(完整版)電磁場(chǎng)與電磁波答案(第四版)謝處方.doc

1、一章習(xí)題解答1.1 給定三個(gè)矢量A、B和C如下：Aex ey 2 ez3Bey 4ezC ex 5 ez2求：（ 1） aA ；（ 2） AB ；（ 3） AgB ；（ 4）AB ；（ 5） A 在 B 上的分量；（ 6） AC ；（ 7） Ag(BC)和(AB )gC ；（ 8） ( AB )C和A (BC ) 。解 （ 1） aAAexey 2 ez 3123A1222ex14eyez( 3)21414（ 2）（ 3）A B (exey 2 ez3)( ey 4 ez ) ex ey6 ez453AgB (exey 2 ez3) g(ey 4 ez) 11（ 4）由 cosABAgB141

2、111，得ABcos 1 (11 ) 135.5oAB17238238（5） A 在 B 上的分量ABAcos ABAgB11B17exeyez（6）A C1 23ex 4 ey13 ez10502exeyez（ 7）由于 BC041ex 8 ey 5ez 20502exeyezA B123ex 10 ey1 ez 4041所以Ag(B C )(exey 2ez 3)g (ex8 ey 5 ez 20)42( A B )gC( ex10 ey1 ez 4)g( ex 5 ez 2)42exeyez（8）(A B) C10 1 4 ex 2 ey 40 ez5502exeyezA(BC)1 23

3、ex55 ey 44 ez118520- 1 -1.2 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為 P1(0,1,2) 、 P2 (4,1,3) 和 P3 (6, 2,5) 。（ 1）判斷 PP12 P3 是否為一直角三角形；（ 2）求三角形的面積。解 （ 1）三個(gè)頂點(diǎn)P1 (0,1,2) 、 P2 (4,1, 3) 和 P3 (6, 2,5)的位置矢量分別為r1eyez 2 ， r2ex 4 eyez 3 ， r3ex 6 ey 2 ez5則R12r2r1ex 4 ez ，R23r3r2 ex 2 eyez8 ，R31r1r3ex 6 eyez 7由此可見(jiàn)R12 gR23 (ex 4ez )g(ex 2 eyez

4、8)0故 PP12 P3 為一直角三角形。（ 2）三角形的面積S1 R12R231 R12R231 1769 17.132221.3求 P (3,1,4) 點(diǎn)到 P(2, 2,3) 點(diǎn)的距離矢量 R 及 R 的方向。解rPex 3eyez 4 ， rPex 2ey 2 ez 3 ，則RP PrPrPex 5ey 3ez且 RPP與 x 、 y 、 z 軸的夾角分別為xcosycoszcos1.4給定兩矢量B 上的分量。1 ( ex gRP PRP P1 ( ey gRP PRP P1 ( ez gRP PRP PAex 2)cos 1(5 )32.31o35)cos 1 (3 )120.47

5、o35)cos 1(1 )99.73o35ey 3 ez 4和 Bex 4 ey5 ez 6 ，求它們之間的夾角和A 在解A 與 B 之間的夾角為ABcos 1 ( AgB)cos 1(31) 131oA B29 77A 在 B 上的分量為ABAgB313.532B771.5給定兩矢量 A ex 2 ey 3ez4 和 Bex 6ey 4ez ，求 AB 在 C ex ey ez上的分量。exeyez解AB234ex13 ey 22 ez10641所以 AB 在 C 上的分量為( A( AB)gC2514.43B )CC31.6證明：如果 AgBAgC 和 A BA C，則BC ；- 2 -解

6、由 ABAC，則有A( AB )A(A C)，即( AgB) A( AgA)B( AgC ) A( AgA)C由于 AgBAgC ，于是得到( AgA)B( AgA)C故BC1.7如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè) A 為一已知矢量，pAgX 而 PAX ， p 和 P 已知，試求 X 。解由 PAX ，有APA( AX )( AgX ) A( AgA) XpA( AgA) X故得XpAAPAgA1.8在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由(4, 2,3) 定出，求該點(diǎn)在： （1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；（ 2）球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。3解 （ 1）在直角坐標(biāo)系中x4cos(2

7、3)2 、 y4sin(23)2 3 、 z3故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為( 2,23,3) 。（ 2）在球坐標(biāo)系中r225、tan1(4 3)o、2 3120o4353.1故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為 (5,53.1 o,120o)1.9用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)Eer25 ，r 2（ 1）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(3,4,5) 處的 E 和 Ex ；（ 2）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(3,4,5)處 E 與矢量 Bex 2ey 2ez構(gòu)成的夾角。解 （ 1）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)( 3,4,5) 處， r 2(3)242( 5)250 ，故Eer251r 22Exex gEE cos rx133225220（ 2）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(3,4,5) 處

