層次分析法AHP Analytic Hierarchy ProcessPPT學習教案

1、會計學1 層次分析法層次分析法AHP Analytic Hierarchy Process 第1頁/共81頁 層次分析模型層次分析模型 背背 景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題 涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素 作比較判斷時人的主觀選擇起相當作比較判斷時人的主觀選擇起相當 大的作用，各因素的重要性難以量化大的作用，各因素的重要性難以量化 Saaty于于1970年代提出層次分析法年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結(jié)合的定性與定量相結(jié)合的 、系統(tǒng)化、層次化、系統(tǒng)化、層次化的分析

2、方法的分析方法 第2頁/共81頁 復雜的決策問題往往涉及許多因素，如社會、政治、經(jīng)濟、 科技乃至自然環(huán)境等，因此解決起來就比較困難，.層次分析法正是處理此類問題的有效方法.它首先提出了遞階層次結(jié)構(gòu)理論，然后給這種遞階層次結(jié)構(gòu)做出定量描述，通過排序理論得出滿足系統(tǒng)總目標要求的各個方案（或措施）的優(yōu)先次序。 美國運籌學家薩蒂（T.L.Saaty）于20世紀70年代初期提出了 一種簡便、靈活而又實用的多目標決策方法層次分析法 （Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP）.層次分析法為這類 多目標決策問題的決策提供了一種新的、簡潔而實用的建模方 法.它特別適用于那些難于完全定量

3、分析的問題。 備注頁：備注頁： 第3頁/共81頁 把定性方法與定量方法有機地結(jié)合起來，使復雜的系統(tǒng)被分解，把多目標、多準則又難以全部量化處理的決策問題化為多層次單目標問題。把定性方法與定量方法有機地結(jié)合起來，使復雜的系統(tǒng)被分解，把多目標、多準則又難以全部量化處理的決策問題化為多層次單目標問題。 解決問題所追求的總目標解決問題所追求的總目標 評價方案優(yōu)劣的準則評價方案優(yōu)劣的準則 決策問題的可行方案決策問題的可行方案 首先分析問題內(nèi)在因素間的聯(lián)系，首先分析問題內(nèi)在因素間的聯(lián)系， 并把它劃分為若干層次并把它劃分為若干層次: 層次分析法層次分析法: 然后給這種遞階層次結(jié)構(gòu)做出定量然后給這種遞階層次結(jié)構(gòu)

4、做出定量 描述，通過排序理論得出滿足系統(tǒng)描述，通過排序理論得出滿足系統(tǒng) 總目標要求的各個方案的優(yōu)先次序總目標要求的各個方案的優(yōu)先次序 第4頁/共81頁 目標層目標層 O(選擇旅游地選擇旅游地) P2 黃山黃山 P1 桂林桂林 P3 北戴河北戴河 準則層準則層 方案層方案層 C3 居住居住 C1 景色景色 C2 費用費用 C4 飲食飲食 C5 旅途旅途 一一. . 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟 例例. . 選擇旅游地選擇旅游地 如何在如何在3 3個目的地中按照景色、個目的地中按照景色、 費用、居住條件等因素選擇費用、居住條件等因素選擇. . 第5頁/共81頁 “選擇旅游地選擇旅游地”

5、思維過程的歸思維過程的歸 納納 將決策問題分為將決策問題分為3個層次：目標層個層次：目標層O，準則層，準則層C ，方案層，方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)各層元素間的關(guān) 系用相連的直線表示。系用相連的直線表示。 通過相互比較確定各準則對目標的權(quán)重，及各通過相互比較確定各準則對目標的權(quán)重，及各 方案對每一準則的權(quán)重。方案對每一準則的權(quán)重。 將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標 的權(quán)重。的權(quán)重。 層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來 完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。完成以上步驟，給

6、出決策問題的定量結(jié)果。 第6頁/共81頁 1135/13/1 1125/13/1 3/12/117/14/1 55712 3342/11 A ij jiijnnij a aaaA 1 , 0,)( 層次分析法的基本步層次分析法的基本步 驟驟成對比較成對比較 陣和權(quán)向陣和權(quán)向 量量 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺元素之間兩兩對比，對比采用相對尺 度度 設(shè)要比較各準則設(shè)要比較各準則C1,C2, , Cn對目標對目標O的重要的重要 性性 ijji aCC: A成對比較成對比較 陣陣 A是正互反陣是正互反陣 要由要由A確定確定C1, , Cn對對O的權(quán)向量的權(quán)向量 選選 擇擇 旅旅 游游 地地 第7

7、頁/共81頁 n nnn n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 712 42/11 A 成對比較的不一致情成對比較的不一致情 況況 ):(2/ 1 2112 CCa ):(4 3113 CCa ):(8 3223 CCa 一致比較一致比較 不一不一 致致 允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一致的允許范圍 考察完全一致的情況考察完全一致的情況 n wwwW,) 1( 21 jiij wwa/令 權(quán)向量),( 21 T n wwww 成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量 第8頁/共8

