數(shù)學(xué)選修2-3復(fù)習(xí)(含知識點與習(xí)題)24頁

1、選修2-3復(fù)習(xí)一、知識梳理1.分類加法計數(shù)原理原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法特點：兩類方案中的任何一類的任何一種方法都可以完成這件事，并且兩類方案中所有方法互不相同一般結(jié)論：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第n類方案中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法注意事項：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，即做到“不重不漏”，才能用分類計數(shù)原理2.分步乘法計數(shù)原理原理：完成一件事需要

2、兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法特點：兩個步驟缺一不可，并且經(jīng)過兩個步驟恰好完成這件事一般結(jié)論：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法注意事項：在分步乘法計數(shù)原理中，完成一件事分為若干個有聯(lián)系的步驟，只有前一個步驟完成后，才能進(jìn)行下一個步驟當(dāng)各個步驟都依次完成后，這件事才算完成但每個步驟中可以有多種不同的方法，而這些方法之間是相互獨立的3.排列組合（1）排列：從n個不同的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個

3、元素的一個排列。相同的排列是指元素相同且順序相同。 （2）排列數(shù)：從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示。 排列數(shù)公式： （3）全排列： 把n個不同的元素全部取出(從n個不同的元素中取出n個元素)，按照一定的順序排成一列，叫做n個不同的元素的一個全排列，全排列的個數(shù)叫做n個元素的全排列數(shù)，用符號表示。此時，=n(n-1)(n-2)321=n！n!表示正整數(shù)1到n的連乘，叫做n的階乘。因此：，規(guī)定：0!1。 （4）. 組合： 從n個不同的元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合。（5）

4、組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示，根據(jù)分步計數(shù)原理得到：。 組合數(shù)公式： （6）組合數(shù)的性質(zhì)：(1) ，規(guī)定：；(2) 。4.條件概率與事件的獨立性（1）條件概率一般地，若有兩個事件A和B，在已知事件B發(fā)生的條件下考慮事件A發(fā)生的概率，則稱此概率為B已發(fā)生的條件下A的條件概率，記為P(AB).一般地，若P（B）0，則事件B已發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率是 。（2）事件的獨立性設(shè)A, B為兩個事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事件A與事件B相互獨立.事件（或）是否發(fā)生對事件

5、（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立相互獨立事件同時發(fā)生的概率：兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即 （3）獨立重復(fù)性獨立重復(fù)試驗的定義：指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種試驗獨立重復(fù)試驗的概率公式：一般地，如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率它是展開式的第項離散型隨機(jī)變量的二項分布:在一次隨機(jī)試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個

6、隨機(jī)變量如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP由于恰好是二項展開式中的各項的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)5.離散型隨機(jī)變量（1）離散型隨機(jī)變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用字母 X , Y， 表示在此基礎(chǔ)之上所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.（2）離散型隨機(jī)變量分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為x1，x2，x3，取每一個值xi（i=1，2，）的概率為，則稱表x1x2xiP

7、P1P2Pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱分布列 離散型隨機(jī)變量分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1由此你可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：Pi0，i1，2，；P1+P2+=1對于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即（3）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差 均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)

8、變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 均值或期望的一個性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，它們的分布列為x1x2xnPp1p2pn于是 ) ，由此，我們得到了期望的一個性質(zhì):若B（n,p），則E=np 證明如下：，012kn又 ， 故若B(n，p)，則np6常用的分布（1）兩點分布隨機(jī)變量 X 的分布列是01P像上面這樣的分布列稱為兩點分布列（2）二項分布在一次隨機(jī)試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1

9、,2,，n，）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)（3）超幾何分布一般地，在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件 X=k發(fā)生的概率為,其中，且稱分布列X01P為超幾何分布列如果隨機(jī)變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布. 7正態(tài)分布總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在

10、各個范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機(jī)變量X滿足,則稱 X 的分布為正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作如果隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，則記為X. 經(jīng)驗表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服

11、從正態(tài)分布（1）正態(tài)分布）是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響 （2）通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱 正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補(bǔ)上 講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì) （3）正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在x軸的上方，與x軸不相交 曲線關(guān)于直線x=對稱 當(dāng)x=時，曲線位于最高點 當(dāng)x時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x時，曲線下降（減函數(shù)） 并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近 一定

