平面曲線的曲率PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 平面曲線的曲率平面曲線的曲率 12 問題在于問題在于: s s , 即兩弧段不等長即兩弧段不等長 （2）的弧段）的弧段AB的彎曲程度的彎曲程度 (1)的弧段的弧段 AB 的彎曲程度的彎曲程度 （b）?。┗ B 與與AB 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 相等，但相等，但A B 的彎曲的彎曲 程程 度度 AB的彎曲程度的彎曲程度 所以刻畫一段弧的彎曲程度應(yīng)考慮它的平均所以刻畫一段弧的彎曲程度應(yīng)考慮它的平均 彎曲程度才是合理的彎曲程度才是合理的 第1頁/共19頁 K s 稱為稱為 AB 的的平均曲率平均曲率 00 limlim ss KK s 稱為曲線在稱為曲線在 A 點的點的曲率曲率 絕對值稱為曲線在絕

2、對值稱為曲線在 A 點的曲率點的曲率 即當(dāng)即當(dāng) B 沿弧段趨于沿弧段趨于 A 點時，平均曲率的極限的點時，平均曲率的極限的 第2頁/共19頁 下面考慮如何計算曲率下面考慮如何計算曲率 K 解解 由于由于 = K s RR 1 曲曲 率率 00 11 limlim ss KK RR 求半徑為求半徑為R 的圓的平均曲率與曲率的圓的平均曲率與曲率例例 ,ABs 設(shè)設(shè)sR 則則 A B R 每一點都相等）并且與半徑每一點都相等）并且與半徑 R 呈倒數(shù)關(guān)系呈倒數(shù)關(guān)系 即圓在任一點處的曲率都是相等的（即彎曲程度即圓在任一點處的曲率都是相等的（即彎曲程度 第3頁/共19頁 一般地，設(shè)平面曲線為一般地，設(shè)平面

3、曲線為 )( )( : tyy txx L t 并假定并假定 x(t) , y(t) 在在 , 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) P A 在曲線在曲線 L上，取一定點上，取一定點 P，并選取曲線的一并選取曲線的一 方向作為曲線的正向方向作為曲線的正向 對于曲線上的一點對于曲線上的一點 A , 若若 PA 與曲線的正向一致，與曲線的正向一致， 反之取負值反之取負值 - - PA . 弧的概念：弧的概念： 而且是而且是 t 的單調(diào)函數(shù)的單調(diào)函數(shù) 于是于是 s = s(t) , t 則則 s 取正值取正值 PA ， x y 0 第4頁/共19頁 A B P A 即若曲線的正向與即若曲線的正向與 t 上升

4、描繪上升描繪 圖形的方向一致時圖形的方向一致時, s(t) 單調(diào)增加單調(diào)增加 , 反之反之 s(t) 單調(diào)減少單調(diào)減少 至此我們有下對應(yīng)關(guān)系至此我們有下對應(yīng)關(guān)系: As x y 0)(s s 則則 AB = s設(shè)設(shè) s 對應(yīng)于點對應(yīng)于點 A, s + s 對應(yīng)于對應(yīng)于B , 我們把切線上向著弧我們把切線上向著弧 s 增加的方向叫做切線的增加的方向叫做切線的 正方向正方向 (正切向正切向) 記切線記切線 A與與 x 軸正向的夾角為軸正向的夾角為 (s), 切線切線 B 與與 x 軸正向軸正向的夾角為的夾角為 (s+ s) ss B 第5頁/共19頁 )()(sss - s K s 0 lim s

5、 sss s )()( lim - 0 即曲即曲 率率 ds d K 由于由于 tany dx y y d 2 1) ( ) arctan(y 第6頁/共19頁 下面考慮計算弧微分下面考慮計算弧微分ds 設(shè)設(shè) A (x , y) , B (x+ x , y+ y) , B s x y 22 00 1lim ()lim() xx AB y xx 2 1() dy dx 22 2 )()(yxAB 則則 x y 0 A x x+ x 第7頁/共19頁 可以證明可以證明: 0 1lim x s AB 2 1 dy dx 22 0 lim x AB s x AB 22 0 ()lim () x dss

6、 dxx 所所 以以 2 1 dsdy dxdx (1) 所以所以 , 有有 第8頁/共19頁 若我們進一步約定若我們進一步約定 x 增加時增加時, 描繪圖形的方向描繪圖形的方向 為曲線的正方向為曲線的正方向(今后總是這樣約定今后總是這樣約定), 此時此時 0( ) , ds s x dx 所以有所以有 2 1 dsdy dxdx 式式 (2) 稱為稱為弧微分公式弧微分公式 (直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形) 2 1 dy dsdx dx (2) 即即 第9頁/共19頁 說明說明: (a) 從式從式 (2) 可得可得 222 )()()(dydxds（微分三角勾股定理）（微分三角勾股定理） x dy

