工學理論力學平面匯交力系與平面力偶系PPT學習教案

1、會計學1 工學理論力學平面匯交力系與平面力偶工學理論力學平面匯交力系與平面力偶 系系 力系分為：平面力系(planar force system) 空間力系(space force system) 匯交力系(planar concurrent force system) 平面力系 平行力系(平面力偶系是其中的特殊情況 ) (planar parallel force system) 一般力系(平面任意力系) (planar general force system) 匯交力系 空間力系 平行力系(空間力偶系是其中的特殊情況 ) 一般力系(空間任意力系) 第1頁/共75頁 （1） 匯交力系： 平

2、面匯交力系 空間匯交力系 第2頁/共75頁 平面力偶系 空間力偶系 作用在物體上的一群力偶稱為力偶系 （2） 力偶系： 第3頁/共75頁 （3）平行力系： 作用在物體上的一各力作用線互相平行，稱為平行力系。 平面平行力系 第4頁/共75頁 （4）任意力系： 人字形閘門模型及其受力圖 第5頁/共75頁 （4）任意力系： 重力壩及斷面及受力圖 第6頁/共75頁 2-1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法 2-2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 平面匯交力系與平面力偶系是兩種簡單力系， 是研究復雜力系的基礎(chǔ)，本章開始將分別研究兩種 力系的合成與平衡問題。 第7頁/共75頁 A 1 F R F 2 F 三

3、角形abc稱為力三角形;上述作圖方法稱為力的三角形法則. a b 1 F c 2 F R F 2.1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法 2.1.1 平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則 第8頁/共75頁 2.1.1 平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則 F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b c d e a b c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。 用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則。 力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。 第9頁/共75頁 結(jié)論：平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各

4、分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過匯交點。 用矢量式表示為： R12n FFFFF 如果一力與某一力系等效，則此力稱為該力系的合力。 若力系的各力作用線相同，則該力系為共線力系。其 力的多邊形實際為一直線段，合力的作用線于力系中 各力的作用線相同，可將各力作為代數(shù)量 第10頁/共75頁 在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點與第一力的起點重合，此時的力多邊形稱為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉，這是平衡的幾何條件。 0i F 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為： 第11頁/共75頁 已知壓路機碾子重F

5、P=20kN, R=60cm, 欲拉過h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對障礙物的壓力。 選碾子為研究對象 取分離體畫受力圖 解： 當碾子剛離地面時FNA=0,拉力F最大,這時拉力F和自重及支反力FNB構(gòu)成一平衡力系。 由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故 例2-1 FP R F h B A FP F FB FA O 第12頁/共75頁 由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對障礙物的壓力等于23.1kN。 此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , FNB=23.1kN 所以 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由幾何關(guān)系： tgPF cos P FN

6、B 例2-1 第13頁/共75頁 2.2.1 力在坐標軸上的投影 F x y X Y b O 即力在某軸上的投影，等于力的大小乘以力與投影 軸正向間夾角的余弦。 FY FX cos cos 第14頁/共75頁 2.2.2力在坐標軸上的投影和力沿坐標軸的分力的關(guān)系 x F y F F jFiFF yx 若X、Y表示力 F在各坐標軸上的投影，則明顯有： YFXF yx , 通常，我們將一個力分解為相互垂直的兩個力， 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第15頁/共75頁 力的投影是代數(shù)量，而分力是矢量；并且在非直角坐標系中 不一定成立。 XFx 力的投影無所謂作用點，而分力必須作用在原力的作用

7、點。 2.2.2力在坐標軸上的投影和力沿坐標軸的分力的關(guān)系 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第16頁/共75頁 F Fx Fy x y i j xy xy FF FFFij O 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第17頁/共75頁 由圖可看出，各分力在x軸和在y軸投影的和分別為： XXXXR x421 YYYYYRy 4321 YRyXRx 合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。 即： 2.2.4 合力投影定理 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第18頁/共75頁 Rxxi FF 平面匯交力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各個分力在同一軸上