12、時，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中：（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)=0、=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-x+）其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 二、排列組合相關(guān)例題講解1. 分類加法與分步乘法計數(shù)原理例1.從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船。一天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班。那麼一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？【解析】因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種

13、走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有 4+2+3=9 種不同的走法。例2.（2007東城）某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0，并且千位、百位上都能取0.這樣設(shè)計出來的密碼共有（ ）A90個 B99個 C100個 D112個高考資源網(wǎng)【解析】由于千位、百位確定下來后十位、個位就隨之確定，則只考慮千位、百位即可，千位、百位各有10種選擇，所以有1010種=100種.故選C.2排列與組合高考資源網(wǎng)例3. （2009北京卷文）用數(shù)

14、字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為 （ ）A8B24C48D120【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.2和4排在末位時，共有種排法，高考資源網(wǎng)其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有種排法，于是由分步計數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有（個）.故選C.例4. （2009全國卷理）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有( D )（A）150種 （B）180種 （C）300種 (D)345種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; .

15、高考資源網(wǎng) (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D例5. （2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6212種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共

16、有12448種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有12種排法 三類之和為24121248種。. 高考資源網(wǎng)3.二項式定理的通項公式例6. （2009重慶卷理）的展開式中的系數(shù)是（ ）A16B70C560D1120【解析】設(shè)含的為第，所以，故系

17、數(shù)為：，選D4二項式定理的綜合應(yīng)用例7.（2007濟(jì)南）(x2 + 1)(x 2)9 = a0 + a1(x 1) + a2(x 1)2 + a3(x 1)3 + + a11(x 1)11，則a1 + a2 + a3 + +a11的值為.【解析】令x = 1，得2(1) 9 = a0， 令x = 2，得(22 + 1)0 = a0 + a1 + +a11， 聯(lián)立知a1 + a2 + +a11 = 2.例8. 6.（2009陜西卷文）若,則的值為 A. 2B.0 C. D. 解析 由題意容易發(fā)現(xiàn),則, 同理可以得出,高考資源網(wǎng)亦即前2008項和為0, 則原式= 故選C.5.二項式與推理綜合問題例

18、（2009浙江卷理）觀察下列等式： ， ，高考資源網(wǎng)由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于， 答案 解析 這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項構(gòu)成，第二項前有，二項指數(shù)分別為，因此對于，6排列組合求概率問題高考資源網(wǎng)例2009重慶卷理）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為（ ）A B C D 【答案】C【解析】因為總的滔法而所求事件的取法分為三類，即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓。豆沙餡湯圓取得個數(shù)分別按1.1.2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率為7.二項式定理與極限綜合問題高考資源網(wǎng)

19、例(2009湖北卷理)設(shè)，則 答案 B解析 令得高考資源網(wǎng)令時高考資源網(wǎng)令時兩式相加得：兩式相減得：代入極限式可得，故選B8插空法。例 10個節(jié)目中有6個演唱4個舞蹈，要求每兩個舞蹈之間至少安排一個演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？解 先將6個演唱節(jié)目任意排成一列有種排法，再從演唱節(jié)目之間和前后一共7個位置中選出4個安排舞蹈有種方法，故共有=604800種方式。9二項式定理的應(yīng)用。例 若nN, n2，求證：證明 首先其次因為，所以 2+得證。三、概率相關(guān)例題講解1 人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?，假設(shè)撥過了的號碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率： （1）第次撥號才接通電

20、話；（2）撥號不超過次而接通電話 解：設(shè)第次撥號接通電話，（1）第次才接通電話可表示為于是所求概率為（2）撥號不超過次而接通電話可表示為：于是所求概率為 2 出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是 （1）求這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率； （2）求這位司機(jī)在途中遇到紅燈數(shù)的期望和方差 解：（1）因為這位司機(jī)第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，所以 （2）易知 3 獎器有個小球，其中個小球上標(biāo)有數(shù)字，個小球上標(biāo)有數(shù)字，現(xiàn)搖出個小球，規(guī)定所得獎金（元）為這個小球上記號之和，求此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望解

