采樣周期的選取

1、&1采樣周期的選取8-1-1采樣定理采樣定理也稱香農(Shannon定理，其結論如下：如果采樣角頻率 g(或頻率fj大于或等于2軸(或2論)，即 - 2 m(8-1)式中伽(或fm)是連續(xù)信號頻譜的上限頻率，見圖8-1,則經采樣得到的脈沖序列能無失真的再恢復到原連續(xù)信號.圖8-1連續(xù)信號頻譜從物理意義上來理解采樣定理那就是，如果選擇這樣一個采樣頻率，使得對連續(xù)信號所含的最高頻率來說，能做到在 其一個周期內采樣兩次以上，則在經采樣獲得的脈沖序列中將包含連續(xù)信號的全部信息.反之，如果采樣次數太少，即采樣周期太長，那就做不到無失真的再現原連續(xù)信號.8-1-2采樣周期的選取采樣周期To是數字控制系統(tǒng)設

2、計的一個關鍵因素，必須給以充分注意.工程實踐證明，采樣周期To根據表8-1給出的參考數據選取時，可以取得滿意的控制效果.對于隨動系統(tǒng)，采樣周期的選取在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標.在一般情況下，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應具有低通濾波特性，當隨動系統(tǒng)輸入信號的頻率高于其閉環(huán)幅頻特性的諧振頻率y時,信號通過系統(tǒng)將會很快衰減，而在隨動系統(tǒng)中，一般可近似認為，開環(huán)頻率響應幅頻特性的剪切頻率g與閉環(huán)頻率響應幅頻特性的諧振頻率y相當接近，即幅頻特性的諧振頻率 y.也就是說,通過隨動系統(tǒng)的控制信號的最高頻率分量yc，超過y的分量通過系統(tǒng)時將被大幅度的衰減掉.根據工程實踐經驗，隨動系統(tǒng)的采樣頻率 y可選為y =

3、 10wc(8-2)考慮到To=2n/ y，則按式(8-2)選取的采樣周期To與系統(tǒng)剪切頻率 y的關系為兀1T0(8-3)從時域性能指標來看，采樣周期To通過單位階躍響應的上升時間tr及調整時間ts可按下列經驗關系式選取，即T0Sr10 (8-4)T。二丄ts40(8-5)8-2車號保持牛十T表8信號保持是指期離散的參考數據序列轉換成(或恢復到)連續(xù)信號的轉換過程.用于控制過程采樣周期(s)流量1壓力5液面5這種轉換過程的元件稱為保持器.從數學意義上來講，保持器的任務是解決各采樣時刻之間的插值問題.8-2-1零階保持器零階保持器是在數字控制系統(tǒng)中應用最廣泛的且具有常值外推功能的保持器，用符號H

4、o來表示.也就是說,對于零階保持器有下式成立，即；n%.- :- p(8-6)式中a為常值，n的變化范圍是0存To.顯然，在no時，式(8-6)也成立,這時有；n%_ :- o(8-7)由式(8-6)及(8-7)求得；nT0二；nT0，0 _ ： To(8-8)式(8-8)說明零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器.它把前一個采樣時刻nTo的采樣值(0)不增不減的保持到下一個采樣時刻(n+1)T0到來之前的一瞬間.當下一個采樣時刻(n+1)To到來時，應以 n+1)T為常值繼續(xù)外推.也就是說,任何一個采樣時刻的采樣值只能作為常值保持到下一個相鄰的采樣時刻到來之前，其保持時間顯然是一個為采樣周期

5、To.零階保持器的輸出信號 (t)如圖8-2所示，它是高度為1,寬度為To的方脈沖.高度等零階保持器的時域特性gMt)如圖8-3(a)所不衰減;寬度等于To,說明零階保持器對采樣值于1,說明采樣值經過保持器既只能不增不減地保持一個采樣周期鼻由圖求得零階保持器的傳遞函數Gh(s)為oS由式求得零階保持器的頻率響應為1從圖8-2看到，經由零階保持器轉換得的連續(xù)信號 訶.平均地看5i由零階保持器轉換得到的連續(xù)信號(圖8-2中的點劃線特性)在 時間上要遲后于采樣前的連續(xù)-(0尋至s勺連續(xù)信號具有階梯形狀，它并不等于采樣前(8-9)號-或表明，這個遲后時間等于采樣周期的一半，即To/2. o8-2-2

