概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙大版)第二章課件完整版

1、 在上一章中，我們們把隨隨機事件看作樣樣本空間間 的子集；這這一章里我們將們將引入隨隨機變變量的概概念， 用隨隨機變變量的取值來值來描述隨隨機事件。 一、隨機變量一、隨機變量 引例：引例： E1: 將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。 e1=（正，正）（正，正） 2 e2=（正，反）（正，反） 1 e3=（反，正（反，正) 1 e4=（反，反）（反，反） 0 令令X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)”，則則X是一個隨著試是一個隨著試 驗結果不同而取值不同的量，其對應關系如下：驗結果不同而取值不同的量，其對應關系如下： 由上可知，對每一個樣本點由上可

2、知，對每一個樣本點e，都有一個，都有一個X的取值的取值X(e) 基本結果基本結果(e) 正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)X(e) 與之對應。與之對應。我們把我們把X稱為定義在這個試驗上的隨機變量。稱為定義在這個試驗上的隨機變量。 E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù). 令令X=“正面出現(xiàn)的點數(shù)正面出現(xiàn)的點數(shù)” E3：某產(chǎn)品的使用壽命：某產(chǎn)品的使用壽命X,X=0. 反面反面 正面正面 令令 , 0 , 1 X E4：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的 情況情況. 一般地，對每一個隨機試驗，我們都可以引入一般地，對每一個隨機試驗，我們

3、都可以引入 一個變量一個變量X，使得試驗的每一個樣本點都有一個，使得試驗的每一個樣本點都有一個X 的取值的取值X(e)與之對應，這樣與之對應，這樣就得到隨機變量的概念就得到隨機變量的概念. 設設E是一個隨機試驗，其樣本空間為是一個隨機試驗，其樣本空間為S=e，在，在E 上引入一個變量上引入一個變量X，如果對，如果對S中每一個樣本點中每一個樣本點e，都，都 有有一個一個X的取值的取值X(e)與之對應，我們就與之對應，我們就稱稱X為定義為定義 在隨機試驗在隨機試驗E的一個隨機變量的一個隨機變量. （2）引入隨機變量的目的：）引入隨機變量的目的： 用隨機變量的取值范圍表示隨機事件，利用高等數(shù)用隨機變

4、量的取值范圍表示隨機事件，利用高等數(shù) 學的工具研究隨機現(xiàn)象。學的工具研究隨機現(xiàn)象。 事件事件“正面至少出現(xiàn)一次正面至少出現(xiàn)一次”可表示為可表示為:“X1 1”； 2、 隨機變量的表示：隨機變量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示; 例如：上例中，事件例如：上例中，事件“正面出現(xiàn)兩次正面出現(xiàn)兩次”可表示為可表示為: “0X2”表示事件表示事件“正面至少出現(xiàn)一次正面至少出現(xiàn)一次”。 “X=2” ； 例如：上例中例如：上例中P(X=2)=1/4； P(X)=3/4； P(0X 2)=3/4； 隨機變量的取值具有一定的概率隨機變量的取值具有一定的概率： (4)隨機變量的類型：隨機變量的類型：

5、 這兩種類型的隨機變量因其取值方式的不同這兩種類型的隨機變量因其取值方式的不同 各有特點，學習時注意它們各自的特點及描述方各有特點，學習時注意它們各自的特點及描述方 式的不同。式的不同。 具有隨機性具有隨機性:在一次試驗之前不知道它取哪一個在一次試驗之前不知道它取哪一個 值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。 隨機變量的特點隨機變量的特點: 離散型與連續(xù)型隨機變量離散型與連續(xù)型隨機變量。 例例1（用隨機變量的取值表示隨機事件）用隨機變量的取值表示隨機事件）一報童一報童 賣報，每份報賣報，每份報0.50元元, 其成本為其成本為0.30元。元。 報館每天給報館每天給 報童

6、報童1000份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。 解：分析解：分析 報童賠錢報童賠錢 賣出報紙的錢不夠成本賣出報紙的錢不夠成本 當當 0.50 X1000 0.3時，報童賠錢時，報童賠錢. 故故報童賠錢報童賠錢 X 600 令令X=“報童每天賣出的報紙份數(shù)報童每天賣出的報紙份數(shù)” 試將試將“報童賠錢報童賠錢”這一事件用這一事件用X的取值表的取值表 示出來。示出來。 （1）隨機變量）隨機變量X可能取哪些值？可能取哪些值？ （2）隨機變量）隨機變量X取某個值的概率是多大？取某個值的概率是多大？ 3、隨機變量的概率分布、隨機變量的概率分布 引入隨機變量后引入隨機變