8、， rex 3ey 4ez 5 ，所以E2525rex 3ey 4ez 5r2r 3102故 E 與 B 構(gòu)成的夾角為EBcos 1(E gB )cos 1 (19 (102) )153.6oE gB3 21.10球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn) (r1, 1 ,1) 和 ( r2 ,2 , 2 ) 定出兩個(gè)位置矢量R1和 R2 。證明 R1 和 R2間夾角的余弦為coscos1 cos 2sin1 sin2 cos(12 )解由R1exr1 sin1 cos1eyr1 sin1 sin1ezr1 cos1R2ex r2 sin2 cos2ey r2 sin 2 sin2ez r2 cos 2- 3 -得到R1

9、gR2cosR2R1sin1 cos 1 sin2 cos2sin1 sin1 sin 2 sin2cos 1 cos 2sin1 sin2 (cos1 cos21 sin1 sin2 )cos 1 cos 2sin1 sin2 cos( 12 )cos1 cos21.11一球面 S 的半徑為5 ，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：?(er3sin)gd S 的值。S(e 3sin)gd S(e 3sin)ge d S222解d3sin5sin d75蜒 rrrSS001.12在由 r 5 、 z0 和 z4 圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量Aer r 2ez 2z 驗(yàn)證散度定理。解在圓柱坐標(biāo)系中g(shù)A1(rr 2

10、)(2 z)3r2rrz425所以gA dd zd(3r2)r d r1200000又AgdS(e r 2e 2z)g(e d Se d Se d S )蜒rzrrzzSS4 2525 25dd z24r d r d12000000故有g(shù)A d1200?Agd SS1.13求（ 1）矢量 Aexx2e x2 y2e 24 x2 y2 z3 的散度；（ 2）求gA對(duì)中心在原點(diǎn)的yz一個(gè)單位立方體的積分； （ 3）求 A 對(duì)此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。解 （ 1） gA(x2 )(x2 y2 )(24 x2 y2z3 )2x 2x2 y72x2 y2 z2xyz（ 2） gA 對(duì)中心在原點(diǎn)的

11、一個(gè)單位立方體的積分為1 21 21 21gA d(2 x 2x2 y 72 x2 y2 z2 )d x d y dz1 21 21 224（ 3） A 對(duì)此立方體表面的積分1 21 21 21 21 21 2?Agd S( ) d ydz) d y dzS1 21 221 21 221 21 22x2 ( 1) 2 d x dz1 21 22x2 ( 1 )2 d x dz1 21 221 21 221 21 211 21 21124x2 y2 ()3 d x dy24 x2 y 2 ()3 d xd y1 21 221 21 2224- 4 -故有g(shù)A d1?Agd S24S1.14計(jì)算矢

12、量 r對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為a 的球表面的積分，并求gr 對(duì)球體積的積分。223解蜒r ger d Sdaa sind4ar gd SSS00又在球坐標(biāo)系中，gr1r(r 2r )3 ，所以r 22agr d3r 2 sind r dd4a300 01.15求矢量 Ae xex2e y2 z 沿 xy 平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形回路的線(xiàn)積分，xyz此正方形的兩邊分別與x 軸和 y 軸相重合。再求A 對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。22222解?Agd lxd xxd x2 d y0d y 8C0000exeyez又Axyzex 2 yzez 2xxx2y2 z2 2所以Agd

13、S(ex 2 yzez 2x) gez d x d y 8S0 0故有?Agd l 8SAgd SC1.16求矢量 Aex xey xy 2 沿圓周 x2y2a2 的線(xiàn)積分， 再計(jì)算A 對(duì)此圓面積的積分。蜒Agd lx d xxy2 d y2a2 cos sina4 cos2sin 2a4解()dCC04AyAx )gez d Sa 2a4Agd Sez(y2 d Sr 2 sin 2r dd rxSSyS0041.17證明：（ 1）gR3 ；（2）R0 ；（ 3） ( AgR)A 。其中 R exxey y ez z ，A 為一常矢量。解 （1）xyzgRy3xz- 5 -exeyez（ 2

14、）Rxyz0xyy（3）設(shè) Aex Axey Ayez Az ，則 AgRAx xAy y Az z ，故( AgR)exx ( AxxAy yAzz)eyy ( Ax xAy yAz z)ez( Ax x Ay y Az z) ex Axey Ay ez Az Azf (r ) 會(huì)有什么特點(diǎn)呢？1.18一徑向矢量場(chǎng) Fe f (r ) 表示，如果gF0，那么函數(shù)r解在圓柱坐標(biāo)系中，由gF1 d rf (r )0可得到r d rf (r )CC 為任意常數(shù)。r在球坐標(biāo)系中，由gF1d r 2 f (r )0r 2d r可得到f (r )Cr 21.19 給定矢量函數(shù) Eex yeyx ， 試

15、求從 點(diǎn) P1 (2,1,E gd l ：（ 1）沿拋物線(xiàn) x y2；（ 2）沿連接該兩點(diǎn)的直線(xiàn)。這個(gè)解 （ 1） E gd lEx d x Ey d yyd x x d yCCC22y d(2 y2 )2 y2 d y6y2 d y 14111) 到點(diǎn) P2(8,2, 1)的線(xiàn)積分E 是保守場(chǎng)嗎？（ 2）連接點(diǎn)P (2,1, 1)到點(diǎn)P (8, 2,1)直線(xiàn)方程為12x2x8即x6 y 40y1y222故E gd lEx d xEy d yyd(6 y4)(6 y4)d y(12y 4)d y 14CC11由此可見(jiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，故是保守場(chǎng)。1.20求標(biāo)量函數(shù)x2 yz 的梯度及在一個(gè)指定方