8、1頁 Awnw n nnn n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況 nkjiaaa ikjkij , 2 , 1, 滿滿 足足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣， 如如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對應(yīng)于的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量的歸一化特征向量可作為權(quán)向量 對于不一致對于不一致( (但在允許范圍內(nèi)但在允許范圍內(nèi)) )的成對比的成對比 較陣較陣A，建議用對應(yīng)于

9、最大特征根，建議用對應(yīng)于最大特征根 的特的特 征向量作為權(quán)向量征向量作為權(quán)向量w ，即，即 一致一致 陣性陣性 質(zhì)質(zhì) 成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量 max Aww 第9頁/共81頁 2 4 6 8 比較尺度比較尺度 aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取取 值值1,2, , 9及其互反數(shù)及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9 尺度尺度 1 3 5 7 9 ij a 相同相同 稍強稍強 強強 明顯強明顯強 絕對強絕對強 的重要性 ji CC : ji CC : aij = 1,1/2, ,1/9 的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學家認為成對比較的因素不宜超過心理學

10、家認為成對比較的因素不宜超過9個個 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27種比較尺度對若干實種比較尺度對若干實 例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn) ， 19尺度較優(yōu)。尺度較優(yōu)。 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：便于定性到定量的轉(zhuǎn)化： 成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量 第10頁/共81頁 一致性檢驗一致性檢驗對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍 已知：已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為 n 可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最

11、大特征根 n, 且且 =n時為一致時為一致 陣陣 1 n n CI 定義一致性指標定義一致性指標 : CI 越大，不一致越嚴重越大，不一致越嚴重 RI000.580.9021.411.451.491.51 n123456789 1110 為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入平均隨機一致性指標平均隨機一致性指標 RI隨隨 機模擬得到機模擬得到aij , 形成形成A，計算，計算CI 即得即得RI。 定義一致性比率定義一致性比率 CR = CI/RI 當當CR0.1時，通過一致性檢驗時，通過一致性檢驗 Saaty的結(jié)果如的結(jié)果如 下下 第11頁/共81頁 “選擇旅游地選擇

12、旅游地”中中 準則層對目標的權(quán)準則層對目標的權(quán) 向量及一致性檢驗向量及一致性檢驗 1135/13/1 1125/13/1 3/12/117/14/1 55712 3342/11 A 準則層對目標的準則層對目標的成對比較陣成對比較陣 最大特征根最大特征根 =5.073 權(quán)向量權(quán)向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 018.0 15 5073.5 CI 一致性指一致性指 標標 隨機一致性指標隨機一致性指標 RI=1.12 (查表查表) 一致性比率一致性比率 CR=0.018/1.12=0.0160.1 通過一致通過一致 性檢驗性檢驗

13、 第12頁/共81頁 組合權(quán)向量組合權(quán)向量 記第記第2層（準則）對第層（準則）對第1層（目標層（目標 ）的權(quán)向量為）的權(quán)向量為 T n www),( )2()2( 1 )2( 同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對第對第2層每一元素層每一元素(準則準則)的權(quán)向量的權(quán)向量 12/15/1 212/1 521 1 B 方案層對方案層對C1(景色景色) 的成對比較陣的成對比較陣 138 3/113 8/13/11 2 B 方案層對方案層對C2(費用費用) 的成對比較陣的成對比較陣 Cn Bn 最大特征根最大特征根 1 2 n 權(quán)向量權(quán)向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第13頁/共81頁 第第3

14、層對第層對第2層的計算結(jié)果層的計算結(jié)果 k )3( k w k k CI 1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.0030.00100.0050 3.002 0.682 0.236 0.082 2 3 0.142 0.429 0.429 3 3.009 0.175 0.193 0.633 4 3 0.668 0.166 0.166 5 組合權(quán)向量組合權(quán)向量 RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢均可通過一致性檢 驗驗 w(2) 0.26 30.4 750. 055 0.09 00.1 10 方案方案P1對目標的組合權(quán)重為對目標的組合權(quán)重為0.595 0.26

15、3+ =0.300 方案層對目標的組合權(quán)向量為方案層對目標的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)T 第14頁/共81頁 T n www),( )2()2( 1 )2( )2()3()3( wWw 組合組合 權(quán)向權(quán)向 量量 第第1層層O 第第2層層C1,Cn 第第3層層P1, Pm nkwww T kmkk , 2 , 1,),( )3()3( 1 )3( 第第2層對第層對第1層的權(quán)向?qū)拥臋?quán)向 量量 第第3層對第層對第2層各元素的權(quán)向?qū)痈髟氐臋?quán)向 量量 , )3()3( 1 )3( n wwW構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣 則第則第3層對第層對第1層的組合權(quán)向?qū)拥慕M合權(quán)向 量量 )2()

16、3() 1()()( wWWWw sss 第第s層對第層對第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量其中其中W(p)是由第是由第p層對第層對第 p-1層權(quán)向量組成的矩層權(quán)向量組成的矩 陣陣 第15頁/共81頁 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟 1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型 深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標準則或指標準則或指標方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。 2）構(gòu)造成對比較陣）構(gòu)造成對比較陣 用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構(gòu)造各

