guī)律 由由前面所學(xué)前面所學(xué)可知，系統(tǒng)在給定信號下的誤差傳遞函數(shù)為可知，系統(tǒng)在給定信號下的誤差傳遞函數(shù)為 將將 e（s）在）在s=0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，即的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，即 四、用動態(tài)誤差系數(shù)法計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差四、用動態(tài)誤差系數(shù)法計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 117 誤差誤差E(s)= e(s)R(s)也可表示為如下級數(shù)也可表示為如下級數(shù)

56、上述無窮級數(shù)稱為誤差級數(shù)上述無窮級數(shù)稱為誤差級數(shù),它的收斂域是它的收斂域是s=0的鄰域的鄰域,相相 當(dāng)于當(dāng)于t。所以當(dāng)初始條件為零時。所以當(dāng)初始條件為零時,對上式求拉氏反變換對上式求拉氏反變換,可可 得到穩(wěn)態(tài)誤差的時域表達(dá)式為得到穩(wěn)態(tài)誤差的時域表達(dá)式為 令令 118 則穩(wěn)態(tài)誤差可以寫成則穩(wěn)態(tài)誤差可以寫成 其中其中C0，C1，C2，稱為動態(tài)誤差系數(shù)稱為動態(tài)誤差系數(shù)。C0為動態(tài)位置為動態(tài)位置 誤差系數(shù)；誤差系數(shù)；C1為動態(tài)速度誤差系數(shù)為動態(tài)速度誤差系數(shù)；C2為動態(tài)加速度誤差系數(shù)為動態(tài)加速度誤差系數(shù) . 。 （1）將已知開環(huán)傳遞函數(shù)寫成分子、分母多項(xiàng)式的比值形式將已知開環(huán)傳遞函數(shù)寫成分子、分母多項(xiàng)式

57、的比值形式 （2）寫出多項(xiàng)式比值形式的誤差傳遞函數(shù)（按）寫出多項(xiàng)式比值形式的誤差傳遞函數(shù)（按s的升冪排列寫）的升冪排列寫） 通常使用的求動態(tài)誤差系數(shù)的方法：通常使用的求動態(tài)誤差系數(shù)的方法： 119 （3）使用多項(xiàng)式除法，得到一個）使用多項(xiàng)式除法，得到一個S的升冪級數(shù)的升冪級數(shù) （4）得到用動態(tài)誤差系數(shù)表示的得到用動態(tài)誤差系數(shù)表示的E(s) 例例8 8： 已知兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為已知兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為 試比較兩系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差系數(shù)。若輸入信號為試比較兩系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差系數(shù)。若輸入信號為 其中其中A0、A1、A2、A3均為正常數(shù)均為正常數(shù),試寫出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

58、誤差試寫出兩個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 表達(dá)式表達(dá)式 120 解解 由于兩個系統(tǒng)都是由于兩個系統(tǒng)都是I型系統(tǒng)，且具有相同的開環(huán)放大倍數(shù)，型系統(tǒng)，且具有相同的開環(huán)放大倍數(shù)， 因此有完全相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，即因此有完全相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，即 對系統(tǒng)對系統(tǒng)1有有 用長除法可求得用長除法可求得 可得動態(tài)誤差系數(shù)為可得動態(tài)誤差系數(shù)為 對系統(tǒng)對系統(tǒng)2有有 用長除法可求得用長除法可求得 可得動態(tài)誤差系數(shù)為可得動態(tài)誤差系數(shù)為 兩系統(tǒng)雖有相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，但動態(tài)誤差系數(shù)卻不相同兩系統(tǒng)雖有相同的靜態(tài)誤差系數(shù)，但動態(tài)誤差系數(shù)卻不相同 121 系統(tǒng)系統(tǒng)1 系統(tǒng)系統(tǒng)2 當(dāng)當(dāng)A2 0時，盡管在時，盡管在t時，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時，

59、兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 都將趨于無窮大，但在趨向無窮大的過程之中，兩都將趨于無窮大，但在趨向無窮大的過程之中，兩 者的穩(wěn)態(tài)誤差是不同的。者的穩(wěn)態(tài)誤差是不同的。 在組合信號作用下，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分別為。在組合信號作用下，兩系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分別為。 tAtAtA ss eAeAAeAtAAte 333 3 3 2 32321 019. 0)(09. 0)( 1 . 0)( tAtAtA ss eAeAAeAtAAte 333 3 3 2 32321 099. 0)(49. 0)( 1 . 0)( 122 同樣擾動穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)的計算：同樣擾動穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)的計算： esn（t）=B0ns（t）+B1ns（t

60、）+ ns（t）+ B2 2! ns（t）n（t）的穩(wěn)態(tài)分量）的穩(wěn)態(tài)分量 Bn擾動誤差系數(shù)擾動誤差系數(shù) n=0，1，2，3， Bn = lim n(s) dn dsn S 0 123 從前述可知從前述可知,在系統(tǒng)中在系統(tǒng)中增加前向通道積分環(huán)節(jié)增加前向通道積分環(huán)節(jié)的的 個數(shù)或個數(shù)或增大開環(huán)增益增大開環(huán)增益,可減小系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差；可減小系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差； 增加誤差信號到擾動作用點(diǎn)之間的積分環(huán)節(jié)個數(shù)增加誤差信號到擾動作用點(diǎn)之間的積分環(huán)節(jié)個數(shù)或或 放大系數(shù)放大系數(shù)，可，可減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。 但一般系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)不能超過兩個，放大倍但一般系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)不能超過兩個，放