芻議教師理解數(shù)學的幾個維度

1、文檔來源為:從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持芻議教師理解數(shù)學的幾個維度李 祎(福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院3 5 0 1 0 8 )高水平的數(shù)學教師在教學時，應能做到“深入淺出” 能否“深入” ，取決于教師的數(shù)學水平；在“深入”的基礎上，能否“淺出” ，則取決于教師的教學水平數(shù)學教師的數(shù)學水平，主要表現(xiàn)為教師對數(shù)學的通透理解上1 理解數(shù)學的重要意義數(shù)學教學的優(yōu)劣，應以學生能否學好數(shù)學為宗旨.但在目前教師培訓和研修中， 過分倚重于教學理念和方法， 而數(shù)學學科知識則受到冷落 許多教師往往對教學方法研究情有獨鐘： 研究教學導入的藝術， 研究指導探究的藝術， 研究練習設計的藝術但

2、作為一名數(shù)學教師，卻唯獨忘了研究那些貌似簡單卻內(nèi)涵深刻的中小學數(shù)學知識.“木桶效應”表明， 一位教師某方面素質的缺失， 就會影響其全部能力的發(fā)揮作為一名數(shù)學教師，需要經(jīng)常不斷地反問自己： “我懂數(shù)學嗎？” “怎樣成為一名懂數(shù)學的數(shù)學教師？”以其昏昏，使人昭昭，必然要誤人子弟因為數(shù)學教師的數(shù)學理解水平，直接決定了學生的數(shù)學理解水平，影響到學生的數(shù)學能力的發(fā)展在目前的數(shù)學教學中，存在著一種“會而不懂”的現(xiàn)象，即學生會機械做題，但不太理解數(shù)學，數(shù)學學習演變成了一種形式化的、無意義的、機械式的解題訓練 一些學生學習了多年數(shù)學，但并沒有真正理解數(shù)學是什么，心中仍充滿許多疑惑：為什么。不能作為除數(shù)？為什么

3、計算時要先乘除后加減？等等 丘成桐教授曾與一群高考數(shù)學尖子生見面和對話， 結果卻令他頗為失望： “大多數(shù)學生對數(shù)學根本沒有清晰的概念，對定理不甚了了，只是做習題的機器 ”在他來看，這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學人才曾在2 0 0 1年獲得國家最高科技獎的“雜交水稻之父”袁隆平院士說過：“我最喜歡外語、 地理、 化學， 最不喜歡數(shù)學， 因為在學正負數(shù)的時候， 我搞不清為什么負負相乘得正，就去問老師， 老師說 你記得就是 ； 學幾何時， 對一個定理有疑義， 去問， 還是一樣回答 我由此得出結論，數(shù)學不講道理，于是不再理會，對數(shù)學興趣不大，成績不好” 數(shù)學真的原本就是這樣？還是教師的教學使然？答

4、案顯而易見所以通過提高教師的數(shù)學理解水平，克服和解決“會而不懂”現(xiàn)象，勢在必行，刻不容緩2 理解數(shù)學的幾個維度2.1 厘清“是什么”教學首先要解決“教得對不對”的問題，再解決“教得好不好”的問題數(shù)學教師要善于深入挖掘和剖析教材，仔細揣摩，反復琢磨，窮根究底，深及精髓，力求獲得對教材內(nèi)容的透徹理解，切實把握教材內(nèi)容的內(nèi)涵與外延只有把握得準、鉆研得深，才能站得高、講得透浮光掠影，淺嘗輒止，一知半解，不求甚解，這樣是無法駕馭教材內(nèi)容的為此，教師要積極開展數(shù)學知識的補償教育， 不僅是為了補償以往尚未清楚的數(shù)學內(nèi)容， 更是為了養(yǎng)成從數(shù)學科學的視角審視課程內(nèi)容的思維習慣，切實避免出現(xiàn)科學性的錯誤比如在概率