17、層對上一層每一因素的成對比較陣。尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。 3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗）計算權(quán)向量并作一致性檢驗 對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。 4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*） 組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。 第16頁/共81頁 如果層次如果層次B某些因素對于某些因素對于Aj單排序的一致性指標為單排序的一致性指標為CIj ，相應(yīng)的平均隨機一致性指標為，相應(yīng)的平均

18、隨機一致性指標為 RIj ，則層次總排序隨機一致性比率為：，則層次總排序隨機一致性比率為： m j jj m j jj a a 1 1 RI CI CR 類似地，當類似地，當 CR0.1時，認為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。時，認為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。 組合一致性檢驗組合一致性檢驗*： 第17頁/共81頁 二二. . 層次分析法的廣泛應(yīng)用層次分析法的廣泛應(yīng)用 應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配， 人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選人才選拔和評價，生產(chǎn)決策

19、，交通運輸，科研選 題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決 策層參與。策層參與。 構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判 斷力強的專家給出。斷力強的專家給出。 第18頁/共81頁 國家綜合實力國家綜合實力 國民國民 收入收入 軍事軍事 力量力量 科技科技 水平水平 社會社會 穩(wěn)定穩(wěn)定 對外對外 貿(mào)易貿(mào)易 美、俄、中、日、德等大國美、俄、中、日

20、、德等大國 工作選擇工作選擇 貢貢 獻獻 收收 入入 發(fā)發(fā) 展展 聲聲 譽譽 關(guān)關(guān) 系系 位位 置置 供選擇的崗位供選擇的崗位 例例1 國國 家實力分家實力分 析析 例例2 工作選工作選 擇擇 第19頁/共81頁 過河的效益過河的效益 A 經(jīng)濟效益經(jīng)濟效益 B1 社會效益社會效益 B2 環(huán)境效益環(huán)境效益 B3 節(jié)節(jié) 省省 時時 間間 C 1 收收 入入 C 2 岸岸 間間 商商 業(yè)業(yè) C 3 當當 地地 商商 業(yè)業(yè) C 4 建建 筑筑 就就 業(yè)業(yè) C 5 安安 全全 可可 靠靠 C6 交交 往往 溝溝 通通 C7 自自 豪豪 感感 C8 舒舒 適適 C 9 進進 出出 方方 便便 C1 0 美

21、美 化化 C1 1 橋梁橋梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D3 （1）過河效益層次結(jié)構(gòu)）過河效益層次結(jié)構(gòu) 例例3 橫渡橫渡 江河、海峽江河、海峽 方案的抉擇方案的抉擇 第20頁/共81頁 過河的代價過河的代價 A 經(jīng)濟代價經(jīng)濟代價 B1 環(huán)境代價環(huán)境代價 B3 社會代價社會代價 B2 投投 入入 資資 金金 C1 操操 作作 維維 護護 C 2 沖沖 擊擊 渡渡 船船 業(yè)業(yè) C 3 沖沖 擊擊 生生 活活 方方 式式 C4 交交 通通 擁擁 擠擠 C5 居居 民民 搬搬 遷遷 C6 汽汽 車車 排排 放放 物物 C7 對對 水水 的的 污污 染染 C8 對對 生生 態(tài)態(tài) 的的 破破 壞壞

22、C9 橋梁橋梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D2 （2）過河代價層次結(jié)構(gòu)）過河代價層次結(jié)構(gòu) 例例3 橫渡橫渡 江河、海峽江河、海峽 方案的抉擇方案的抉擇 第21頁/共81頁 待評價的科技成果待評價的科技成果 直接直接 經(jīng)濟經(jīng)濟 效益效益 C11 間接間接 經(jīng)濟經(jīng)濟 效益效益 C12 社會社會 效益效益 C13 學識學識 水平水平 C21 學術(shù)學術(shù) 創(chuàng)新創(chuàng)新 C22 技術(shù)技術(shù) 水平水平 C23 技術(shù)技術(shù) 創(chuàng)新創(chuàng)新 C24 效益效益C1水平水平C2 規(guī)模規(guī)模C3 科技成果評價科技成果評價 例例4 科技成科技成 果的綜合評果的綜合評 價價 第22頁/共81頁 三三. 層次分析法的若干問題層次分析

23、法的若干問題 正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量 是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接 近一致陣的程度？近一致陣的程度？ 怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？ 為什么用特征向量作為權(quán)向量？為什么用特征向量作為權(quán)向量？ 當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用當層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用 層次分析法？層次分析法？ 第23頁/共81頁 1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì) 定理定理1 1 正矩陣正

24、矩陣A 的的最大特征根最大特征根 是正單根，對應(yīng)是正單根，對應(yīng) 正特征向量正特征向量w，且，且 T kT k k ew eAe eA ) 1 , 1 , 1 (,lim 定理定理2 2 n階階正互反陣正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n , = n是是A為一致陣的充要條件。為一致陣的充要條件。 正互反陣的最大特征根是正數(shù)正互反陣的最大特征根是正數(shù) ，特征向量是正向量。，特征向量是正向量。 一致性指標一致性指標 定義合定義合 理理 1 n n CI 第24頁/共81頁 2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算 精確計算的復雜和不必要精確計算的復雜和不必

25、要 簡化計算的思路簡化計算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。 和法和法取列向量的算術(shù)平均取列向量的算術(shù)平均 14/ 16/ 1 412/ 1 621 A例 091. 0077. 01 . 0 364. 0308. 03 . 0 545. 0615. 06 . 0 w 089. 0 324. 0 587. 0 286. 0 974. 0 769. 1 Aw 009. 3) 089. 0 268. 0 324. 0 974.