8、投影的代數(shù)和。 Ryyi FF 2.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法 第19頁/共75頁 2.2.5力的解析表達式 x y A B O F x F y F X Y i j 力在直角坐標軸上的投影 ),cos( ),cos( jFFjFY iFFiFX 已知投影力的大小和方向為 F Y jF F X iF YXF ),cos(,),cos( 22 在直角坐標系中 jYiXFFF yx 此式即為力的解析表達式。 第20頁/共75頁 2222 RRR ()() xyxiyi FFFFF R R R cos(, ) x F F Fi R R R cos(, ) y F F Fj 合力的大?。?方向：

9、 作用點： 為該力系的匯交點 第21頁/共75頁 22 R ()()0 xiyi FFF 0 xi F 0 yi F 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在作用面內(nèi)兩個任選的坐標軸上投影的代數(shù)和等于零。上式稱為平面匯交力系的平衡方程。 第22頁/共75頁 應用平衡方程時應注意： 1.兩個方程，一般只能求解兩個未知量 2.所選投影軸不一定正交，但不能平行 3.為求解方便，未知力應盡可能與投影軸垂直或 平行 4.共線力系，平衡方程只有一個，只能求解一個 未知量 第23頁/共75頁 已知： FP=20kN，R=0.6m, h=0.08m,求： 1、欲將碾子拉過障礙物，水平拉力F 至少多大？ 2、

10、F 沿什么方向拉動碾子最省力，此時力F 多大？ 例2-2 【解】 FP R F h A B O 取碾子為研究對象，畫其受力圖(b)。 (a) FP F FA FB O (b) 第24頁/共75頁 利用上述平衡方程求得： kNFF P 55.11tan 1、碾子拉過障礙物，應有 0 B F ，如圖(c) 0sinFF A :0 Y 0cos AP FF 建立坐標系，列投影方程 :0 X 例2-2 【解】 FP F FA O (c) 第25頁/共75頁 2、求最小力Fmin 設(shè)此時力F與水平線夾角為，建立圖（d）所示坐標系。 , 0 i X 0)cos(sinFFP )cos( sin P F F

11、 kNFF P 10sin min 顯然，當=時，有 例2-2 【解】 FP F FA O (d) x 第26頁/共75頁 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 已知 P=2kN 求SCD , RA 解: 1. 取AB桿為研究對象 2. 畫AB的受力圖 3. 列平衡方程 由EB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得： kN 24. 4 tg45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45cos 0 CDA SR 4. 解方程 例2-3 第27頁/共75頁 例2-4 【解】 重物A質(zhì)量m=10k

12、g,懸掛在支架鉸接點 B 處，A、C 為固定鉸支座，桿件位置如圖示，略去支架桿件重量，求重物處于平衡時，AB 、BC 桿的內(nèi)力。 （a） A B C 0 45 0 60 y （b） x 0 45 0 30 BC F BA F B T F 取銷釘B為研究對象，畫其受力圖(b)。 第28頁/共75頁 例2-4 【解】 045cos30cos, 0 00 BABC FFX i 045sin30sin, 0 00 BABCTi FFFY 聯(lián)立上述兩方程，解得： =88 ， =71.8 。 BC F BA FNN 取銷釘B為研究對象，畫其受力圖(b)。 列平衡方程 y x 0 45 0 30 BC F

13、BA F B T F （b） 第29頁/共75頁 求圖示平面剛架的支反力。 P F A B A F B F x y 解：以剛架為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。 0cos:0 PA FFX P F AB m4 m8 由幾何關(guān)系， 5 52 cos, 5 5 sin 解得 PFPF BA 2 1 , 2 5 例2-5 0sin:0 BA FFY 第30頁/共75頁 用AB桿在輪心鉸接的兩均質(zhì)圓輪A、B，分別放在兩個相交 的光滑斜面上，如圖所示。不計AB桿的自重，求：（1）設(shè) 兩輪重量相等，求平衡時的角；（2）已知A輪重GA，平 衡時，欲使=00的B輪的重量。 A B 300600 例2-6 第

14、31頁/共75頁 B A GA GB FAB F/AB NA 300 NB 600 x y 600 300 x/ y/ 300 300 X= 0GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1) X/ = 0 - GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2) 先取A輪為研究對象，受力分析： 取B輪為研究對象，受力分析： A B 300600 例2-6 【解】 第32頁/共75頁 GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1) - GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2) FAB =F/AB (3) 由以上三式可得： 00