5、論中， 對于基本事件的認識， 我們在教研活動中發(fā)現(xiàn)， 一線教師有兩種不同的聲音： 有的人認為基本事件是絕對的， 而有的人認為是相對的 在依照基本事件的定義 (在一個特定的隨機試驗中， 稱每一個可能出現(xiàn)的結果為一個基本事件) 難以獲得對基本事件的確切理解的情況下， 通過查閱資料和求教專家便不難知道， 其實基本事件的確定依賴于樣本空間的構造 對于同一個隨機試驗， 分析問題時選取不同的角度， 就會得到不同的樣本空間，相應的基本事件也會各不相同 比如投擲一枚骰子， 求正面出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)的概率 若記事件A 為“正面出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，用e 1 ( 1 C 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 )

6、表示“正面出現(xiàn)的點數(shù)為i ”這一基本事件，那么基本事件的空間= el, e 2 , e 3 , e 4 ,e 5 , e 6 ,共包含6個基本事件，此時事件A包含了 el, e 3 , e 5這3個基本事件，故P (A) = 3 6 = 1 2 .如果把這一隨機試驗的結果看成是由“正面出現(xiàn)的點數(shù)為奇 數(shù)”(即事件A)、“正面出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”(記為“事件A ”)這兩個基本事件構成的， 此時= A, A ，故P (A) = 1 2 .解法不同，但殊途同歸.因此，基本事件是 相對的，而不是絕對的又如對于概率的統(tǒng)計定義， 大多數(shù)教材中是這樣進行描述的： 在大量重復試驗中， 如果 事件A發(fā)生的頻率科n

7、 n會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=P” .在這一定義中，頻率穩(wěn)定于概率，是否意味著頻率的極限是概率？即科n n穩(wěn)定于p 是否能寫成1 i m n-8科n n = p ?實際上，事實并非如此，比如在n次實驗中事件A 發(fā)生n次是有可能的，此時(in = n,=1,從而對0 V e V 1 p ,不論N多么大，都不可能得到當n N 時，有科n n -p 成立.亦即在某些場合下，事件(科 n n -p Re)是有可能發(fā)生的，不過當n 很大時，其發(fā)生的可能性很小.例如，對上 面的(in = n,有 P (in(n =l)=pn.顯然，當 n 時，p (in(n =1)= pn0.

8、故“(inn 穩(wěn)定于 p ”,是說對任意 e 0 ,有 1 i m n 0 P ( | n n 一p 0的解釋，有些人認為是為了使x R,這顯然是沒有深入思考而做出的一種錯誤判斷.其實，對指數(shù)函數(shù)y = a x規(guī)定a 0 ,是因為當自變量x連續(xù)變化時，若a是負數(shù)，比如a =- 3 ,那么y = （ 3 ） x具有太多的不確定性.有 時有定義，如（3）2 = 9;有時沒意義，如（3） 一（在實數(shù)范圍內(nèi)）；有時是正數(shù)，如（3） 2 = 9;有時是負數(shù)，如（一3 ）3 = 2 7 ;有時還根本不知道它究竟是什么，如（一3 ） 榛2是正數(shù)還是負數(shù)？是有理數(shù)還是無理數(shù)？是實數(shù)還是虛數(shù)？再者，如果 a 0

9、 ,此時割線斜率A y A x 0 ,函數(shù)單調遞增； 否則， 函數(shù)單調遞減 該割線的斜率通過取極限， 就轉化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點處的切線斜率， 于是便可知：導數(shù)非負，函數(shù)單調遞增；導數(shù)非正，函數(shù)單調遞減華羅庚曾說道，在對書中每一個問題都經(jīng)過細嚼慢咽，真正懂得之后，就需要進一步把全書各部分內(nèi)容串連起來理解，加以融會貫通，從而弄清楚什么是書中的主要問題，以及各個問題之間的關 聯(lián)這樣就能抓住統(tǒng)率全書的基本線索，貫串全書的精神實質，從而實現(xiàn)知識理解的“由厚到薄”2 . 4 挖掘思想方法數(shù)學知識從總體上可分為兩個層次：一個稱為表層知識，包含概念、性質、法則、公式、公理、定理等基本內(nèi)容；另一個稱為深層知識，