6、階保持器2一階保持器是一種基于兩個采樣值列F(t)的保持器.線性外推函數的斜率為(8-1o)式中n二皿;l(o)與n + 1)To按線性外推規(guī)律保持脈沖序o JzTol；，而外推函數值為n% * n-1Tol nTo= nTo-TonTo t (n+1)To.基于線性外推規(guī)律得到的一階保持器的輸出信號H(t)示于圖8-4.根據輸出信號H(t)可求取一階保持器的時域特性gH(t),并由時域特性gH(t)求得相應的頻率響應為、2 5sin2To2 的遲后相移較零階保持器的遲后相移為大，其平均相移 .因此,數字控制系統(tǒng)普遍采用零階保持器.從式(8-12)可見，一階保持約等于零階保持器平均相-j 怦-

7、arctg 嵌)(8-14)(8-13)(8-15)8-3 Z變換8-3-1 Z變換1.設連續(xù)時間函數x(t)可進行拉氏變換，其象函數為X(s).考慮到t1則上式可寫成下列閉式，即1 z = 1 z4 . Z，補-： z .11 -z4zZ -1(8-18)式(8-15)所示X(z)稱為離散時間函數一脈沖序列x*(t)的Z變換，記為X(z)=Zx *(t).連續(xù)時間函數x(t)與相應的采樣脈沖序列x*(t)具有相同的Z變換，即Zxt ；=Z x t X z(8-16)2.求取離散時間函數一脈沖序列的變換有多種方法，下面舉例說明其中的三種.(1)級數求和法將式(8-15)寫成展開形式，即X z

8、=x0 xT0 z4 x 2T0 z - x nT z因為式中Z=Res所以條件|z|1意味著Z0這也就是單位階躍函數能進行拉氏變換的條件Tosee；：To(2)部分分式法設連續(xù)時間函數x(t)的拉氏變換X(s)為復變量s的有理函數，并具有如下形式M sNT其中M(s)及N(s)分別為復變量s的多項式,并且有degM(s) degN(s)以及degN(s)=n.將X(s)展開成部分分式和的形式，即X(s)八y s + s式中s N(s)的零點，即X(s)的極點;N為常系數;S矛由拉氏變換知，與 A/(s+s)項對應的原函數 Aei t ，又根據式1丁0十1 -ezA 1+ s 一zz尹Azz-

9、eiT0便可求得因此，函數x(t)的Z變換由相函數X(s)求得為(8-20)例2.試求取具有拉氏變換為as(s+a)的連續(xù)時間函數x(t)的Z變換.首先寫出x(t)的拉氏變換X(s)的部分分式展開式，即Z變換，即得連續(xù)時間函數x(t)的變換，即其次對上式逐項求取拉氏變換，得到 最后根據上列時間函數逐項寫出響應的X z令晟*fk(3)留數計算法已知連續(xù)時間函數x(t)的拉氏變換相函數X(s)及其全部極點Si(i=1,2,，則,x(t)的Z 變換可通過下列留數計算式求得，即res x Si k式中ri重極點s的個數;n彼此不等的極點個數.常用時間函數的Z變換及其相應的拉氏變換列入表8-1.例3.試

10、求取連續(xù)時間函數x(t)=丿t, t no的Z變換.解首先寫出x(t)的拉氏變換，即1X(s) 2s由上式求得X(s)的重極點si=O,其個數r=2,以及n=1.其次根據式(8-22)求取的Z變換，即(8-23) 8-3-2 Z變換的基本定理(1) 線性定理1設連續(xù)時間函數1 sz變換分別為分別為0a為常數或與 =O2 1時間t及復變量乙則有Toz(8-24)(8-25)(8-27)Z x1 t -X2X1 z _X2 z式(8-24)及(8-25)所表達的便是Z變換的線性定理.(2) 遲后定理設連續(xù)時間函數x(t)當t1式(8-27)所表達的便是Z變換的終值定理.8-3-3 Z反變換(1)