26、 0 587. 0 769. 1 ( 3 1 列向列向 量歸量歸 一化一化 算術(shù)算術(shù) 平均平均 wAw 精確結(jié)果精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010第25頁/共81頁 根法根法取列向量的幾何平均取列向量的幾何平均 冪法冪法迭代算法迭代算法 1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，設(shè)置精度，設(shè)置精度 )()1(kk Aww 2) 計計 算算 n i k i kk www 1 )1()1()1( / 3）歸一化）歸一化 n i k i k i w w n 1 )( )1( 1 5) 計計 算算 簡簡 化化 計計 算算 4）若）若 ，停止，停止 ；否則，

27、；否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2 )()1( max k i k i i ww 第26頁/共81頁 3. 特征向量作為權(quán)向量特征向量作為權(quán)向量成對比較的多步累積效成對比較的多步累積效 應(yīng)應(yīng) 問題問題 一致陣一致陣A, 權(quán)向量權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj A不一致不一致, 應(yīng)選權(quán)向量應(yīng)選權(quán)向量w使使wi/wj與與 aij相相 差盡量?。▽λ胁畋M量?。▽λ衖,j)。 2 11 ),1( min n i n j j i ij niw w w a i 用擬合方法確定用擬合方法確定w 非線性非線性 最小二乘最小二乘 2 11 ),1( lnlnmin n i n j j i ij

28、niw w w a i 線性化線性化 對數(shù)最小二乘對數(shù)最小二乘 結(jié)果與根法相結(jié)果與根法相 同同第27頁/共81頁 按不同準則確定的權(quán)向量按不同準則確定的權(quán)向量 不同，特征向量有什么優(yōu)點不同，特征向量有什么優(yōu)點 。 成對比較成對比較 Ci:Cj (直接比較）直接比較） aij 1 1步強度步強度 )( )2(2 ij aA (2) 1 , n ijissj s aa a aisasj Ci通過通過Cs 與與Cj的比的比 較較 aij(2) 2步強步強 度度 更能反映更能反映Ci對對Cj 的強度的強度 步強度kaaA k ij k ij k ),( )()( 多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng) 體現(xiàn)體現(xiàn)多步

29、累積效應(yīng)多步累積效應(yīng) ), 1, )()()()( 00 nsaaaakkkji k js k is k js k is （或 定理定理1 1 w eAe eA kT k k lim 特征向量體現(xiàn)特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng) 當當k足夠大足夠大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的權(quán)的權(quán) 重重 求求Ak的行的行 和和 第28頁/共81頁 4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計 算算 完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián) 不完全層次結(jié)構(gòu)不完全層次結(jié)構(gòu) 設(shè)第設(shè)第2層對第層對第1層權(quán)向?qū)訖?quán)向 量量w(2)=(

30、w1(2),w2(2)T已已 定定 第第3層對第層對第2層權(quán)向量層權(quán)向量 w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0) T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已已 得得 討論由討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計算計算第第3層對第層對第1層權(quán)層權(quán) 向量向量w(3） ）的方法 的方法 貢獻貢獻O 教學教學C1科研科研C2 P2 P1P3P4 例例: 評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu) P1,P2只作教學只作教學, P4只作科只作科 研研, P3兼作教學、科研。兼作教學、科研。 C1,C2支配元素的數(shù)目不支配元素的數(shù)目不 等等 第29頁/

31、共81頁 )/(),( )2( 22 )2( 11 )2( 22 )2( 11 )2( wnwnwnwnw T 不考慮支配元素數(shù)目不等的影響不考慮支配元素數(shù)目不等的影響 )2()3()3( wWw 仍用仍用 計計 算算 支配元素越多權(quán)重越支配元素越多權(quán)重越 大大 用支配元素數(shù)目用支配元素數(shù)目n1,n2對對w(2)加權(quán)修加權(quán)修 正正 若若C1,C2重要性相同重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的評價應(yīng)為：公正的評價應(yīng)為： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用

32、再用 計計 算算 )2()3()3( wWw w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4 )T w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5) T T w nn ) 5/2 , 5/ 3 ( , 2, 3 )2( 21 支配元素越多權(quán)重越支配元素越多權(quán)重越 小小 教學、科研任務(wù)由上級安排教學、科研任務(wù)由上級安排 教學、科研靠個人積極性教學、科研靠個人積極性 考察一個特例：考察一個特例： 第30頁/共81頁 5. 殘缺成對比較陣的處理殘缺成對比較陣的處理 12/ 1/ 212/ 1 /21 13 31 ww ww C wCw 22/ 10 212/ 1 022 A wwA jim aji aji