7、量后, 上述說法相應變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑荷鲜稣f法相應變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑?對于一個隨機試驗，我們關心下列兩件事情：對于一個隨機試驗，我們關心下列兩件事情： （1）試驗會發(fā)生一些什么事件？）試驗會發(fā)生一些什么事件？ （2）每個事件發(fā)生的概率是多大？）每個事件發(fā)生的概率是多大？ 對一個隨機變量對一個隨機變量X，若給出了以上兩條，我們，若給出了以上兩條，我們 就說給出了就說給出了隨機變量隨機變量X的概率分布的概率分布(也稱分布律）。也稱分布律）。 這一章我們的中心任務是學習這一章我們的中心任務是學習離散型隨機變量離散型隨機變量 與連續(xù)型隨機變量的概率分布與連續(xù)型隨機變量的概率分布. 2 離散型隨機變量及

8、其分布 如果隨機變量如果隨機變量X X所有可能的取值是有限個或無所有可能的取值是有限個或無 窮可列個，則窮可列個，則稱稱X X為離散型隨機變量。為離散型隨機變量。 一、一、 離散型隨機變量的離散型隨機變量的 2.離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律的分布律 要掌握一個離散型隨機變量的分布律，必須要掌握一個離散型隨機變量的分布律，必須 且只需知道以下兩點：且只需知道以下兩點： (1) X所有可能的取值所有可能的取值: : (2)(2)X取每個值時的概率取每個值時的概率: , 3 , 2 , 1,)( , 21 kpxXP xxxX kk k 稱稱 (1) 式為式為離散型隨機變量離散型隨機變量X

9、X的分布律的分布律. )1(, 3 , 2 , 1)( kpxXP kk 離散型離散型隨機變量隨機變量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格 法描述。法描述。 1)1)公式法公式法: 2)2) 表格法表格法: , 3 , 2 , 1)( kpxXP kk 21k ppp xxX 21 X012 pk1/42/41/4 例例1：將一枚硬幣連擲兩次，求將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次正面出現(xiàn)的次 數(shù)數(shù)X ”的分布律。的分布律。 解：解： 在此試驗中，所有可能的結果有：在此試驗中，所有可能的結果有： e1=（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）； e3=（反，正（反，正

10、) ；e4=（反，反）。（反，反）。 于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)X ”的分布律：的分布律： 圖形表示 程序 x=0, 1, 2; pk=1/4,2/4,1/4; figure(color,w) plot(x,pk,r.,MarkerSize,31) ylim(0 0.6) xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(co

11、lor,w) plot(x,pk,r.,MarkerSize,31) hold on plot(x,pk,r-.) ylim(0 0.6) hold off xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w) bar(x,pk,0.1,r) ylim(0 0.6) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)

12、,FontSize,21); xlim(0,2.3) text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w) stem(x,pk,r.,MarkerSize,31) ylim(0 0.6) xlim(0,2.3) text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21); text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21); text(x(3),pk(3), num2str(

13、pk(3),FontSize,21); 離散型隨機變量分布律的性質(zhì)離散型隨機變量分布律的性質(zhì) 例例: 設隨機變量設隨機變量X的分布律為：的分布律為： 1)2 , 3 , 2 , 1,0) 1 k k k p kp .10, 2 , 1, 10 )( k a kXP 試求常數(shù)試求常數(shù)a. . 11 10 1 ap k k 解：由 為常數(shù)。為常數(shù)。0,.,2 , 1 , 0, ! )( k k akXP k 例例3: 設隨機變量設隨機變量X的分布律為：的分布律為： x k k e k x 0 ! 提提示示： 試求常數(shù)試求常數(shù)a. 000 1, ! . kk k kkk paaae kk ae 解解