11、長除法將連續(xù)時間函數x(t)的Z變換X(z)展開成Z-1的無窮級數，即X z =x 0 訐；xT0 zJ x 2T0 z2- - x nT0 z(8-28)設象函數X(z)為復變量z的有理函數，即式中M z弋滬bmzN z=a0 az a2z，亠亠akZ;k _ m.通過分子多項式M(z)除以分母多項式N(z)的長除法,可得到具有式(8-28)所示形式的無窮級數.級數中z-n項系數x(nTo)(n=O,1,2,尸)將是采樣脈沖序列x*(t)的脈沖強度.因此,根據x(nT)(n=0,1,2，產)便可寫出原函數x*(t),即COx* t 八 x nT、t -nTn =0注意應用長除法求取式(8-2

12、8)所示無窮級數時，多項式M(z)及N(z)均需寫成z-1的升冪形式.例4試求取解由應用長除法求得的反變換x*(t).10zX z =-(z1lz2)X z =10z，30z，70z 150zz-1 z-21 -3z2z對照式(8-28)，由上得到X(0)=0X(T)=10X(2T0)=30X(3T)=70 因此，脈沖序列x*(t)可寫成x t =10 t-T030 t-2T070、t-3T0150 t-4T0(2)部分分式法由已知的象函數X(z)求出極點Z1, Z2,，zn,再將X(z)/z展開成部分分式和的形式，即x z Aiz y Z - Zj由X(z)/z求取X(z)的表達式X(z),

13、即n AzX z 八Z z最后,逐項的通過查Z變換表求取AjZ/(z-Zi)對應的Z反變換，并根據這些反變換寫出與象函數X(z)對應的原函數x*(t)，即(8-29)x t 八 Z 二-AZ :. tnT。n=0二一乙式中Z-1是對括號內的象函數求Z反變換的符號.的z反變換.試應用部分分式法求取x(z)=7將原式展開成部分分式和的形式，即10zz -1 z -2X z 1010;=+z z -1 z2X z - -10旦 10z1z2由上式求取，即通過查變換表，求得ZJZ最后,寫出對應的原函數為QOx t =10、-1 2n、t -nT。n=0其中xnT。=10-1 2n n =0,1,2,即

14、由此求得X(0)=0X(T)=10X(2T0)=30X(3T)=70(3) 留數計算法應用留數及算法求取已知X(z)的Z反變換，首先求取x(nT)(n=0,1,2,即)， res X 制八 resX z zn4 1其中留數和可寫為li乞 resX(z)、zn4=Wzz Ji X(-zn_1y 5 -1 ) dz式中Zi(i=1,2,為X(z)彼此不相等的極點，這些極點的總數為l; r,為重極點-的重復個數.其次由求得的x(nT0)可寫出與已知象函數X(z)對應的原函數一脈沖序列QOx t 八 x nT、t -nTn =0例6.試求取X(z)=z / (z- Y(z_1)2的Z反變換.解應用留數

15、及算法求取X(z)的Z反變換.首先根據已知的X(z),通過式(8-30)計算出x(nT).為此，由 X(z)求得其極點為n=y及Z2=1,其中Z1為單極點，即h=1, z為二重極點，即2=2.由式(8-30)計算出n 1z -z =1z 1二二 z最后，求得已知X(z)的Z反變換為zX(nW)(zz=100 八 + n 習口 nT、8-4脈沖傳遞函數Gz0 門。脈沖傳遞函數的定義是，輸出脈沖的序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比.如 圖8-5所示開環(huán)線性數字控制系統(tǒng)的連續(xù)部B分的脈沖傳Z I； “ t 廠；z脈沖傳遞函數G(z)可通過連續(xù)部分的傳遞函數G(s)來求取.圖8-6所示為線性數字控