7、 C Bs x y 0 A x x+ x 弧微分弧微分 ds 為為 斜邊斜邊AB 的長的長ABC 22 1 dxdy dsds 同時可得同時可得 22 ()()dsdxdy(3) 第10頁/共19頁 (b) 若曲線為參數(shù)方程若曲線為參數(shù)方程 ，則由，則由 ( ) ( ) xx t yy t ( ) , ( )dxx t dtdyy t dt (c) 若曲線若曲線 rr),( , 從從(4)可得以下可得以下 極坐標(biāo)情形的弧微分公式極坐標(biāo)情形的弧微分公式 從從(3) 可得以下可得以下參數(shù)方程情形的弧微分公式參數(shù)方程情形的弧微分公式 22 ( ) ( )dsx ty tdt (4 ) drrds 2

8、2 )( ()( (5) 第11頁/共19頁 設(shè)曲線由設(shè)曲線由bxa xfy),(給出給出 , f (x) 在在 a , b 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則則 dxyds 2 1) ( dx y y d 2 1) ( 得到直角坐標(biāo)情形的得到直角坐標(biāo)情形的曲率計算公式曲率計算公式 2 3 2 1) ( y y ds d K (3) 第12頁/共19頁 求曲線求曲線 在點在點 2 1ln()yxx 例例 處的曲率處的曲率 323(,ln()M 解解 222 11 1 111 () x y xxxx 2 32 3 2 211 ()() xx y xx - - - - 曲率曲率 33 22 2

9、2 12 ( ) () yx k yx 將將 代入得曲線在代入得曲線在 M 點的曲率點的曲率3x 315 25 5 5 k 第13頁/共19頁 , aey aex n n sin cos 將曲線表為參數(shù)方程將曲線表為參數(shù)方程:此時此時 )sincos( )sincos( nn nn enea neea d dx d dy dx dy - sincos sincos - n n 解解 )sincos( sincos sincossincos nn enea n nn - - - 2 22 d dx d dx dy d dx yd )( 2 2 求極坐標(biāo)方程為求極坐標(biāo)方程為 )(00n ,a ,

10、aer n 例例 的曲線上任一點處的曲率的曲線上任一點處的曲率 . 第14頁/共19頁 3 2 1 )sincos( - nae n n 所以曲率所以曲率 1 1 1 2 2 3 2 nae y y K n ) ( 實際應(yīng)用中，在曲線上一點處常用與此曲線實際應(yīng)用中，在曲線上一點處常用與此曲線 有相同曲率的圓來近似地代替曲線在這一點附近有相同曲率的圓來近似地代替曲線在這一點附近 的一段弧的一段弧 第15頁/共19頁 下面考慮曲率半徑的計算下面考慮曲率半徑的計算: ) ( y y K R 2 3 2 11 （直角坐標(biāo)情形）（直角坐標(biāo)情形） 定義定義如果一圓如果一圓 （2）與曲線在點）與曲線在點 A

11、 處有相同的凹凸性；處有相同的凹凸性； （3）與曲線在點）與曲線在點A處有相同的曲率處有相同的曲率 , 則稱這個圓為曲線在則稱這個圓為曲線在 A 點處的點處的曲率圓曲率圓，曲率圓的，曲率圓的 中中 （1）與曲線相切于點）與曲線相切于點 A 心叫做心叫做曲率中心曲率中心，曲率圓的半徑稱為，曲率圓的半徑稱為曲率半徑曲率半徑 如果曲線在如果曲線在A點處的曲率為點處的曲率為K，由于圓的曲率，由于圓的曲率 所以曲線在點所以曲線在點 A處的曲率半徑處的曲率半徑就是它的半徑的倒數(shù)就是它的半徑的倒數(shù) , 第16頁/共19頁 曲線曲線 y = f (x) 在原點處的曲率半徑為在原點處的曲率半徑為 )( )( ( 0 011 2 3 2 f f K R 由于由于 y =f (x) 在原點與在原點與 x 軸相切軸相切 f (0) = 0 )( 0 1 f R 設(shè)曲線設(shè)曲線 y=f(x)與與 x 軸相切于原點，又軸相切于原點，又f (x)在點在點x =0 xf x R x 2 2 0 lim 的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且且 f (x) 0， 試證明：試證明： 例例 證明證明 第17頁/共19頁 為了求出為了求出 f (0) 的表達式的表達式 , 我們利用泰勒公式我們利用泰勒公式 2 2 00 x f xffxf ! )(