16、向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量ex3ey4ez5 定出；求(2,3,1) 點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。505050解222exx ( x yz)eyy (x yz)ezz (x yz)ex 2xyzey x2 zezx2 y- 6 -z故沿方向 el ex345eyez50的方向?qū)?shù)為5050rrgel6xyz4x2 z5x2 yzl505050r點(diǎn) (2,3,1) 處沿 el 的方向?qū)?shù)值為z361660112oyl505050501.21試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中xgAAxAyAz相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式題 1.21 圖xyzgA1(rAr )AAz。rr rz解在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21

17、 圖所示。矢量場(chǎng)A 沿 er 方向穿出該六面體的表面的通量為zzz zrAr r r ( rr )d r dArr r d r dzz(rr )Ar(rr , z)rAr (r , z)z(rAr ) rz1(rA r )rrr同理rrz zrrzzAd r d zAd r d zrzrz A (r , z)A (r , z)rzArzArrrrrzAz z z r d r dAz z r d r drr Az( r, zz) Az (r , z)rrzAz rrzAzA 穿出該六面體的表面的通量為zz因此，矢量場(chǎng) r z 1(rAr)AAz rrrz故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式Alim1(r

18、Ar )AAzrrrz01.22方程 ux2y2z2給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。222abc2x2 y2z解由于uex a2ey b2ez c2- 7 -x2y2z2u 2 (2 )(2 )(2 )abc故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為uxynu(ex a2ey b21.23 現(xiàn)有三個(gè)矢量A、B、C為Aer sincoszez c2 )e cosx2y 2z 2(a2 )(b2 )(c2 )cose sinBer z2 sine z2 cosez 2rz sinCex (3y22x)ey x2ez 2z（ 1）哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函

19、數(shù)的旋度表示？（ 2）求出這些矢量的源分布。解（ 1）在球坐標(biāo)系中g(shù)A1(r 2 Ar )1(sinA )1Ar 2rr sinr sin1(r 2 sincos)1(sincoscos )1( sin )r 2rr sinr sin2coscos2sin coscos0sinr sinrr sinrerr er sineA12 sinrrArrAr sinAerr er sine10r 2 sinrsin cosr coscosr sinsin故矢量 A 既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標(biāo)系中11BBzgB =(rB r )zrrr1(rz 2 sin

20、)1( z2 cos )(2rz sin )r rrzz2 sinz2 sin2r sin2r sinrr- 8 -err eezerr eez110BrzrrzrBrrBBzz2 sinrz 2 cos2rz sin故矢量 B 可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標(biāo)系中CxCyCzgC =yzx(3 y22x)( x2 )(2 z)0xyzexeyezCxyzez(2 x6 y)3 y22xx22z故矢量 C 可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。（ 2）這些矢量的源分布為gA 0 ，A0 ；gB = 2r sin，B0 ；gC 0，Ce (2 x6 y)z1.24利用直角坐標(biāo)，證明g( fA)f

21、gAAg f解在直角坐標(biāo)中f gA Ag ff (AxAyAz) ( AxfAyffxyzxAz)yz( fAxAxfAyAyfAzAzfx) ( fy) ( f)xyzz( fAx )y( fAy )( fAz )g( fA)xz1.25證明g( AH )H gAAgH解根據(jù) 算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有g(shù)( A H )A g( A H )H g(A H )式中A 表示只對(duì)矢量A 作微分運(yùn)算，H 表示只對(duì)矢量H 作微分運(yùn)算。由 ag(b c) cg(a b) ，可得A g( A H ) H g( AA) H g(A)同理H g( AH )Ag(HH )Ag(H )故有g(shù)( A H ) H g A

22、Ag H1.26利用直角坐標(biāo)，證明- 9 -( fG)fGfG解在直角坐標(biāo)中fGf ex (GzG yGxGzGyGx)y) ey (x) ez (xyzzf Gex (GzfGyf ) ey (GxfGzf ) ez (G yfGxf )yzzxxy所以fGf G ex( GzffGz ) (GyffGy )yyzzey(GxffGx ) (GzffGz )zzxxez(G yffGy) (GxffGx)xxyyex ( fGz )( fG y ) ey ( fGx )( fGz )yzzxez( fGy )( fGx )( fG )xy( u) 0 及1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明g(A)0 ，試證明之。解 （ 1）對(duì)于任意閉合曲線(xiàn)C 為邊界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有(u)gd S蜒ugd lu d l?d u0SCClC由于曲面 S 是任意的，故有(u)0（ 2）對(duì)于任意閉合曲面S 為邊界的體積，由散度定理有g(shù)(A)d?(A)gd S(A)gd S(A)gd SSSS12其中 S1 和 S2 如題 1.27 圖所示。由斯托克斯定理，有(A)gd S?