16、制系統(tǒng)開環(huán)方框圖的三種形式.其中Go(s)為前向通道傳遞函數,H(s)為主反饋通道傳遞函數；圖(a)為單位反饋系統(tǒng)方框圖，圖(b)及(c)為非單位反饋 系統(tǒng)方框圖.下面分三種情況分析線性數字控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數.(1)串聯環(huán)節(jié)間無同步采樣開關隔離時的脈沖傳遞函數圖8-7(a)所示串聯環(huán)節(jié)間無同步采樣開關隔離時，其脈沖傳遞函數G(z)=c(z)/ (z由描述連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數G(s)與G2(s)的乘積G(s)G2(s)來求取記為G z =zG|SG2sl = G-|G2 z(8-33)設二串聯環(huán)節(jié)的傳遞函數分別為Gds)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.求取它們之間無同步采樣

17、開關隔離時的脈沖傳遞函數，按式(8-33)要求,首先計算G1 s G2 s -1 =1s 0.1s 1 s1s 10然后由G(z)=ZG1(s)G2(s)求得脈沖傳遞函數f1_40T xGSGGS仁1二金)對于圖(8-6)(a)所示單位反饋線性數字控制系統(tǒng)，其開環(huán)脈沖傳遞函數G z 二ZG。s z其中G(s)可以是若干(如m個)無同步采樣開關隔離的串聯環(huán)節(jié)的等效傳遞函數.在這種情況下，開環(huán)脈沖傳遞函數G(z)為G z 二ZU SG2 sGm sGm z(8-34)G z 二ZG。sH s IgH z對于圖(8-6)( b)所示非單位線性數字控制系統(tǒng)，其開環(huán)脈沖傳遞函數(2)串聯環(huán)節(jié)間有同步采樣

18、開關隔離時的脈沖傳遞函數圖8-7(b)所示串聯環(huán)節(jié)間有同步采樣開關隔離時，其脈沖傳遞函數G(z)=c(z)/ (z等于各串聯環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數G(z)與G2(z)之積，即G z = G1 z G2 z(8-35)其中G(z)=ZG1(s)及G2(z) =ZG2(s)分別由相應的傳遞函數 G1(s)及G2(s)求取.設圖8-7(b)中的G1(s)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s按式(8-35)求取它們之間有同步采樣開關隔離時的脈沖傳遞函數，首先需計算10zGi Z Z G1 SioT0z-eG2 z = z Gi s 1z1然后由式(8-35)求得脈沖傳遞函數為G z = Gi z G

19、2 z10z2z-1 z-e0T。s的有理分式，故不能(8-36)對于圖8-6(c)所示非單位反饋線性數字控制系統(tǒng)，由式(8-35)求得其開環(huán)脈沖傳遞函數為G z=ZG0 s 丨 Z H s 丨-G。z H z其中若Go(s)為若干個環(huán)節(jié)無同步采樣開關隔離時的串聯傳遞函數，則相應的Go(z)需按式(8-34)求取.(3)環(huán)節(jié)與零階保持器串聯時的脈沖傳遞函數設零階保持器的傳遞函數(1-&傾於以及另一串聯環(huán)節(jié)的傳遞函數為 G 2(s),它是復變量s的有理分式.顯然，在這種情況下，兩個串聯環(huán)節(jié)之間無同步采樣開關隔離.為求取總的脈沖傳遞函數，首先需要計算G s G11sG；ossQ2 Gss = 1一

20、弊少曇戶ssG1 s G2 s其中.由于不是復變量直接按式(8-33)來計算G1G2(z)，但由G SG2 s=：1 -eos G2 sig s -G2 seJos看出GsjGs)代表兩個時域特性的組合，其中G2(s)e-Tos是時域特性L-1g2(s)在具有時滯等于一個采樣周期To的遲后特性.因此，基于Z變換的遲后定理，求得環(huán)節(jié)G2(s)與零 階保持器串聯時總的脈沖傳遞函數為G )=&円蟲匕仗卩22)遼匕2仗)G2(s。s】= zG2 s l-ZG2 s l- z，Z G2 s 1式中/s.設與零階保持器串聯的環(huán)節(jié)的傳遞函數為gk其中k與a為常量.按式(8-36)求得環(huán)節(jié)G2(s)與零階保持