15、60)30(tg G G tg A B （1）當GB=GA時， = 300 （2）當= 00時， GB=GA /3 例2-6 第33頁/共75頁 圖示吊車架，已知P，求各桿受力大小。 1、研究對象： 整體 或鉸鏈A AB F AC F P A AB F AC F 60 2、幾何法： P AB F AC F 60 FAC=P/sin600 FAB=Pctg600 例2-7 【解】 第34頁/共75頁 3、解析法： P A AB F AC F 60 X=0FAC cos600 FAB = 0 Y=0FAC sin600 P = 0 解得： FAC=P/sin600 FAB= FAC cos600

16、=Pctg600 x y 例2-7 第35頁/共75頁 A B F O （B） A B F O （A） 結(jié)構(gòu)如圖所示，已知主動力F，確定鉸鏈O、B約束力的方向（不計構(gòu)件自重） 1、研究OA桿 2、研究AB桿 o F A F B F A F B F o F 例2-8 第36頁/共75頁 1、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度 特殊時用 幾 何法（解力三角形）比較簡便。 解題技巧及說明： 3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中 只有一個未知數(shù)。 2、一般對于受多個力作用的物體，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 第37頁/共75頁 5、解析法解題時，力的方向可以任意設(shè)，如果求出 負值

17、，說明力方向與假設(shè)相反。對于二力構(gòu)件，一般 先設(shè)為拉力，如果求出負值，說明物體受壓力。 4、對力的方向判定不準的，一般用解析法。 列平衡方程 取研究對象 畫受力圖 第38頁/共75頁 2.3 平面力對點之矩的概念及計算 力對物體可以產(chǎn)生 移動效應-取決于力的大小、方向 轉(zhuǎn)動效應-取決于力矩的大小、方向 第39頁/共75頁 MO(F ) Oh r F A B 2.3.1 力對點之矩（力矩） 力F與點O位于同一平面內(nèi)，點O稱為矩心，點O到力的作用線的垂直距離h稱為力臂。 力對點之矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負可按下法確定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動時為正，反之為負。 (

18、)2 OOAB MFhA F 力矩的單位常用Nm或kNm。 力使剛體繞固定點轉(zhuǎn)動效應的度量 第40頁/共75頁 平面匯交力系的合力對于平面內(nèi)任一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數(shù)和。 R 1 ()() n i OO i MM FF F Fx Fy x y O x y A ()sincos O yx MxFyF xFyF F (1) 合力矩定理 (2) 力矩的解析表達式 第41頁/共75頁 支架如圖所示，已知AB=AC=30cm, CD=15cm,F=100N, 30 求 對A、B、C三點之矩。 F F A B CD A d C d 解：由定義 mNADFFdFM AA 5 2230sin)

19、( 由合力矩定理 mNADFABF ADFABFFM yxB 48.4830sin30cos )( 例2-9 mNCDFFdFM CC 5 730sin)( 第42頁/共75頁 O x y F A 1 r 2 r B d 如圖所示，求F對A點的矩。 解一：應用合力矩定理 )cos( )cos(sincos sinsin)cos(cos )()()( 21 22 12 112 rrF FrFr rFrrF FMFMFM yAxAA 解二：由定義 cos 1 r OB cos 1 2 r rAB 12 coscosrrABd )cos()( 21 rrFFdFM A 例2-10 第43頁/共75頁

20、 2.4 平面力偶 2.4.1力偶與力偶矩 第44頁/共75頁 由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，稱為力偶，記為(F, F)。力偶的兩力之間的垂直距離d稱為力臂，力偶所在的平面稱為力偶作用面。 力偶不能合成為一個力，也不能用一個力來平衡。力和力偶是靜力學的兩個基本要素。 2.4.1力偶與力偶矩 第45頁/共75頁 F F d D A B C 力偶是由兩個力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應用力偶矩來度量。平面力偶對物體的作用效應由以下兩個因素決定： (1) 力偶矩的大??； (2) 力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。 平面力偶可視為代數(shù)量，以M或M(F, F

21、)表示， 2 ABC MFdA 平面力偶矩是一個代數(shù)量，其絕對值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負號表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之則為負。力偶的單位與力矩相同。 第46頁/共75頁 FF/ a b c d a b F 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第47頁/共75頁 力偶矩：力與力偶臂的乘積 記作M（F，F(xiàn)/） 簡記為M 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第48頁/共75頁 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第49頁/共75頁 推論： (1) 任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對剛體的作用。因此，力偶對剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不