21、：設(shè)此次搖獎的獎金數(shù)額為元，當(dāng)搖出的個小球均標(biāo)有數(shù)字時，；當(dāng)搖出的個小球中有個標(biāo)有數(shù)字，1個標(biāo)有數(shù)字時，；當(dāng)搖出的個小球有個標(biāo)有數(shù)字，個標(biāo)有數(shù)字時， 所以， 答：此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)字期望是元 4 某學(xué)生語、數(shù)、英三科考試成績，在一次考試中排名全班第一的概率：語文為，數(shù)學(xué)為，英語為，問一次考試中 （）三科成績均未獲得第一名的概率是多少？ （）恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少解：分別記該生語、數(shù)、英考試成績排名全班第一的事件為，則 （）答：三科成績均未獲得第一名的概率是 （）（） 答：恰有一科成績未獲得第一名的概率是5 如圖，兩點之間有條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為 現(xiàn)從中任取

22、三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大的信息量 （I）設(shè)選取的三條網(wǎng)線由到可通過的信息總量為，當(dāng)時，則保證信息暢通 求線路信息暢通的概率； （II）求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學(xué)期望 解：（I） （II） 線路通過信息量的數(shù)學(xué)期望 答：（I）線路信息暢通的概率是 （II）線路通過信息量的數(shù)學(xué)期望是6 三個元件正常工作的概率分別為將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路 （）在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？（）三個元件連成怎樣的電路，才能使電路中不發(fā)生故障的概率最大？請畫出此時電路圖，并說明理由 解：記“三個元件正常工作”分別為事件，則（）不發(fā)生故障的事件為 不發(fā)生故障的概率為（

23、）如圖，此時不發(fā)生故障的概率最大 證明如下：圖1中發(fā)生故障事件為不發(fā)生故障概率為圖2不發(fā)生故障事件為，同理不發(fā)生故障概率為7 要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為，而乙機(jī)床廢品率為，而它們的生產(chǎn)是獨立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件廢品的概率；（2）其中至多有一件廢品的概率 解：設(shè)事件“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品” 則（1）至少有一件廢品的概率（2）至多有一件廢品的概率8 甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為，（1）求該題被乙獨立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差解：（1）記甲

24、、乙分別解出此題的事件記為 設(shè)甲獨立解出此題的概率為，乙為 則9 某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件發(fā)生，該公司要賠償元設(shè)在一年內(nèi)發(fā)生的概率為，為使公司收益的期望值等于的百分之十，公司應(yīng)要求顧客交多少保險金？解：設(shè)保險公司要求顧客交元保險金，若以 表示公司每年的收益額，則是一個隨機(jī)變量，其分布列為：因此，公司每年收益的期望值為 為使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即， 故可得 即顧客交的保險金為 時，可使公司期望獲益 10 有一批食品出廠前要進(jìn)行五項指標(biāo)檢驗，如果有兩項指標(biāo)不合格，則這批食品不能出廠 已知每項指標(biāo)抽檢是相互獨立的，且每項抽檢出現(xiàn)不合格的概率都是 （1）求這批產(chǎn)

25、品不能出廠的概率(保留三位有效數(shù)字)；(2)求直至五項指標(biāo)全部驗完畢，才能確定該批食品是否出廠的概率(保留三位有效數(shù)字) 解：(1)這批食品不能出廠的概率是： (2)五項指標(biāo)全部檢驗完畢，這批食品可以出廠的概率是： 五項指標(biāo)全部檢驗完畢，這批食品不能出廠的概率是： 由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法可知，五項指標(biāo)全部檢驗完畢，才能確定這批產(chǎn)品是否出廠的概率是： 11 高三（1）班、高三（2）班每班已選出3名學(xué)生組成代表隊，進(jìn)行乒乓球?qū)官?比賽規(guī)則是：按“單打、雙打、單打”順序進(jìn)行三盤比賽； 代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，不得參加兩盤單打比賽 已知每盤比賽雙方勝出的概率均為（）根據(jù)比賽規(guī)則，高

26、三（1）班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容？（）高三（1）班代表隊連勝兩盤的概率是多少？ 解：（I）參加單打的隊員有種方法 參加雙打的隊員有種方法 所以，高三（1）班出場陣容共有（種） （II）高三（1）班代表隊連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負(fù)，其余兩盤勝， 所以，連勝兩盤的概率為12 袋中有大小相同的個白球和個黑球，從中任意摸出個，求下列事件發(fā)生的概率 (1)摸出個或個白球 (2)至少摸出一個黑球 解： （）設(shè)摸出的個球中有個白球、個白球分別為事件，則 為兩個互斥事件 即摸出的個球中有個或個白球的概率為 （）設(shè)摸出的個球中全是白球為事件，則 至少摸出一個黑球為事件的對立事件 其概