21、器串聯的脈沖傳遞函數為8-4-2線性數字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數G z二典型線性數字控制系統(tǒng)的方框圖如圖8-8所示.首先求取在控制信號r(t)作用下線性數字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數從圖8-8可寫出下列關系式：-z11 C(s)=Gf(s)G2(s)WWWe(s)(8-37)k： T0 -1 e0 z 1-eTo -：Toe：To 】：2 z-1 zdTo (s)=R(sY(s)由上列各式求得；s 二Rs G SG2 sH s ； s(8-38)其中(s)代表對偏差信號 (進行采樣所得脈沖序列的拉氏變換，也就是離散偏差的Z變換，即有；s(8-39)將式(8-39)代入式(8-38),并對式(

22、8-38)等號兩邊各項取Z變換，可得；z = R z - G1G2H z nz；z1R z _ 1G1G2H z由上式求得偏差信號對于控制信號的閉環(huán)脈沖傳遞函數為(8-40)考慮到czCzGiG；Gzz z R z _ 1 G1G2H z由式(8-40)求出被控信號對于控制信號的閉環(huán)脈沖傳遞函數為其次，求取在擾動信號f(t)單獨作用下線性數字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數，從圖8-8可寫出c z =G2 zF z G1G2 z ； zCz j怙2zzCzF z 1 G1G2 z H z由上列二式最終求得被控制信號對于擾動信號的閉環(huán)脈沖傳遞函數為對于單位反饋線性數字控制系統(tǒng)，由于，故式(8-40)(

23、8-42)分別變成例7. 試求取圖8-9所示線性數字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數.圖中1 _ eos/s為零階保持器的傳遞函數；k/s(s+a為連續(xù)部分的傳遞函數，k與a均為常數.z1Rz _1 GG zC zG1G2 zRz _1 G1G2 zC z =G2 zF z _1G1G2 zGz 川W 2耐T0解通過Z變換，根據開環(huán)傳遞函數G z 二Z G s 1= 1 zZ -一求取開環(huán)脈沖傳遞函數由式(8-37)求得給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為s qs + a )由于給定系統(tǒng)是單位反饋線性數字控制系 統(tǒng)，故由上式所示開環(huán)脈沖傳遞函數根據式(8-43)及(8-44)可求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數

24、為欽z) _c(2(z_i fz-e曲0 )R z _2z2 k :T0_1 e0_2 i e0z k 1 _ e_：丁0_ ：T0e：丁0*2一：丁018-5線性數字控制系統(tǒng)的時域分析C zk I To -1e：To z 1_/丁0 _ ： ToeE IR z _ ： 2z2k ：To_1e：To_：2ie：Toz k 1 _e=丁0_ ：Toe：To：2廠丁8-5-1線性數字控制系統(tǒng)的響應過程應用Z變換方法分析線性數字控制系統(tǒng)，需根據其閉環(huán)脈沖傳遞函數C(z)/R(z), 通過給定輸入信號的Z變換R(z)，求取被控制信號的Z變換C(z),最后經Z反變換求取被 控制信號的脈沖序列c*(t).

25、 c*(t )代表線性數字控制系統(tǒng)對給定輸入信號的響應過程.基于超調量Z，調整時間ts=2To(入為大于零的整數，To為采樣周期)為穩(wěn)態(tài)誤差等項性能指標，根據線性數字控制系統(tǒng)的響應過程c*(t)便可分析系統(tǒng)的動態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能.例8.試應用Z變換方法分析圖所示線性數字控制系統(tǒng).已知r(t)=1(t)以及參數k=1, a=1及采樣周期T=1s.解 將已知參數k=1, a=1以及采樣周期T0=1sec代入在例得到的關于閉環(huán)脈沖傳遞函數z)/R(z),C(z)/R(z)的表達式求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數為；zz2 -1.368z 0.368R z 一 z2 - z 0.632C z 0.368z 0