10、主要指數(shù)學思想方法基本的數(shù)學思想方法猶如靈魂，統(tǒng)帥著知識結構體系，要真正理解數(shù)學的精髓，必需能透過表層知識認識到其間蘊含的思想方法如從小學階段開始，我們學習了長度、角度、面積、體積等多種幾何量，但只要把握了基本的度量思想，即“定義幾何量確定度量單位簡化算法”，就可以看出它們的某種相通性，就能從整體結 構上理解圖形度量，并進一步研究圖形性質如果說表層知識可以用文字和符號來記錄和描述， 那么思想方法只能通過思維來領會和運用 教 學中只有把思想方法與知識技能融于一體，這樣，思想方法有載體，知識技能有靈魂，才能真正幫助學生理解數(shù)學而且思想方法不可能經(jīng)歷一次就能正確認識并遷移，需要在長期的教學中，點點滴

11、滴地孕伏，斷斷續(xù)續(xù)的再現(xiàn)，若隱若明的引導，日積月累的強化，這樣才能使學生達到掌握的程度比如教師在教授概念、公式、性質的過程中，要引導學生主動參與結論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導過程，通過 不斷滲透相關的數(shù)學思想方法，從而使學生思維產(chǎn)生質的飛躍例如無論是初中對于一次函數(shù)、反比例函數(shù)性質的研究，還是高中對于函數(shù)的單調性和奇偶性、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等性質的研究，都運用了數(shù)形結合、從特殊到一般、分類討論等思想方法這些思想方法不依內(nèi)容而異，呈現(xiàn)出某種相通性它們看不見、摸不著，要使學生較好地掌握它們：一方面，教師在涉及到思想方法的關鍵處，要多留出時間讓學生進行獨立分析和思考，盡可能讓他們自己尋找和“發(fā)現(xiàn)”這

12、些思想方法，“逼迫”他們在面臨問題時學會“數(shù)形結合”，學會“分類討論”，學會“從特殊到一般”等，因為具體函數(shù)及其性質僅是學習的載體，通過知識學習掌握這些思想方法、具備這種能力，才是教學的重點和關鍵；另一方面，教師在教學中要有意識地使用一些提示語，使學生在潛移默化地領會思想方法的同時，盡可能使數(shù)學思想方法顯性化，使學生對思想方法 的學習和掌握，從自發(fā)走向自覺，從無意識默會走向有意識習得教學中不僅要深入挖掘宏觀意義的思想方法， 也要深刻領會具體解決問題的思想方法 當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型來“對題型，套解法”，這其實只是滿足于求解出答案，只有對思想方法理解透徹及融會貫通時，才能揭

13、示出問題實質，并提出新看法、巧解法比如在解題教學中，教師要善于通過“多解歸一”的方式，尋求不同解法的共同本質，乃至不同知識類別及思考方式的共性，上升到思想方法、哲理觀點的高度，從而不斷地抽象出具有共性的數(shù)學方法因為 _ 數(shù)學 知識的鞏固主要在于做題，但做數(shù)學題不僅要注意“一題多解”，更要注意“多解歸一“一題”之所以能 “多解” ， 往往就在于這些解法之間是有聯(lián)系的， 這些聯(lián)系之間是有規(guī)律可循的，通過 “多解” 后的“歸一”，讓學生能站在系統(tǒng)的高度看問題，進而升華到從哲學的角度認知世界，這樣就可以形成強大的認識力，由此獲得對數(shù)學的通透理解比如對于高中教材中正弦定理的證明，常見的有以下幾種不同的證

14、明方法：（1）作三角形底邊上的高線，以高作橋梁進行證明；（2）作三角形底邊上的高線，利用面積法進行證明；（3）作三 角形的外接圓來進行證明；（4）作三角形的角平分線，根據(jù)角平分線定理及角平分線性質定理進行 證明在具體教學中，究竟講幾種方法為好，常使任課教師感到困惑其實，問題的關鍵并不在于方 法的多與寡，而更在于能否透過不同解法，挖掘與提煉出更一般的思想方法，即不變量思想和化歸轉化思想 第一種證法是以高作為不變量來建立等量關系， 第二種證法是以面積作為不變量來建立等量關系， 第三種證法是以三角形的外接圓的直徑作為不變量來建立等量關系， 第四種證法是根據(jù)角平分 線性質定理中的線段相等來建立等量關系