27、率為四、練習(xí)1.（2010廣東卷理）2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種【解析】分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A. 2.（2009北京卷文）用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為 （ ）A8B24C48D120【答案】C.w【解析】本題主要考查排列組合知識以及分步計數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運

28、算的考查.2和4排在末位時，共有種排法，其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有種排法，于是由分步計數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有（個）.故選C.3（2010北京卷理）用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（ ） A324 B328 C360 D648【答案】B【解析】本題主要考查排列組合知識以及分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0排在末位時，有（個）， 當(dāng)0不排在末位時，有（個）， 于是由分類計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個）.故選B.4.（2009全國卷文）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰

29、有1門相同的選法有（A）6種 （B）12種 （C）24種 （D）30種 答案：C解析：本題考查分類與分步原理及組合公式的運用，可先求出所有兩人各選修2門的種數(shù)=36，再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數(shù)均為=6，故只恰好有1門相同的選法有24種 。5.（2009全國卷理）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有( D )（A）150種 （B）180種 （C）300種 (D)345種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D6.(2

30、010湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為 【答案】C【解析】用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個班的種數(shù)是，順序有種，而甲乙被分在同一個班的有種，所以種數(shù)是7.（2010四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A

31、、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6212種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12448種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有1

32、2種排法 三類之和為24121248種。 8. （2009全國卷理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有A. 6種 B. 12種 C. 30種 D. 36種解：用間接法即可.種. 故選C9.（2010遼寧卷理）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（A）70種 （B） 80種 （C） 100種 （D）140種 【解析】直接法：一男兩女,有C51C425630種,兩男一女,有C52C4110440種,共計70種 間接法：任意選取C9384種,其中都是男醫(yī)生有C5310種,都是女醫(yī)生有C414

33、種,于是符合條件的有8410470種.【答案】A10.（2009湖北卷文）從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有一人參加，星期六有兩人參加，星期日有一人參加，則不同的選派方法共有A.120種 B.96種 C.60種 D.48種【答案】C【解析】5人中選4人則有種，周五一人有種，周六兩人則有，周日則有種，故共有=60種,故選C11.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為【 B 】A14 B16 C20 D48解:由間接法得，故選B.

34、 12.（2010全國卷文）甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)，若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（A）150種 （B）180種 （C）300種 （D）345種【解析】本小題考查分類計算原理、分步計數(shù)原理、組合等問題，基礎(chǔ)題。解：由題共有，故選擇D。13.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B

35、，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6212種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12448種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有12種排法第三類：女生B和男生乙

36、在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有12種排法 三類之和為24121248種。14.（2009陜西卷文）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108網(wǎng)答案:C. 解析:首先個位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5，7四個中選擇一個有種，再叢剩余3個奇數(shù)中選擇一個，從2，4，6三個偶數(shù)中選擇兩個，進(jìn)行十位，百位，千位三個位置的全排。則共有故選C. 15.(2010湖南卷理)從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的

37、種數(shù)位 C A 85 B 56 C 49 D 28 【答案】：C【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個的選法有：，另一類是甲乙都去的選法有=7，所以共有42+7=49，即選C項。16.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 解析：6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有188解析2：由題意有,選B。15、甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時射

38、擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為( )16、已知隨機(jī)變量的分布列為：P(=k)=,k=1,2,3,則P(3+5)等于( )A.6 B.9 C.3 D.417、1盒中有9個正品和3個廢品，每次取1個產(chǎn)品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)的期望E=_.4、某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個班中選出4人參加某項活動，這4人恰好來自不同組別的概率是_.18、甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計算：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.19、已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)f(x)=(1)求常數(shù)a的

39、值，并畫出的概率密度曲線；(2)求P(1）.20、設(shè)P在0,5上隨機(jī)地取值，求方程x2+px+=0有實根的概率.21、設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作.若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內(nèi)期望利潤是多少？參考答案一、1.解析：設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為A+B+C，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生.故目標(biāo)被擊中的概率為1P()=12.解析：E=(1+2+3)=2，E2=(1