14、：由由 得得， 練習練習:設隨機變量設隨機變量X的分布律為：的分布律為： ,3,2, 1,) 3 2 ( kbkXp k 試確定常數(shù)試確定常數(shù)b. 解：由分布律的性質(zhì)，有解：由分布律的性質(zhì)，有 11 ) 3 2 ()( k k k bkXP 12 1 3 2 3 2 bb 2 1 b 2 97. 003. 03 X所有可能的取值為：所有可能的取值為：0，1，2，3； 取到正品；取到次品令AA 97. 0)(,03. 0)( APAP則：則： )()0(AAAPXP )()1(AAAAAAAAAPXP 設有產(chǎn)品設有產(chǎn)品100件，其中件，其中3件是次品。從中有放回件是次品。從中有放回 地任取地任取

15、3件，求件，求“取得次品件數(shù)取得次品件數(shù)X ”的分布律。的分布律。 211 3 97. 003. 0 C 3 97. 0 30 3 97. 0C 3 , 2 , 1 , 0,97. 003. 0)( 3 3 kCkXP kkk 97. 003. 03 2 97. 003. 0 22 3 C 33 3 03. 0C )()2(AAAAAAAAAPXP 這個分布其實就是將要介紹二項分布。我們先來這個分布其實就是將要介紹二項分布。我們先來 看一個重要的試驗看一個重要的試驗伯努利（伯努利（Bernoulli）試驗。）試驗。 3 03. 0)()3(AAAPXP (1)n(1)n次獨立重復試驗次獨立重復

16、試驗 1、伯努利（、伯努利（Bernoulli）試驗）試驗 將試驗將試驗E重復進行重復進行n次次,若各次試驗的結果互若各次試驗的結果互 不影響不影響,則稱這則稱這n次試驗是相互獨立的次試驗是相互獨立的. (2)n重重努利試驗努利試驗 滿足下列條件的試驗稱為伯努利（滿足下列條件的試驗稱為伯努利（Bernoulli）試驗）試驗: 每次試驗都在相同的條件下每次試驗都在相同的條件下重復重復進行；進行； 每次試驗只有每次試驗只有兩個兩個可能的結果可能的結果:A及及 每次試驗的結果相互每次試驗的結果相互獨立。獨立。 nkppCkXP knkk n ,.,2 , 1 , 0,)1()( 若用若用X表示表示n

17、重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 則則n次試驗中事件次試驗中事件A發(fā)生發(fā)生k次的概率為：次的概率為： 證明：證明：在在n重貝努利試驗中，事件重貝努利試驗中，事件A在前在前k次出次出 現(xiàn)，而在后現(xiàn)，而在后n-k次不出現(xiàn)的概率為次不出現(xiàn)的概率為: 若滿足上述條件的試驗重復進行若滿足上述條件的試驗重復進行n次次,則稱這則稱這 一串試驗為一串試驗為n重伯努利重伯努利(Bernoulii)試驗。試驗。 .)(pAPA 且且 knkk n ppCkXP )1()( ., 2 , 1 , 0nk knk kn k ppAAAAAAP )1()( _ 而事件而事件A在在n次試驗中發(fā)

18、生次試驗中發(fā)生k次的方式為：次的方式為： k n C 所所以以為為二二項項展展開開式式中中的的一一項項而而 由由于于 ,)1( , 1)1()1( 0 knkk n n knk n k k n ppC ppppC :,記記作作的的二二項項分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為稱稱pnX ),(pnBX 用用X表示表示n重重Bernoulli試驗中事件試驗中事件A發(fā)生的次發(fā)生的次 數(shù)，數(shù)， ，則，則X的分布律為的分布律為: ;.,2,1 ,0 )1( nk ppCkXP knkk n 此時此時稱稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,p的二項分布的二項分布,記為記為 XB(n,p). 將將 一枚均勻的骰子擲一枚均勻的

19、骰子擲4次，求次，求3次擲出次擲出5 點點 pAP )(且且 解：解：令令A=“擲出擲出5 5點點”，點點”“擲擲不不出出5 A 6 5 )(, 6 1 )( APAP且且 ) 6 1 ,4( bX 324 5 6 5 6 1 )3( 3 3 4 CXP 程序和結果 x = 0:4; y = binopdf(x,4,1/6); figure(color,w) plot(x,y,r.,MarkerSize,31) figure(color,w) bar(x,y,0.1,r) pxequal3=y(4) pxequal3 = 0.01543209876543 例例2 2： 設有設有8080臺同類型