15、 而在以上無論哪種方法的證明過程中， 都是通過添加輔助 線構造出了直角三角形， 利用直角三角形中三角函數(shù)的定義建立邊與角的關系， 而這就是數(shù)學中化歸 轉化思想的具體體現(xiàn)多法歸一歸出的“一”不變量思想與化歸轉化思想，就是數(shù)學中經(jīng)常用 到的重要數(shù)學思想，前者在建立等量關系時用到，而后者是矛盾轉化的基本方法2 . 5尋求多元表征知識表征是指信息在人腦中的儲存和呈現(xiàn)方式，它是個體理解知識的關鍵數(shù)學知識表征往往有多種方式，如有通過語義理解而獲得知識的本質屬性的語義表征，有通過各 種樣例來歸納和認識事物本質特征的樣例表征，有通過實物、模型、圖象或圖畫等來認識和理解數(shù)學 的形象表征等不同的思維方式將導致不同

16、的表征在不同的表征系統(tǒng)中建立不同表征形式，并在不 同表征系統(tǒng)之間進行轉換訓練， 可以強化學生對數(shù)學知識內(nèi)在本質的認識， 促進學生對數(shù)學的多角度 理解比如對于復數(shù)的學習，要認識到復數(shù)的本質，必須要知道復數(shù)是二元數(shù)，而實數(shù)是一元數(shù)二元_的復數(shù)不僅有數(shù)量意義，而且還有方向意義對復數(shù)的“數(shù)量加方向”這一本質屬性的理解，可以 通過多種表征方式來進行：用幾何形式表示復數(shù)時，它的意義是一個向量，其本質特征是向量的長度 和方向；用三角形式表示復數(shù)時，在 z = r(cos8 + isin8)中，r表示復數(shù)向量的長度， 8表示復數(shù)向量的方向；用代數(shù)形式表示復數(shù)，在 z = a + b i中，復數(shù)向量的長度是榛a

17、 2 + b 2，“ba”就表示了復數(shù)向量的方向.3在學習中能達到這樣的認識層次，就是對復數(shù)概念深刻理解的一種標志數(shù)學的主要表征形式是符號表征和圖形表征， 努力尋求兩種表征方式的轉換， 是理解數(shù)學的一種 重要方式一方面， 數(shù)學是抽象的， 理解數(shù)學的一種方式便是賦予其直觀意義 這里的 “直觀” ， 主要指 “幾 何直觀”.幾何直觀要借助于圖形或圖象來實現(xiàn).正如張廣厚所言：“抽象思維如果脫離直觀， 一般是很有限度的.在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握住問題的實質”. u：比如，對 于三角形的內(nèi)角和定理，不僅可以通過測量、剪拼、折疊等方法來獲得猜想，還可以通過直觀手段對 其進行理解.如圖1,

18、用橡皮筋構成ABC,其中頂點B、C為定點，A為動點.放松或拉伸橡皮筋后，考察點A變化時所形成的一系列的三角形根據(jù)其內(nèi)角的變化即可直觀地獲得和理解 該結論.還可以這樣理解和建構該結論：如圖2,假設一個人從A點出發(fā)，沿著逆時針方向經(jīng)過各個頂點，然后回到出發(fā)的 A點并轉向出發(fā)時的方向，這個人所轉過的角的和恰好是三角形的外角 和.由于剛好轉了一圈回到出發(fā)點，因此其外角和是3 6 0,故三角形的內(nèi)角和就是3 X 1 8 0 0 3 6 0 =180 .不難發(fā)現(xiàn)，這后一種方法可用來解釋任意凸多邊形的外角和與內(nèi)角和，因而 更為本質地反映了結論的內(nèi)在規(guī)律性但另一方面，數(shù)學學習也不能過分倚重幾何直觀，符號表征仍然是數(shù)學的基本表征，特別是對于高中階段的數(shù)學學習而言，應盡可能實現(xiàn)由圖形表征向符號表征的過渡比如，我們知道兩非零向量 所成角的大小，與這兩個向量的模長無關對這一結論的認知和理解，不僅可以通過“形”的方式， 還可以通過數(shù)的策略，即由ab=a b cos 8,變形可得c os 0 = a - b a b