33、a a i ij ijij ij , 1 , 0 , miA第第i 行中行中 的個的個 數(shù)數(shù) 12/1 212/1 21 A例 為殘缺元素為殘缺元素 輔助矩陣輔助矩陣 T w)1429. 0 ,2857. 0 ,5714. 0(, 3 第31頁/共81頁 6. 更復雜的層次結(jié)構(gòu)更復雜的層次結(jié)構(gòu) 遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和 支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。 更復雜的層次結(jié)構(gòu)：更復雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響層內(nèi)各元素間存在相互影響 或支配；層間存在反饋或循環(huán)?；蛑?；層間存

34、在反饋或循環(huán)。 制動制動底盤底盤車輪車輪方向盤方向盤發(fā)動機發(fā)動機減震裝置減震裝置 剎車剎車轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向運行運行加速性能加速性能 汽車行駛性能汽車行駛性能 汽車汽車1汽車汽車2汽車汽車n 例例 第32頁/共81頁 【例例】某地區(qū)教育部門為滿足教學需要，計劃購買某地區(qū)教育部門為滿足教學需要，計劃購買 一批電腦，有一批電腦，有 P1, P2, P3 三個品牌供選擇三個品牌供選擇. 可靠性高、價格低、服務(wù)好可靠性高、價格低、服務(wù)好3條準則對于總目條準則對于總目 標來說，優(yōu)先次序是：首先要可靠性高，其次要求標來說，優(yōu)先次序是：首先要可靠性高，其次要求 服務(wù)好，再次才是價格低。服務(wù)好，再次才是價格低。 已知已

35、知3種備選電腦中，品牌種備選電腦中，品牌P1的可靠性能較高的可靠性能較高 ，價格一般，服務(wù)一般；品牌，價格一般，服務(wù)一般；品牌P2的可靠性能最高，的可靠性能最高， 價格較貴，服務(wù)也是一般水平；品牌價格較貴，服務(wù)也是一般水平；品牌P3的可靠性稍的可靠性稍 低，但價格低，服務(wù)好。低，但價格低，服務(wù)好。 試用層次分析法確定此教育部門的選擇。試用層次分析法確定此教育部門的選擇。 第33頁/共81頁 解解1）建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型，如圖所示。）建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型，如圖所示。 圖 遞階層次結(jié)構(gòu)模型 第34頁/共81頁 2）構(gòu)造判斷矩陣。根據(jù)優(yōu)先次序，相對于總目標）構(gòu)造判斷矩陣。根據(jù)優(yōu)先次序，相對于總目標G

36、， 準則層各準則構(gòu)造判斷矩陣為準則層各準則構(gòu)造判斷矩陣為 在方案層，則根據(jù)已知情況得各判斷矩陣如下：在方案層，則根據(jù)已知情況得各判斷矩陣如下： 對準則對準則C1（可靠性高）來說，判斷矩陣為（可靠性高）來說，判斷矩陣為 第35頁/共81頁 對準則對準則C2（價格低）來說，判斷矩陣為（價格低）來說，判斷矩陣為 對準則對準則C3（服務(wù)好）來說，判斷矩陣為（服務(wù)好）來說，判斷矩陣為 第36頁/共81頁 3）層次單排序及其一致性檢驗）層次單排序及其一致性檢驗.用和積法計算判斷矩陣用和積法計算判斷矩陣 G-C最大特征根及其單排序權(quán)值的過程如下：在表最大特征根及其單排序權(quán)值的過程如下：在表4.19 中，先對

37、各列求和。中，先對各列求和。 各列經(jīng)過正規(guī)化，再求各行之和，并進行正規(guī)化，便得單排各列經(jīng)過正規(guī)化，再求各行之和，并進行正規(guī)化，便得單排 序權(quán)值，見表序權(quán)值，見表4.20.即單排序權(quán)重向量即單排序權(quán)重向量W= T )2605. 0 ,1061. 0 ,6334. 0( 第37頁/共81頁 計算判斷矩陣的最大特征根 max 7899. 0 3196. 0 9454. 1 2605. 0 1061. 0 6334. 0 133/1 3/115/1 351 AW 第38頁/共81頁 3 123 m ax 1 123 ()()()() 3333 1. 94540. 31960. 7899 3. 0386

38、. 30. 633430. 106130. 2605 i j i A WA WA WA W WWWW l = =+ =+= 創(chuàng) 判斷矩陣一致性檢驗：判斷矩陣一致性檢驗： max 3.03863 CI0.0193, RI0.58 13 1 n n C RC I/R I= 0. 0193/0. 58= 0. 0333 0. 10= 可見判斷矩陣可見判斷矩陣A-C具有滿意的一致性。具有滿意的一致性。 第39頁/共81頁 同理同理,可計算得到：可計算得到： 判斷矩陣判斷矩陣C1-P單排序權(quán)值及其一致性檢驗結(jié)果如下：單排序權(quán)值及其一致性檢驗結(jié)果如下： 判斷矩陣判斷矩陣C2-P單排序權(quán)值及其一致性檢驗結(jié)果