20、設備，各臺工作是相互臺同類型設備，各臺工作是相互 獨立的，發(fā)生故障的概率都是獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.010.01，且一臺設，且一臺設 備的故障能有一個人處理。備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由其一是由4 4個人維護，每人負責個人維護，每人負責2020臺；臺； 其二是由其二是由3 3個人共同維護個人共同維護8080臺。臺。 試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及 時維修的概率的大小。時維修的概率的大小。 1,2,3,420 i X A ii 解： 以 記“第一人維護的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺

21、數(shù)”。 以表示事件“第 人維護的臺中發(fā)生故障不能 及時維修”，則知80臺中發(fā)生故障不 按第一種方法。 能及時維修的 概率為： 12341 2P AAAAP AP X 20,0.01 ,Xb而故有： 1 0 21 k P XP Xk 1 20 20 0 10.010.990.0169 kk k k C 1234 0.0169P AAAA即有： 80 ,80,0.01 , 80 Y Yb 按第二種以 記臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)， 此時 故臺中發(fā)生故障而不能及時維修 方法。 的概率為： 3 80 80 0 410.010.990.0087 kk k k P YC 例例3 3：某人騎了自行車從學校到

22、火車站，一路 上 要經(jīng)過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0p1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次紅燈的概率。 (3, )Ybp 3 3 1 ()(1), 0,1,2,3 kkk P YkC ppk 22 3 2 (2)(1)P YC pp 解：這是三重貝努利試驗 例例4 4：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p， 0p0為一常數(shù)，為一常數(shù)，n是任意正整數(shù)。設是任意正整數(shù)。設npn=, 則對任一固定的非負整數(shù)則對任一固定的非負整數(shù)k，有，有 考慮到直接計算上式較麻煩，當考慮到直接計算上式較麻煩，當n很大很大p很小時，很小

23、時， 有下列近似計算公式：有下列近似計算公式： 1、 故故證明：設證明：設, n pn kn k k nnn knnn k )1()1( )1()1( ! e n nk n ）時時，（當當對對固固定定的的-1, knkkn n k n k n nnk knnn ppC )1()( ! )1()1( )1( ! )1( lim k e ppC k kn n k n k n n ! )1( lim k e ppC k kn n k n k n n 若隨機變量若隨機變量X所有可能的取值為所有可能的取值為0,1,2, 而而 取每個值的概率為取每個值的概率為: .2,1 ,0, ! ke k kXP k

24、 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布(Poisson),記為記為 : 1) 泊松分布與二項分布的關系：這兩個分布的泊松分布與二項分布的關系：這兩個分布的 X ( ). 說明說明： 數(shù)學模型都是數(shù)學模型都是Bernoulli概型。概型。Poisson分布分布 是二項分布當是二項分布當n很大很大p 很小時的近似計算。很小時的近似計算。 20,0.05, 1, k n k kk n np e C ppnp k 二項分布與泊松分布有以下近 公 式 似： 當時 其中 ！ 程序?qū)Ρ瘸绦驅(qū)Ρ炔此煞植寂c二項分布泊松分布與二項分布 poisspdf(k, Lambda) （a) n=20; p

25、=0.04; (b) n=8; p=0.4; 上兩圖程序代碼 figure(color,w) n=20; p=0.04; x = 0:n; y = binopdf(x,n,p); plot(x,y,r, LineWidth,3) xlim(0,n) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); hold on plot(x,z,g-., LineWidth,3) hold off legend(二項分 布:n=20,p=0.04,lambda=n*p=0. 8) figure(color,w) n=8; p=0.4; x = 0:n; y = binopdf(x,n,p); pl

26、ot(x,y,r, LineWidth,3) xlim(0,n) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); hold on plot(x,z,g-., LineWidth,3) hold off legend(二項分 布:n=8,p=0.4,lambda=n*p=3.2) 上述例上述例2的解答：的解答： 5 300 300 0 (5)0.010.99 kkk k P XC 5 0 300 300 99. 001. 0)5( k kkk CXP求求解解 3 5 0 3 ! k k e k 0.9161 查查表表 300 0.013np 3、 Poisson分布的應用分布的應用

27、分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k, Lambda)函數(shù)編程解上一題 n=300; p=0.01; n1=5; x = 0:n1; y = binopdf(x,n,p); binosum=sum(y) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); Poissonsum=sum(z) binosum = 0.91709643671569 Poissonsum = 0.91608205796870 分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k, Lambda)函數(shù)編程解上一題 n=300; p=0.01; n1=5; y = binocdf(n1,n

