概率統(tǒng)計及隨機過程：2-1 隨機變量的概念

1、第二章 隨機變量及其分布 1 利用條件概率求積事件的概率就是乘法公式 )0)()()(APABPAPABP )0)()()(BPBAPBPABP 推廣 )0)( )()( 121 12112121 n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP 乘法公式乘法公式 2 內內 容容 復復 習習 B1 B2 Bn AB1 AB2 ABn ji n i i BB B 1 )( 1 ji n i i ABAB ABA A 全概率公式與全概率公式與Bayes 公式公式 3 n i i ABPAP 1 )()()()( 1 i n i i BAPBP 全概率公式 Bayes公式 )(ABP k )( )

2、( AP ABP k n i ii kk BAPBP BAPBP 1 )()( )()( A n B意義：事件組 一般是導致 發(fā)生的所有可能的“原因” A B k B意義： 發(fā)生時，其原因是 的概率.A 對 有修正作用。 4 事件的獨立性事件的獨立性 定義 設 A , B 為兩事件，若 )()()(BPAPABP 則稱事件 A 與事件 B 相互獨立 q 四對事件BABABABA,;,;,;, 任何一對相互獨立，則其它三對也相互獨立 q 若, 0)(, 0)(BPAP 則“事件 A 與 事件 B 相互獨立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥” 不能同時成立 5 定義定義 三事件三事件 A, B,

3、 C 相互獨立相互獨立是指下面的關系式 同時成立： 注：1) 不能由關系式(1)推出關系式(2), 反之亦然 2)僅滿足(1)式時,稱 A, B, C 兩兩獨立 )()()( )()()( )()()( CPBPBCP CPAPACP BPAPABP (1) )()()()(CPBPAPABCP (2) A, B, C 相互獨立A, B, C 兩兩獨立 6 常利用獨立事件的性質計算它們的并事件 的概率 若 n 個事件 A1, A2, , An 相互獨立，則 )()( 21 1 n n i i AAAPAP n i i AP 1 )(1(1 )(1 21n AAAP n i i AP 1 )(1

4、 )(1 21n AAAP )( 1 n i i AP n i i AP 1 )(1 (1 7 n 重Bernoulli 試驗概型： AA,即可看作每次試驗有兩個可能的結果： 10,)(ppAP 設 Bernoulli 試驗概型試驗概型 每次試驗的結果與其他次試驗無關 稱為 這 n 次試驗是相互獨立的 將隨機試驗重復 n 次 每次試驗感興趣的事件為 A 8 一般地，若10,)(ppAP 則nkppCkP knkk nn , 2 , 1 , 0,)1 ()( n 重Bernoulli 試驗概型感興趣的問題為： 在 n 次試驗中事件 A 出現 k 次的概率，記為 )(kP n 9 第二章第二章 隨

5、機變量及其分布隨機變量及其分布 為了更好的揭示隨機現象的規(guī)律性并利用 數學工具描述其規(guī)律，引入隨機變量來描述隨 機試驗的不同結果 例例 拋擲一枚硬幣可能出現的兩個結果，也可以 用一個變量來描述 反面向上 正面向上 , 0 , 1 )(X 例例 電話總機某段時間內接到的電話次數，可用 一個變量 X 來描述 ( )0,1,2X 10 2.1 隨機變量的概念隨機變量的概念 定義 設E是一隨機試驗， 是它的樣本空間， 則稱 上的單值實值函數 X ( )為隨機 變量 隨機變量一般用 X, Y , Z ,或小寫希臘字母 , , 表示 )(X實數 按一定法則 若 隨機變量的概念隨機變量的概念 11 隨機變量

6、是R上的映射，這個映射具有 如下的特點： 定義域 : 隨機性 : 隨機變量X 的可能取值不止一個， 試驗前只能預知它的可能的取值但不能預知 取哪個值 概率特性 : X 以一定的概率取某個值或某些 值 12 A A X A , 0 , 1 稱 XA 為事件A 的示性變量 引入隨機變量后，用隨機變量的等式或不 等式表達隨機事件 在同一個樣本空間可以同時定義多個隨機 變量 隨機變量的函數一般也是隨機變量 可以根據隨機事件定義隨機變量 設 A 為隨機事件，則可定義 13 如，若用X 表示電話總機在9:0010:00接到 的電話次數， 100X 或 )100(X 表示“某天9:00 10:00 接到的電

7、話 次數超過100次”這一事件 則 14 再如，用隨機變量 反面向上 正面向上 , 0 , 1 )(X 描述拋擲一枚硬幣可能出現的結果, 則 ) 1)(X 正面向上 也可以用 反面向上 正面向上 , 1 , 0 )(Y 描述這個隨機試驗的結果 15 例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往 需要多個指標，例如，身高、體重、頭圍等 = 兒童的發(fā)育情況 X ( ) 身高 Y ( ) 體重 Z ( ) 頭圍 各隨機變量之間可能有一定的關系，也可能 沒有關系 即 相互獨立 16 隨機變量的分類隨機變量的分類 離散型隨機變量 非離散型隨機變量 其中一種重要的類型為 連續(xù)性隨機變量 任何隨機現象可 被 隨機