39、如下：單排序權(quán)值及其一致性檢驗結(jié)果如下： 第40頁/共81頁 判斷矩陣判斷矩陣C3-P單排序權(quán)值及其一致性檢驗結(jié)果如下：單排序權(quán)值及其一致性檢驗結(jié)果如下： 4）層次總排序）層次總排序.方案層方案層3個可行方案對準則層各準則的優(yōu)先個可行方案對準則層各準則的優(yōu)先 權(quán)重向量權(quán)重向量Vj (j=1, 2, 3)所構(gòu)成的矩陣為所構(gòu)成的矩陣為 ),( 321 VVVV = 0. 18180. 61540. 1868 0. 72730. 30770. 1578 0. 09090. 07690. 6554 驏 桫 第41頁/共81頁 3個可行方案對總目標的組合優(yōu)先權(quán)重向量為個可行方案對總目標的組合優(yōu)先權(quán)重向量

40、為 VWR T 321 ),(rrr 0. 18180. 61540. 1868 0. 72730. 30770. 1578 0. 09090. 07690. 6554 驏 桫 2605. 0 1061. 0 6334. 0 = = = T (0.2291, 0.5344, 0.2365) 因此因此 123 0.2291,0.5344,0.2365rrr 5）層次總排序的一致性檢驗如下：）層次總排序的一致性檢驗如下： 3 1 3 1 CICI0. 63340. 00000. 10610. 00000. 26050. 01470. 0038. RIRI0. 63340. 580. 10610.

41、580. 26050. 580. 58. jj j jj j w w = = =+= =+= 第42頁/共81頁 C I C R0. 0038/0. 580. 0066 R I = 從上述計算來看：由于 T = (0.2291, 0.5344, 0.2365) ,R 又逐層的一致性檢驗皆具有滿意的一致性，這就意味著 此問題采用層次分析法所得結(jié)論是：P2品牌電腦在綜合 分析中占優(yōu)勢，其次是P3品牌電腦、P1品牌電腦排在最后. 第43頁/共81頁 層次分析法的優(yōu)點層次分析法的優(yōu)點 系統(tǒng)性系統(tǒng)性將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思

42、維方式進行決策系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）； 實用性實用性定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題； 簡潔性簡潔性計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。 層次分析法的局限層次分析法的局限 囿舊囿舊只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案； 粗略粗略定性化為定量，結(jié)果粗糙；定性化為定量，結(jié)果粗糙； 主觀主觀主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。 第44頁/共81頁 【練習練

43、習】某市中心有一家商場，由于街道狹窄，經(jīng)常造成某市中心有一家商場，由于街道狹窄，經(jīng)常造成 交通堵塞，市政府決定解決這個問題交通堵塞，市政府決定解決這個問題.經(jīng)過有關(guān)專家會商研究，經(jīng)過有關(guān)專家會商研究， 制定出制定出3個可行方案：個可行方案： P 1: 在商場附近修建一座環(huán)形天橋；在商場附近修建一座環(huán)形天橋； P 2: 在商場附近修建地下人行通道；在商場附近修建地下人行通道； P 3: 搬遷商場。搬遷商場。 決策的總目標是改善市中心交通環(huán)境。決策的總目標是改善市中心交通環(huán)境。 根據(jù)當?shù)貙嶋H情況，專家組擬定根據(jù)當?shù)貙嶋H情況，專家組擬定5個子評價準則：個子評價準則： C1: 通車能力；通車能力； C

44、2: 方便群眾；方便群眾； C3: 基建費用不要太高；基建費用不要太高； C4: 交通安全；交通安全； C5: 市容美觀。市容美觀。 試對該市改善市中心交通環(huán)境問題提出決策建議。試對該市改善市中心交通環(huán)境問題提出決策建議。 第45頁/共81頁 圖4.12 層次結(jié)構(gòu)模型 1）建層次結(jié)構(gòu)模型）建層次結(jié)構(gòu)模型 第46頁/共81頁 （2）層次單排序及其一致性檢驗 對于總目標G，準則層各準則構(gòu)造判斷矩陣B (C) 如下： )0( max ()C W 求解最大特征值 及其對應(yīng)的特征向量 一致性檢驗： ，并進行 )(C W = T (0. 4593,0. 1928,0. 0951,0. 1928,0. 05

45、99) 第47頁/共81頁 )0( max =5.2067，CR=0.04610.1 通過一致性檢驗。 對于各準則，構(gòu)造方案層各方案的判斷矩陣 ( )P j B5 , 4 , 3 , 2 , 1j ( )， 求解優(yōu)先權(quán)重向量 ( )P j V5 , 4 , 3 , 2 , 1j ( 并進行一致性檢驗。 對于準則C1（通車能力），判斷矩陣 ( ) 1 P B 及其求解結(jié)果為 )， 第48頁/共81頁 對于準則C2（方便群眾），判斷矩陣 ( ) 2 P B 及其求解結(jié)果為 對于準則C3（基建費用），判斷矩陣 ( ) 3 P B 及其求解結(jié)果為 第49頁/共81頁 對于準則C4（交通安全），判斷矩陣

46、 ( ) 4 P B 及其求解結(jié)果為 對于準則C5（市容美觀），判斷矩陣 ( ) 5 P B 及其求解結(jié)果為 第50頁/共81頁 （3）總排序 ( )P j V 5 , 4 , 3 , 2 , 1j 方案層3個可行方案對準則層各準則的優(yōu)先權(quán)重向量 ()所構(gòu)成的35矩陣為 ( )( )( )( )( )( ) 12345 (,) PPPPPP VVVVVV= = 0. 4546 0. 6483 0. 6955 0. 1692 0. 1692 0. 4546 0. 2297 0. 2290 0. 3874 0. 3874 0. 0909 0. 1220 0. 0755 0. 4436 0. 443