28、,p) % binosum=sum(y) lama=n*p; z=poisscdf(n1,lama) % Poissonsum=sum(z) y = 0.91709643671569 z = 0.91608205796870 X 0 1 pk 1-p p 一個只有兩個結果的隨機試驗，都可以一個只有兩個結果的隨機試驗，都可以 用（用（0）分布來描述。如新生嬰兒的性別，）分布來描述。如新生嬰兒的性別， 打靶中與不中等等。打靶中與不中等等。 即即X的分布律為：的分布律為： 1, 0,)1 ()( , 1),( 1 kppkXP npnBX kk 則中，若在二項分布 則稱則稱X服從（服從（0 ）分布。

29、）分布。 作業(yè)題（同濟大學） P46：2題、5題、7題 3 3 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù) 引例：設引例：設X=“擲一顆骰子時擲出的點數(shù)擲一顆骰子時擲出的點數(shù)”，記，記 PX1= F(1） PX2= F(2） PX3= F(3） 一般地：對任意的實數(shù)一般地：對任意的實數(shù)記記, x )()(xFxXP 我們把我們把 稱為稱為 )(xF 設設X X為一隨機變量為一隨機變量, , 為任意實數(shù)為任意實數(shù), ,稱稱 為為 定義域為：定義域為： 值域為：值域為： x )()(xXPxF x a 函數(shù)函數(shù)F(a)的值等于的值等于X的取值落入?yún)^(qū)間的取值落入?yún)^(qū)間(-,a 內(nèi)的概率值。如何求？內(nèi)的概率值

30、。如何求？ ),( x 1 , 0)( xF 3） )()( )()()()2( aFbF aXPbXPbXaP )()()1(bFbXP 0 （ ab )(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF )(xF ()( )( )P aXbF bF a ()P aXb( )( )()F bF aP Xa ()P aXb( )( )()()F bF aP XaP Xb ()P aXb( )( )()F bF aP Xb ； ； ； 0 0 01 0 0 aFaXaFbFbXa aFaXaFbFbXa aFaFaXaFbFbXa PP PP PP 例例1：已知隨機變量已知隨機變量X的分布律為的分布

31、律為: X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/4 ) 2 3 () 2 3 ()1( : XPF解解 ),(),()2( xxF求求 . 2 3 )(處的值處的值在在 xxF .),(并作圖并作圖xF (1)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù) (2)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 4 3 )1()0( XPXP 0)()(0 xXPxFx時時，當當 )()(10 xXPxFx 時時，當當 )()(21xXPxFx 時時，當當 )()(2xXPxFx 時時，當當 2, 1 21, 4/3 10, 4/ 1 0, 0 )( x x x x xF 4 1 ) 0( XP 4 3 ) 1() 0( XPXP

32、1) 2() 1() 0( XPXPXP P(0 x 1)=F(1)-F(0)=? P(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0) =3/4-1/4+1/4 =3/4 是右連續(xù)函數(shù)，即是右連續(xù)函數(shù)，即 0)(lim)( xFF x 是一個單調(diào)不減函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù) 且且, 1)(0)2( xF )() 1 (xF )()3(xF 1)(lim)( xFF x )()(lim 0 xFxF xx 試說明試說明F(x)能否作為某個隨機變量能否作為某個隨機變量X的的 分布函數(shù)分布函數(shù) 其他, 0 0,sin )( xx xF 例例1：設有函數(shù)設有函數(shù) 求求: (1) 常數(shù)常數(shù)A，B的值；的值

33、； (2) P(0X1) 例例2：設隨機變量設隨機變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： xBarctgxAxF,)( 1)( 0)( )1( F F 由性質(zhì)由性質(zhì)解：解： 1) 2 ( 0) 2 ( BA BA 1 2 1 B A )0()1()10()2(FFXP 4 1 0, 1 0,0 )()( x x x x xFC 例例3:下列函數(shù)中可作為隨機變量分布函數(shù)的是下列函數(shù)中可作為隨機變量分布函數(shù)的是 ( ) arctgxxFB x xFA 2 1 4 3 )()( 1 1 )()( 2 1 2 )()(arctgxxFD 10)()(FA 說明： 0 2 1 )()(FB 12)()(FD