26、.264 2R z z -z 0.632求取給定系統(tǒng)r(t)=1(t)在作用下的單位階躍響應.為此將R(z)=z/(z-1)代入上列閉 環(huán)脈沖傳遞函數C(z)/R(z),求得被控制信號的Z變換 通過長除法將C(z)展成無窮級數形式，即20.368z0.264zC(z)=0.368z-1 +z-2+1.4z?3+1.4z?4+1.147z5 +0.895乙6+0.802乙7+0.868乙8+0.993乙9+1.077z-10+1.081z-11 +1.032z-12+0.981z-13+0.961z-14+0.973z-15+0.997z-16+1.015乙17+1.017刃8+1.0072刃9

27、+0.996乙20+基于z變換定義，由上式求得被控制信號c(t)在各采樣時刻的函數值c(nT0)(n=0,1,2,為)C(0)=0C(7T0)=0.802C(14T0)0.961C(T0)=0.368C(8T0)=0.868C(15T0)=0.973C(2T)=1C(9T0)=0.993C(16T0)=0.997C(3T)=1.4C(10T0)=1.077C(17T0)=1.015C(4T)=1.4C(11T0)=1.081C(18T0)=1.017C(5T0)=1.147C(12T0)=1.032C(19T0)=1.0072C(6T0)=0.895C(13T0)=0.981C(20T0)=0

28、.996根據上列c(nTo)(n=O,1,2,數値繪制的給定線性數字控制系統(tǒng)的單位階躍響應c*(t)如圖8-10所示從圖求得給定系統(tǒng)的單位階躍響應的超調量Z=40%,調整時間ts- 12s(以誤差小于5%計算).8-5-2線性數字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性數字控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差可通過誤差系數和輸入信號及其各階導數在采樣時刻上的數值來求取設線性數字控制系統(tǒng)響應理想單位脈沖8(t的響應誤差為K*e(t)，則該系統(tǒng)響應輸入脈沖序列的響應誤差為cdr t 八 r nT0t - nT0e* (t )= r (0 K(t)+ r(T K； (t -T。)+ r(2T。K(t - 2T。) +r(nT K；(t

29、nT )+響應誤差e (t)在采樣時刻的數值為enT 二r 0 K； n T r T K； n-1Tl-r 2T0 K；1-n -2 T 輛川 r nT K； 0-考慮到tr t在式(8-47)中，令 t=nT0 及 n=kT0,可得r (n -k T0 】=r(nTo )-kT r(nT )十丄(kT f r(nT0 ) 2!1丄(kTr(叭nT片m!將式(8-48)代入式(8-46),可得式中qQ I廣enTK； kT r nT -kTK； kT n%k=0 -1 kT 2K； kT ；nT -QO2 K； kTk=0-：1 m kT0 mKe kT0 r m nTGmK； kT9 少；術

30、0*；怖 -kTK；kT0 ； nTk =0QC(-im(kTmKe(kTo)kzP(8-50)系數Co,C!,C2,Cn,定義為線性數字控制系統(tǒng)的誤差系數.從式(8-49)可見，在已知誤差系數以及輸入信號及其各階導數情況下，便可求出在采樣時刻nT。上系統(tǒng)響應輸入信號r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)的數值ess(nTo).如果對于n=0,1,2, 各采樣時刻的 氐(0),氐(),es/2T), 都按式(8-49)計算出來,則可寫出線性數字控制系統(tǒng)響應輸入信號r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*s/t)oOess 八 ess nT。、t _nT。n z0下面介紹通過線性數字控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數e(Z

31、)計算誤差系數的方法.設12k悄 e Z =- :Z上=2Z亠 j：kZ(8-51)由于Z-1e(z)=K *t),故對上式取反變換，得到Ke t 0、t s t-T。： 2、t-2T。:kt -kT:廠 Ke kT0k =0,1,2,(8-52)式中將z =eTs代入式(8-51),可得：；Je Z Z/s -e S _：至* * :仝嘰心爪冷 取上式對s的各階導數，得到de s = _t0 l*磚-2-2eT0s 33eT0s ：kes 丨ds在上列各式中，令 s=0可得-er-T0：-1eJ0s J2：/ 飛2：% k2ke0s 丨dsa-.討二-1 mT0me*學口卞齊為一代齊_飛占皿