47、6 驏 桫 3個可行方案對總目標的組合優(yōu)先權(quán)重向量為 T()() 123 ( ,)R PC r r rVW 第51頁/共81頁 0. 4546 0. 6483 0. 6955 0. 1692 0. 1692 0. 4546 0. 2297 0. 2290 0. 3874 0. 3874 0. 0909 0. 1220 0. 0755 0. 4436 0. 4436 驏 = 桫 0. 4593 0. 1928 0. 0951 0. 1928 0. 0599 驏 桫 3個可行方案對總目標的組合優(yōu)先權(quán)重向量為 T()() 123 ( ,)R PC r r rVW 0. 4546 0. 6483 0.

48、 6955 0. 1692 0. 1692 0. 4546 0. 2297 0. 2290 0. 3874 0. 3874 0. 0909 0. 1220 0. 0755 0. 4436 0. 4436 驏 = 桫 0. 4593 0. 1928 0. 0951 0. 1928 0. 0599 驏 桫 T (0.4426,0.3727,0.1847) 第52頁/共81頁 因此 123 0.4426,0.3727,0.1847rrr (4)總體一致性檢驗（留作練習）。 這表明3個可行方案的排序結(jié)果是：修建天橋為上策； 修建地下人行通道為中策；搬遷商場為下策。 第53頁/共81頁 第54頁/共81

49、頁 效益的合理分配效益的合理分配 11 321 xxx 4 5 7 32 31 21 xx xx xx 例例 甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元元 ， 甲丙合作獲利甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利元，乙丙合作獲利4元，元， 三人合作獲利三人合作獲利11元。又知每人單干獲利元。又知每人單干獲利1元元 。 問三人合作時如何分配獲利？問三人合作時如何分配獲利？ 記甲乙丙三人分配記甲乙丙三人分配 為為 ),( 321 xxxx 解不唯一解不唯一 (5，3， 3) (4，4， 3) (5，4， 2) 1, 321 xxx 第55頁/共81頁 )( 1 Ivx n i

50、i niivxi, 2 , 1),( 121212 ( )0 ()()(), v v ssv sv sss ,2, 1nI集合 (1) Shapley合作對策合作對策 滿足實函數(shù)，子集)(svIs I,v n人合作對策，人合作對策，v特征函特征函 數(shù)數(shù) ),( 21n xxxx n人從人從v(I)得到的分配，滿得到的分配，滿 足足 v(s) 子子 集集s的獲的獲 利利 第56頁/共81頁 ! )!1()!( )( n ssn sw niisvsvswx i Ss i , 2 , 1),()()( 公理化分析方公理化分析方 法法 s 子集子集 s中的元素數(shù)目，中的元素數(shù)目， Si 包含包含i的所

51、有子的所有子 集集 )( sw由由 s 決定的決定的“貢獻貢獻”的權(quán)的權(quán) 重重 Shapley 值值 )()(isvsv i 對合作對合作s 的的“貢獻貢獻 ” )(si Shapley（1953年）年）合作對策合作對策 參與者i隨機加入 聯(lián)盟S的概率 每位參與每位參與 者在博弈者在博弈 中的每個中的每個 可能聯(lián)盟可能聯(lián)盟 的期望邊的期望邊 際貢獻值際貢獻值 對稱性、有效性、加法公理對稱性、有效性、加法公理 第57頁/共81頁 三人三人(I=1,2,3)經(jīng)商中甲的分配經(jīng)商中甲的分配x1的計算的計算 1/3 1/6 1/6 1/3 )1()()(svsvsw )( sw s )1()(svsv

52、)1(sv )(sv 1 S 1 1 2 1 3 I 1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3 x1=13/3類似可得類似可得 x2=23/6, x3=17/6 )1()()( 1 1 svsvswx Ss 1 2 2 3 第58頁/共81頁 合作對策的應(yīng)用合作對策的應(yīng)用 例例1 污水處理費用的合理分污水處理費用的合理分 擔擔 20km38km 河流河流 三城鎮(zhèn)地理位置示意圖三城鎮(zhèn)地理位置示意圖 1 2 3 污水處理，排入河流污水處理，排入河流 三城鎮(zhèn)可單獨建處理廠，三城鎮(zhèn)可單獨建處理廠， 或聯(lián)合建廠或聯(lián)合建廠(用管道將污水用管道將污水 由上游城鎮(zhèn)送往下游城

53、鎮(zhèn)由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn)) Q1=5 Q3=5 Q2=3 Q污水量，污水量，L管道長度管道長度 建廠費用建廠費用P1=73Q0.712 管道費用管道費用P2=0.66Q0.51L 聯(lián)合建廠選在下游城鎮(zhèn)聯(lián)合建廠選在下游城鎮(zhèn) 第59頁/共81頁 230)3(,160)2(,230573) 1 ( 712. 0 CCC 35020566. 0)35(73)2 , 1 ( 51. 0712. 0 C 36538366. 0)53(73)3 , 2( 51. 0712. 0 C 46358566. 0)55(73) 3 , 1 ( 51. 0712. 0 C 460)3() 1 (CC 污水處理的污水處

