26.1.5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(新人教版)

1、26.1.5 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 回顧：用待定系數(shù)法求解析式回顧：用待定系數(shù)法求解析式 已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（）和（-2，-12），求），求 這個(gè)一次函數(shù)的解析式。這個(gè)一次函數(shù)的解析式。 解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b, 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以 k+b=3 -2k+b=-12 解得解得 k=3，b=-6 一次函數(shù)的解析式為一次函數(shù)的解析式為y=3x-6. 例題：一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0）， （-1，-1），（1，9）

2、三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù) 的解析式。 解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c， 由已知條件可得： c=0 a-b+c=-1 a+b+c=9 解得：a=4,b=5,c=0 所求二次函數(shù)的解析式為y=4x2+5x 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式 求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是的解析式，關(guān)鍵是 求出待定系數(shù)求出待定系數(shù)a，b，c的值。的值。 由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的 坐標(biāo)）列出關(guān)于坐標(biāo)）列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出的方程組，并求出 a，b，c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式。就可以寫出

3、二次函數(shù)的解析式。 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 解：解： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c 由已知得：由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得：解方程得： 因此：所求二次函數(shù)是：因此：所求二次函數(shù)是： a=2, b=-3, c=5 y=2x2-3x+5 練習(xí)：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（練習(xí)：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，10）、）、 （1，4）、（）、（2，7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式. )0( 2 acbacbxaxy為常數(shù)，、一般式 練習(xí):已知關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)x=1

4、時(shí), 函數(shù)值為10,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值為4,當(dāng)x=2時(shí), 函數(shù)值為7,求這個(gè)二次函數(shù)的解析試. 由題意得：為解：設(shè)所求的二次函數(shù), 2 cbxaxy 724 4 10 cba cba cba 5, 3, 2cba解得， 532 2 xxy所求的二次函數(shù)是 )0( 2 acbacbxaxy為常數(shù)，、一般式 解：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為（解：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為（-1，-3），）， 所以，設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為所以，設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為 y=a(x1)2-3 例例2 已知拋物線的頂點(diǎn)為（已知拋物線的頂點(diǎn)為（-1，-3），與），與y軸軸 的交點(diǎn)為（的交點(diǎn)為（0，-5），求拋物線的解析式。），求拋物

5、線的解析式。 因?yàn)辄c(diǎn)（因?yàn)辄c(diǎn)（0，-5 ）在這個(gè)拋物線上，）在這個(gè)拋物線上， 所以所以a-3=-5， 解得解得a=-2 故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=-2(x1)2-3 即：即：y=-2x2-4x-5。 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式 頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)，為常數(shù)，a0). 若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上的另一個(gè) 點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通過設(shè)函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式 y=a(x-h)2+k. 練習(xí)1：已知拋物線的頂點(diǎn)是（1，2）且過點(diǎn)（2， 3)，求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式 又拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，3） a(2-1)

6、2+2=3，a=1 解： 拋物線的頂點(diǎn)是（1，2） 設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+2 y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3 )0()( 2 akhakhxay為常數(shù)，、頂點(diǎn)式 練習(xí)2： 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3） ，并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值4，求出對(duì)應(yīng)的二次 函數(shù)解析式； y=-7(x-3)2+4 也就y=-7x2+42x-59 )0()( 2 akhakhxay為常數(shù)，、頂點(diǎn)式 所以設(shè)所求的二次函數(shù)為所以設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)(x1) 例例3 已知拋物線與已知拋物線與X軸交于軸交于A（1，0），）， B（1,0）并經(jīng)過點(diǎn)）并經(jīng)過點(diǎn)M（0,1），求拋物線的解

7、析式？），求拋物線的解析式？ 又又 點(diǎn)點(diǎn)M( 0,1 )在拋物線上在拋物線上 a(0+1)(0-1)=1 解得：解得： a=-1 故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=- (x1)(x-1) 即：即：y=x2+1 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 解：因?yàn)閽佄锞€與解：因?yàn)閽佄锞€與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為A(1，0)，B(1，0) ， 交點(diǎn)式交點(diǎn)式 交點(diǎn)式交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)為常數(shù)a0） 當(dāng)拋物線與當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（x1,0）,(x2,0)時(shí)，時(shí)， 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉(zhuǎn)化

8、為交點(diǎn)式可以轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x- x1)(x-x2).因此當(dāng)拋物線與因此當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為軸有兩個(gè)交點(diǎn)為 （x1,0）,(x2,0)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x- x1)(x-x2)，在把另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，即，在把另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，即 可解得可解得a，求出拋物線的解析式。，求出拋物線的解析式。 交點(diǎn)式交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2). x1和和x2分別是拋物線分別是拋物線 與與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋 物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則直線物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則直線 就是拋物就是拋物 線的對(duì)稱軸線的對(duì)稱

9、軸. 2 21 xx x 所以設(shè)所求的二次函數(shù)為所以設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x+1)(x-3) 練習(xí)：已知拋物線與練習(xí)：已知拋物線與X軸交于軸交于A（-1，0），），B（3,0） 并經(jīng)過點(diǎn)并經(jīng)過點(diǎn)M（2,3），求拋物線的解析式？），求拋物線的解析式？ 又又 點(diǎn)點(diǎn)M( 2,3 )在拋物線上在拋物線上 a(2+1)(2-3)=3 解得：解得： a=-1 故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為y=-(x+1)(x-3)y=-(x+1)(x-3) 即：即：y=x2+2x+3 解：因?yàn)閽佄锞€與解：因?yàn)閽佄锞€與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為A(-1，0)，B(3，0) ， 交點(diǎn)式交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(

10、x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)為常數(shù)a0） 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 二次函數(shù)的解析式。 ）三點(diǎn)，求這個(gè)，），（，（ ），經(jīng)過（、一個(gè)二次函數(shù)的圖象 式。求這個(gè)二次函數(shù)的解析 時(shí)，與，當(dāng)函數(shù)值 時(shí)，變量、一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)自 9111 002 . 0 2 1 21 01 yxy x 應(yīng)應(yīng) 用用 例例4 4 有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大 高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系 里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 解：設(shè)拋物線的解析式為解：設(shè)拋物線的解析式為y=

11、ax2bxc， 根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點(diǎn)三點(diǎn) 可得方程組可得方程組 通過利用給定的條件通過利用給定的條件 列出列出a、b、c的三元的三元 一次方程組，求出一次方程組，求出a、 b、c的值，從而確定的值，從而確定 函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式 過程較繁雜，過程較繁雜， 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià) 設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x-20)216 解：解： 根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點(diǎn)點(diǎn)(0，0)在拋物線上，在拋物線上， 通過利用條件中的頂通過利用條件中的頂 點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn)點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn) 式求解，式求解， 方法比較靈活方法比較靈活 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià) 所求拋

12、物線解析式為所求拋物線解析式為 例例4 4 有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大 高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系 里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 應(yīng)應(yīng) 用用 設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=ax(x-40 ） 解：解： 根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點(diǎn)點(diǎn)(20，16)在拋物線上，在拋物線上， 選用兩根式求解，選用兩根式求解， 方法靈活巧妙，過方法靈活巧妙，過 程也較簡(jiǎn)捷程也較簡(jiǎn)捷 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià) 例例4 4 有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大 高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系 里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 應(yīng)應(yīng) 用用 )40( 25 1 y 25 1 )4020(2016 xx a a 所求拋物線解析式為 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法： 已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)的對(duì)應(yīng)值，已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)的對(duì)應(yīng)值， 通常選擇一般式通常選擇一般式