8、變量描述 借助微積分方法 深入討論 引入隨機變 量重要意義 17 定義了一個 x 的實值函數，稱為隨機變量 X 的分布函數，記為F ( x ) ,即 定義定義 設 X 為隨機變量, 對每個實數 x , 隨機事件 )(xX 的概率 )(xXP xxXPxF),()( 隨機變量的分布函數隨機變量的分布函數 18 分布函數的性質分布函數的性質 q F ( x ) 單調不減，即 )()(, 2121 xFxFxx q 1)(0 xF 且 0)(lim, 1)(lim xFxF xx q F ( x ) 右連續(xù)，即 )()(lim)0( 0 xFtFxF xt （為什么） 19 利用分布函數可以計算 )

9、()( )()()( aFbF aXPbXPbXaP )(1)(1)(aFaXPaXP （ ab （ )0()()(aFaFaXP )0()(aFbF )()0(aFbF )0()0(aFbF )(bXaP )(bXaP )(bXaP 請 填 空 20 )(xF 2/ 103/ 1xx 00 x 2/ 11x 設 隨機變量 X 的分布函數： 計算 ) 0(XP) 4/ 1(XP ) 4/ 1(XP ) 3/ 10 (XP ) 3/ 10 (XP ) 00 () 0 () 0(FFXP ; 3/ 103/ 1 例1 解 21 ; 012/712/7 (1/4)P X (1/4)P X (1/4)

10、 1(1/4)P XF (01/3)PX (01/3)PX . 3/23/ 13/ 1 (1/4)(1/40)FF (1/4)(1/4)P XP X 1 7/12 5/12 (1/3)(0)2/3 1/31/3FF (0)(01/3)P XPX 22 2.3 離散型隨機變量及其概率分布離散型隨機變量及其概率分布 定義 若隨機變量 X 的可能取值是有限多個或 無窮可列多個，則稱 X 為離散型隨機變量 描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即 , 2 , 1,)(kpxXP kk 離散型隨機變量的概念離散型隨機變量的概念 X k xxx 21 P k ppp 21 或 23 概率

11、分布的性質 q , 2 , 1, 0kpk 非負性 q 1 1 k k p 規(guī)范性 24 F( x) 是分段階梯函數，在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點， 在間斷點處有躍度 pk 離散型隨機變量的分布函數離散型隨機變量的分布函數 1 ()( )(0) ( )() kkkk kk pP XxF xF x F xF x ) )()()( xx k k xXPxXPxF xx k xx k kk pxXP)( 25 1 2 k k+1 o 1 o o o 1 p 2 p k p F(X) 26 例例1 設一汽車在開往目的地的途中需經過 4 盞 信號燈，每盞信號燈獨立地以概

12、率 p 允許 汽車通過。令 X 表示首次停下時已通過的 信號燈的盞數，求 X 的概率分布與 p = 0.4 時的分布函數。 出發(fā)地目的地 3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXP k 解解 4,)4( 4 kpXP 27 0 1 2 3 4 x x , 4 . 06 . 06 . 021 x , 6 . 010 x , 0 0 x ,4 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0 2 32 x ),4 . 04 . 04 . 01 (6 . 0 32 43 x 14x )(xF k pk 0 1 2 3 4 0.6 0.40.60.420.60.430.60.44 當4 . 0

13、p 28 0 1 2 3 4 x F( x) o o 1 o o o 29 概率分布或分布函數可用來計算有關事件的 概率 例例2 在上例中，分別用概率分布與分布函數計 算下述事件的概率： (13),(2)PXP X 1344. 06 . 04 . 06 . 04 . 0 32 1344. 06 . 04 . 06 . 04 . 0 32 )31 ( XP)3()2(XPXP解解 )31 ( XP) 1 ()3(FF或 30 (2)1(2) 1 (0)(1) 1 0.840.16 P XP X P XP X (2)1(2) 1(2)(2) 1(20)1 0.840.16 P XP X P XP X F 或 此式應理解為極限)(lim 2 xF x 31 例例3 一門大炮對目標進行轟擊，假定此目標必須 被擊中r 次才能被摧毀。若每次擊中目標的 概率為p (0 p 1), 且各次轟擊相互獨立， 一次一次地轟擊直到摧毀目標為止。求所需 轟擊次數 X 的概率分布。 解解P ( X = k ) = P ( 前 k 1次擊中 r 1次， 第 k 次擊中目標) pppC rkrr k )1 ( 11 1 rkrr k ppC )1 ( 1 1 , 1, rrk 32 注1)1 ( 1 1 rk rkrr k ppC 利用冪級數在收斂域內可逐項求導的性質 x x k k 1 1