34、 ) 0()(lim) 1)(, 0)() )() )( 00 FxFiii FFii xFi C x 單增 為正確答案易證 C 4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 定義： 對于隨機變量X的分布函數(shù) 若存在 非負的函數(shù) 使對于任意實數(shù) 有： ( ),f x ()( )( ) x P XxF xf t dt ( ),F x , x ( )f x其中 稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度。 則稱X為連續(xù)型隨機變量， 連續(xù)型隨機變量的取值充滿一個區(qū)間，對這連續(xù)型隨機變量的取值充滿一個區(qū)間，對這 種類型的隨機變量不能象離散型的那樣用種類型的隨機變量不能象離散型的那樣用分分 布律布律描述，而是用描述，

35、而是用概率密度概率密度描述。描述。 與物理學中的質(zhì)量線密度的定義相類似 ()( )P xXxxf xx 00 ()( )() ( )( ) xx F xxF xP xXxx f xF xlimlim xx ( )f x 的性質(zhì)： 1) ( )0f x + 2) ( )1f x dx 2 1 1221 1221 () ( ) ()( ) x x xx xx P xXxf t dtF xF x 3) 對于任意的實數(shù) ， 4) ( ) ( )( )f xx F xf x在連續(xù)點 ， ( )f x即在的連續(xù)點 ( )f xXx表示 落在點 附近的概率的多少 ( )yf x 1面積為 1 x 2 x 1

36、2 P xXx 5）連續(xù)型隨機變量）連續(xù)型隨機變量X取任一實數(shù)的概率值取任一實數(shù)的概率值 為零為零. )(0)(:為任一實數(shù)即aaXP 注意注意: 5)表明求連續(xù)型隨機變量落在一個表明求連續(xù)型隨機變量落在一個 區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點的區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點的 情況。即情況。即 )()()(bXaPbXaPbXaP 隨機變量的分布函數(shù)、分布率、 密度函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？ 區(qū)別區(qū)別：分布函數(shù)數(shù)描述隨隨機變變量的取值規(guī)值規(guī)律， 隨隨機變變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)連續(xù) 型的；分布率只能描述離散型隨隨機變變量的 取值規(guī)值規(guī)律；密度函數(shù)數(shù)只能描述連續(xù)連續(xù)型隨隨機 變變量的取

37、值規(guī)值規(guī)律。 聯(lián)聯(lián)系： ()( )discrete random variables k P XxF x： ( )( )continuous random variablesf xF x： 例例1、已知連續(xù)型隨機變量已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 1, 1 10, 0, 0 )( 2 x xx x xF 求求(1) P(0. 3 X 0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)指數(shù) 分布分布。記為 0 ( ) 0 0 x ex f x x ( )XE 1 0 ( ) 0 0 x ex F x x 00 (|)P XttXt 0 0 () () P Xtt P Xt 0 0 1() 1()

38、 t F tt e F t ()P Xt X具有如下的無記憶性： 正態(tài)分布 定義：設X的概率密度為 其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為 可以驗算： 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xex ， 2 ( ,)XN ( )1f x dx + ( )f x dx 2 2 t Iedt 記 2 21 2 x t t edt 令 2 2 1 2 t edt 22 () 2 2 xy Iedxdy 2 2 2 00 r dredr 2I( )1f x dx 2 , 2 , 稱為位置參數(shù)(決定對稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性) max 2 1 ( ) 1 2

39、( ) 2 3 ( )0 ( ,) x f xx ff limf x XN 關于對稱 0 f x 1 x 55 0.5 1.0 f x x 1.5 0.798 0.399 0.266 0 X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 當固定時，越大，曲線的峰越低，落 在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一個指標。 在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量 服從或近似服從正態(tài)分布。 (0 1) ZNZ記， ，稱 服從標準正態(tài)分布 2 2 1 2 x Zxe 的概率密度： 2 2 1 ( ) 2 t x Zxedt 的分布函數(shù)： 1xx ( )yx ( )x ()x 0 y x xx )