54、理的5 種方種方 案案 1）單獨建廠）單獨建廠 620)3()2() 1 ( 1 CCCD總投資總投資 2）1, 2合合 作作 3）2, 3合合 作作 4）1, 3合合 作作 580)3()2 , 1 ( 2 CCD 總總投資投資 595) 3 , 2() 1 ( 3 CCD 總投資總投資 合作不會實現(xiàn)合作不會實現(xiàn) 第60頁/共81頁 55638) 35(66. 0 20566. 0)535(73) 3 , 2 , 1 ( 51. 0 51. 0712. 0 5 CD 5）三城）三城 合作總投合作總投 資資D5最小 最小, 應(yīng)聯(lián)合建廠應(yīng)聯(lián)合建廠 建廠費：建廠費：d1=73 (5+3+5)0.7

55、12=453 12管道費：管道費：d2=0.66 50.51 20=30 23管道費：管道費：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73 D5 城城3建議：建議：d1 按按 5:3:5分擔分擔, d2,d3由城由城1,2擔擔 負負 城城2建議：建議：d3由城由城1,2按按 5:3分擔分擔, d2由城由城1擔擔 負負 城城1計算：計算：城城3分擔分擔d1 5/13=174C(3), 城城2分擔分擔d1 3/13+d3 3/8 =132C(1) 不不 同同 意意 D5如何分擔如何分擔 ？ 230) 3( 160) 2( 230) 1 ( C C C 第61頁/共81頁 0)3()2()1(,0

56、)(vvvv 3 ,2, 1I集合 特征函數(shù)特征函數(shù)v(s)聯(lián)合聯(lián)合(集集s)建廠比單獨建廠節(jié)約的投建廠比單獨建廠節(jié)約的投 資資 ),( 321 xxxx 三三城從城從節(jié)約投資節(jié)約投資v(I)中得到的分配中得到的分配 40350160230)2 , 1 ()2() 1 ()21 (CCCv 64556230160230) 3 , 2 , 1 () 3 () 2() 1 ()( 0) 31 ( 25365230160) 3 , 2() 3 () 2() 32( CCCCIv v CCCv Shapley合作對合作對 策策 第62頁/共81頁 計算計算城城1從從節(jié)約投資中得到的分配節(jié)約投資中得到的

57、分配x1 )1()()(svsvsw )(sw s ) 1()(svsv ) 1(sv )(sv s1 1 2 1 3 I 0 40 0 64 0 0 0 25 0 40 0 39 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1 =19.7, 城城1 C(1)-x1=210.4, 城城2 C(2)-x2=127.8, 城城3 C(3)- x3=217.8 三城在總投資三城在總投資556中的分中的分 擔擔 x2 =32.1, x3=12.2 x2最大，如何解釋最大，如何解釋 ？ 第63頁/共81頁 合作對策的應(yīng)用合作對策的應(yīng)用 例例2 派別在團體中的權(quán)派別在團體中的權(quán)

58、 重重 90人的團體由人的團體由3個派別組成，人數(shù)分別為個派別組成，人數(shù)分別為40, 30, 20人。團體表決時需過半數(shù)的贊成票方可通過。人。團體表決時需過半數(shù)的贊成票方可通過。 1)()32()31 ()21 ( , 0)3()2() 1 (, 0)( Ivvvv vvvv 雖然雖然3派人數(shù)相差很大派人數(shù)相差很大 若每個派別的成員同時投贊成票或反對票，用若每個派別的成員同時投贊成票或反對票，用Shapley合作對策合作對策計算計算各派別在團體中的權(quán)重。各派別在團體中的權(quán)重。 3/1 321 xxx權(quán)重 團體團體 I=1,2,3，依次代表，依次代表3個派個派 別別 否則否則， 的成員超過的成員

59、超過 定義定義特征函數(shù)特征函數(shù) 0 45, 1 )( s sv 第64頁/共81頁 第65頁/共81頁 (1)!()! ,1, 2,n ! i iS SnS vi n ， 公司投票 選舉 第66頁/共81頁 股東1可以起決定性作用的贏的聯(lián)盟只有 兩個：1，2，3和1，4，故 類似地， 1 12211 446 ！ ！ ！ ！ ！ 234 .,.,., 第67頁/共81頁 1 1 1 1 ( , ) 6 6 6 2 第68頁/共81頁 American born on June 2, 1923 1953 received a Ph.D. from Princeton University A Va

60、lue for n-person Games Professor Emeritus at Departments of Mathematics and Economics ，University of California, Los Angeles Lloyd Shapley （1923-） 第69頁/共81頁 優(yōu)點：優(yōu)點：公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。 如如n個單位治理污染個單位治理污染, 通常知道第通常知道第i方單獨治理的投資方單獨治理的投資yi 和和n方共同治理的投資方共同治理的投資Y, 及第及第i方不參加時其余方不參加時其余n-1方的投資方的投資zi (i=1,2