32、1 ds同理求得：Je 0戸：-0*2 亠 亠九QO八 Ke kTk=0d;(s【dss=0oOkTKe kTk=0dfe(s：dss -0八-1m kTo mKe kT0kO(8-53) 對比式(8-53)與式(8-50),求得mds(8-54) 式(8-53)便是計算線性數字控制系統(tǒng)誤差系數的比較實用的關系式.例9.試應用誤差系數法求取圖8-9所示單位反饋線性數字控制系統(tǒng)在參數 k=1, al 及采樣周期To=1s情況下響應輸入信號r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差.解 從例8求得圖8-9所示單位反饋線性數字控制系統(tǒng)在給定參數下的閉環(huán)誤差脈沖 傳遞函數為 、E(z) z2 1.368z +0.3

33、68eR(z)z2-z +0.632將T0s 及T=1代入上式，求得z =e冷和 E(z)e2s1.368es+0.368je z2s R(z)e-es+0.632根據O*e(s)及其導數d O*e(s)/ds, cPo*e(s)/ds2,由式(8-54)分別求得誤差系數5,6及c為C0 = 0C1 = 1 C2 = 1最后根據式(8-49)求得穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)在各采樣時刻上的數值 從上式可見，給定系統(tǒng)響應r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差esstn 0.5、t - nn =0,1,2,，二n=0為離散時間nT(T=1s)的函數,它說明穩(wěn)態(tài)誤差是隨時間的推移在增大，當t-x時，穩(wěn)態(tài) 誤差值e*

34、s/ x) s.&6 最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數1.在采樣過程中，通常稱一個采樣周期為一拍.在典型控制信號作用下，在各采樣時 刻上無穩(wěn)態(tài)響應誤差，且能在有限個采樣周期內結束響應過程從而完全跟蹤控制信號 的離散系統(tǒng)或數字控制系統(tǒng)，稱為最少拍或有限拍系統(tǒng).典型控制信號，如位置階躍，勻速與勻加速信號的Z變換分別為Z1t&丿T2z1 zJ1 32（1-z）essilim 1-z1 z R z-z=lim 1 -z 1 e z 0（1：Z =1：e ZC(z)=Q(z) R(z)其一般形式可寫成(8-55)其中a(z)為不含因子(1-z-1)的以z-1為變量的多項式.從最少拍系統(tǒng)相應控制信號，即 (5-5

35、5)無穩(wěn)態(tài)響應誤差，即(8-56 )角度要求閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數e(Z )具有(1-Z-1)v的因子.設(8-56)其中0 (Z是在Z=1處既無極點也無零點的Z-1有理分式.對于單位反饋系統(tǒng)，有(8-57)因此由(8-58)求得線性離散系統(tǒng)輸出c(t)的Z變換為C Z = 1 e Z 1 R Z C(z)= R(z)A(zF(z)(8-59)將式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60)從式(8-58)或(8-59)看出，為滿足線性離散系統(tǒng)響應典型控制信號的響應過程在最少化 Z -Z4 拍內結束從而達到完全跟蹤控制信號的要求，需使系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數 Oe(z )及(z所含Z-1項數最少.在式(8-56)中,若取0(z=1,便能滿足上述要求.這時，由式(8-56)及(8-57),可得(8-61)(8-62)這便是以無穩(wěn)態(tài)響應誤差且在最少拍內結束響應過程從而完全跟蹤控制輸入為標志的 最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數，其中幕指數與系統(tǒng)響應控制輸入的類型有關，例如相應位置階躍，勻速與勻加速輸入時，V分別取1 , 2, 3.2.下面分析最少拍系統(tǒng)相應位置階躍，勻速與勻加速等典型輸入時的情況.Z =1 一 1 Z八(1) 當 r(t)=1(t)，即1R zj 二1 z 二 亠 亠 z1 -Z其中A(z)=1及v =，取