22、變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用。 2.4.2 平面力偶的性質(zhì) 第50頁/共75頁 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示的符號表示力偶。M為力偶的矩。 第51頁/共75頁 O F r O r M =Fr 試分析圖中圓輪O的受力，比較二圖的異同。 第52頁/共75頁 = = 111 dFM 222 dFM 1 F 2 F 1 F 2 F 1 d 2 d 2P F d 1P F 1P F 2P F d R F R F 21 21 PPR PPR FFF FFF dFM P11 dFM P22 212121 )

23、(MMdFdFdFFdFM PPPPR 2.4.3 平面力偶系的合成 作用面共面的力偶系稱為平面力偶系。 推廣得： MMMMM n 21 平面力偶系合成的結(jié)果還是一個力偶（稱為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。 第53頁/共75頁 2.4.4 平面力偶系的平衡條件 平面力偶系總可以簡化為圖示情形。若FR=0，則力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是FR=0或是d=0，無論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結(jié)論： d R F R F 平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即： 0M 上式稱為平面力偶系的平衡方程。 第54頁/共7

24、5頁 圖示矩形板，邊長分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。 M A B M C M C A F C F M M A B C A F B F B F M C F 思考題1 第55頁/共75頁 剛體上A、B、C、D四點組成一個平行四邊形，如在其四個頂點作用有四個力，此四力沿四個邊恰好組成封閉的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？ F1 F3 B A C D F2 F4 第56頁/共75頁 P O R M 從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？ FO 第57頁/共75頁 長為 4 m 的簡支梁的兩端 A、B 處作用有二個力偶其

25、力偶矩分別為 ， 。求 A、B支座的約束反力。 mNM16 1 mNM 4 2 B F A F d A B ( )b 例2-11 【解】 1 M A B 1 M 2 M 。 60 4m ( )a 2 M AB梁上作用有二個力偶組成的平面力偶系，在 A、B 處的約束反力也必須組成一個同平面的力偶。作AB 梁的受力圖，如圖（b）所示。 第58頁/共75頁 故 NFFBA6 解得 NFB6 得 060cos 0 21 lFMMB FA 、FB為正值，說明圖中所示FA 、FB 的指向與實際相同。 【解】 由平衡方程 0 i M A B ( )b B F A F d 1 M 2 M 例2-11 第59頁

26、/共75頁 鉸接四連桿機構(gòu)OABO1在圖(a)所示。已知：OA=4a，O1B=6a。作用在OA上力偶的力偶M1 和O1B上的力偶M2。要使系統(tǒng)平衡，求M1/ M2的比值。 例2-12 第60頁/共75頁 （1）選OA為研究對象，受力圖如圖（b），列平衡方程 ,0 i M030sin4 1AB MaF （2）選O1B為研究對象，受力圖如圖（d），列平衡方程 06 BA2 aFM, 0 i M 由以上兩式可得 M1/ M21/3 【解】 例2-12 第61頁/共75頁 圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求A、C兩點的約束反力。 ).(255. 0mNFdFM CCAC 0 i M 0 MM AC N

27、FF CA 3137 例2-13 【解】 第62頁/共75頁 圖示桿系，已知m，l。求A、B處約束力。 1、研究對象二力桿：AD AD F C F 2、研究對象： 整體 AD F B F l m FF BAD 思考：CB桿受力情況如何？ B F C F m 練習： 例2-14 【解】 第63頁/共75頁 1、研究對象二力桿：BC 2、研究對象： 整體 AD F B F B F C F AD F m C F l m l m FF BAD 2 45sin 0 例2-14 【解】 第64頁/共75頁 不計自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為M1與M2的力偶作用 ，轉(zhuǎn)向如圖。問M1與M2的比值為多大，結(jié)構(gòu)才能平衡? 60o 60o A B C D M1M2 例2-15 第65頁/共75頁 【解】取桿AB為研究對象畫受力圖。 桿A B只受力偶的作用而平衡且C處為光 滑面約束，則A處約束反力的方位可定。 A B C M1 FA FC Mi = 0 FA =