40、 1 , 0(, ),( 2 N X NX 則定理：若 X Z證明：設 則則Z的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: ）（xZPxF)(）（x X P xXP 一般正態(tài)分布的標準化一般正態(tài)分布的標準化 )(x x t dte 2 2 2 )( 2 1 x zZ zde t 2 2 2 1 令 ) 1 , 0( N X 即： 重要結論： )() 1 (xXPxF )()()2( 1221 xFxFxXxP )()( 12 xx ) 1 , 0(),( 2 N X NX 則若 )( xX P )( x 例： 2 ( ,)XN ()() (1)( 1)2 (1) 10.6826 P XPX (2 )2 (2)

41、10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查書后附表 99.74% 32 68.26% 23 95.44% 例：一批鋼材(線材)長度 (1)若=100，=2，求這批鋼材長度小于97.8cm 的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長度至少 有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問至多取何值？ 2 () ( ,)X cmN (97.8)P X 解：(1) 97.8 100 () 2 1(1.1) 1 0.86430.1357 查附表 = 9710390%PX(2) 令： 103 10097 1003 ()()2 () 190% 即 3 ()0.95 3 1.645 1.823

42、7 例：設某地區(qū)男子身高 (1) 從該地區(qū)隨機找一男子測身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若從中隨機找5個男子測身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？ 2 ()(169.7,4.1 )X cmN (175)P X 解： (1) 5175(5, ), 0.0985 cmbp p (2) 設 人中有Y人身高大于，則Y 其中 175 169.7 1() 4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表 5 (1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 114 5 (1)(1)0.3253P YC pp mu=16

43、9.7; sigma=4.1; plarge175=1-normcdf(175,mu,sigma) plargeless1=1-binopdf(0,5,plarge175) plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175) plarge175 = 0.09806037254757 plargeless1 = 0.40311956686400 plargeequal1 = 0.32446915435455 編程畫出幾個正態(tài)分布的概率密 度和分布函數(shù)曲線 mu=10; sigma=3; x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma); y1=normp

44、df(x,mu,sigma); y2=normcdf(x,mu,sigma); figure(color,w) plot(x,y1,r,LineWidth,3) legend(Normal probability density function (pdf)m u=10 sigma=3) figure(color,w) plot(x,y2,g,LineWidth,3) legend(Normal cumulative distribution function (cdf) mu=10 sigma=3) ) 10()( zXP .分位點為標準正態(tài)分布的上的點 z 標準正態(tài)分布的上標準正態(tài)分布的上

45、 分位點分位點 1）定義：）定義：設設XN（0，1），稱滿足），稱滿足 z 陰影部分面陰影部分面 積為積為 001.0005.005.0 )3()2()1 (zzz例例5：求求 95. 005. 01)( 05. 0 z解： 57. 2 005. 0 z同理得 645. 1 05. 0 z查表得 10. 3 001. 0 z 編程計算例5的結果 X=norminv(p,mu,sigma) %p為累積概 率值，mu為均值，sigma為標準差，X 為臨界值，滿足：p=PXx。 因為例5是標準正態(tài)分布，所以mu0， sigma=1. P1，所以當分別取0.05, 0.005, 0.0 01時候，對應

46、的上分位點的標準正態(tài) 分布函數(shù)值分別為0.95，0.995, 0.999 mu=0; sigma=1; z0_05=norminv(1-0.05,mu,sigma) z0_005=norminv(1-0.005,mu,sigma) z0_001=norminv(1-0.001,mu,sigma) z0_05 =1.64485362695147 z0_005 =2.57582930354890 z0_001 =3.09023230616782 作業(yè)題（同濟大學） P47：12題、16題、 18題和24題 補充：實際應用中，如何求信號 的概率分布率 1、采樣 2、統(tǒng)計直方圖 3、頻率直方圖概率分布

47、率 求二維信號（圖像）的灰度概率分 布 頻率直方圖概率分布率 5 隨機變量的函數(shù)分布 問題：已知隨機變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。 一維隨機變量函數(shù)的分布一維隨機變量函數(shù)的分布 1. X離散離散 ,:)( 21k yyyXgY離散離散 )()( kk yXgPyYP )(關鍵關鍵反解反解GX )(GXP m iii xxxG, 21 如如 加法加法 使使 對應的對應的X的那些可能值的那些可能值, 其概率之和其概率之和 k yXg )( (1)先求出先求出Y的分布函數(shù)與的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)之間的關系：的分布函數(shù)之間的關系： )()Y()(yXgPyPyF Y )()( 11 ygFygXP X (2)再兩邊同時對再兩邊同時對y求導數(shù)求導數(shù)