40、2+22+32)=D=E2(E)2=22=.D(3+5)=9E=6.二、3.解析：由條件知，的取值為0，1，2，3，并且有P(=0)=,4.解析：因為每組人數(shù)為13，因此，每組選1人有C種方法，所以所求概率為P=.三、5.解：(1)我們把“甲射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件A，“乙射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件B.顯然事件A、B相互獨立，所以兩人各射擊一次都擊中目標(biāo)的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.60.6=0.36答：兩人都擊中目標(biāo)的概率是0.36(2)同理，兩人各射擊一次，甲擊中、乙未擊中的概率是P(A)=P(A)P()=0.6(10.6)=0.60.4=0.24甲未擊中、乙擊中的概率是P(

41、B)=P()P(B)=0.24，顯然，“甲擊中、乙未擊中”和“甲未擊中、乙擊中”是不可能同時發(fā)生，即事件A與B互斥，所以恰有一人擊中目標(biāo)的概率是P(A)+P(B)=0.24+0.24=0.48答：其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率是0.48.(2)兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)的概率P=P(AB)+P(A)+P()B=0.36+0.48=0.84答：至少有一人擊中目標(biāo)的概率是0.84.6.解：(1)因為所在區(qū)間上的概率總和為1，所以 (1a+2a)1=1,a=概率密度曲線如圖：(2)P(1)=7.解：一元二次方程有實數(shù)根0而=P24()=P2P2=(P+1)(P2)解得P1或P2故所求概率為P=8

42、.解：以X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)，則XB(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2k0.85k,k=0,1,2,3,4,5.以Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則Y=g(X)=Y的概率分布為：P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328P(Y=5)=P(X=1)=C0.20.84=0.410P(Y=0)=P(X=2)=C0.220.83=0.205P(Y=2)=P(X3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=0.057故一周內(nèi)的期望利潤為：EY=100.328+50.410+00.20520.057=5.216(萬元)綜合測試題一、選擇題1從0，1，2，9這10個數(shù)字中，任

43、取兩個不同數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，能夠確定不在x軸上的點的個數(shù)是（）A100B90C81D722A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊，（A，B可以不相鄰）那么不同的排法有（）A24種B60種C90種D120種3男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A2人或3人B3人或4人C3人D4人4工人工資（元）依勞動生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x，下列判斷中正確的是（）A勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元B勞動生產(chǎn)率平均提高1000元時，工資平均提高80元C勞動生產(chǎn)率平均提高1000元時，工資平均提高

44、130元D當(dāng)工資為250元時，勞動生產(chǎn)率為2000元5設(shè)的展開式的各項系數(shù)的和為P，所有二項式系數(shù)的和為S，若P+S=272，則n為（）A4B5C6D86已知隨機(jī)變量X的分布列為，則為（）A316B14C116D5167兩位同學(xué)一起去一家單位應(yīng)聘，面試前單位負(fù)責(zé)人對他們說：“我們要從面試的人中招聘3人，你們倆同時被招聘進(jìn)來的概率是170”根據(jù)這位負(fù)責(zé)人的話可以推斷出參加面試的人數(shù)為（）A21B35C42D708有外形相同的球分裝三個盒子，每盒10個其中，第一個盒子中7個球標(biāo)有字母A、3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中則有紅球8個，白球2個試驗按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一

45、號盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二號盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三號盒子中任取一個球如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，那么試驗成功的概率為（）A0.59B0.54C0.8D0.159設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和，令隨機(jī)變量，則X的方差為（）10的展開式中，的系數(shù)是（）29720711某廠生產(chǎn)的零件外直徑N（10，0.04），今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個，測得其外直徑分別為9.9cm和9.3cm，則可認(rèn)為（）A上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常B上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常C上、下午生產(chǎn)情況均正常D上、下午生產(chǎn)情況均異常12甲乙兩隊進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是23，沒有平局若采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則甲隊獲勝的概率等于（）二、填空題13有6名學(xué)生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌也會跳舞現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的去參加文藝演出，則共有選法種14設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為，則15已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且則16已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，方差為三、解答題17在調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系時，得到如下數(shù)據(jù)（人數(shù)）： 物理成績好物理成績不好合計數(shù)學(xué)成績好622385數(shù)學(xué)成績不好2