2721相似三角形的判定(3個課時)

1、A BC A1 B1C1 A =A1，B =B1， C =C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 當當 時，時， 則則ABC 與與A1B1C1 相似，相似， 記作記作ABC A1B1C1。 要把表示對應角頂點的要把表示對應角頂點的 字母寫在對應的位置上。字母寫在對應的位置上。 注意注意 相似三角形相似三角形 對應角相等、對應邊成比例的三角形對應角相等、對應邊成比例的三角形 叫做相似三角形。叫做相似三角形。 A B C E D F 相似的表示方法相似的表示方法 符號：符號： 讀作：相似于讀作：相似于 相似比相似比 AB : A1B1 = BC : B1

2、C1 = CD : C1D1 = k 時，時， A BC A1 B1C1 則則ABC 與與A1B1C1 的相似比為的相似比為 k . 或或A1B1C1 與與ABC 的相似比為的相似比為 . 1 k 這兩個風箏圖形相似，觀察并思考：這兩個風箏圖形相似，觀察并思考： A B A A1 B1C1 大膽猜想，大膽猜想， 那么，那么， 若已知若已知ABA1B1， 能否得出能否得出ABC1 A1B1C1 ABA1B1 除了根據(jù)相似三角形的除了根據(jù)相似三角形的定義定義來判斷是否來判斷是否 相似，還有相似，還有其它的方法其它的方法嗎？嗎？ 理解相似三角形的判定方法理解相似三角形的判定方法 知識與能力知識與能力

3、 以問題的形式，創(chuàng)設(shè)一個有利于學生動手以問題的形式，創(chuàng)設(shè)一個有利于學生動手 和探究的情境，達到學會本節(jié)課所學的相似和探究的情境，達到學會本節(jié)課所學的相似 三角形的判定方法三角形的判定方法 過程與方法過程與方法 培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力，培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力， 使學生感悟幾何知識在生活中的價值使學生感悟幾何知識在生活中的價值 情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀 會應用相似三角形的兩個判定方法。會應用相似三角形的兩個判定方法。 怎樣選擇合格的判定方法來判定兩個怎樣選擇合格的判定方法來判定兩個 三角形相似。三角形相似。 抓住判定方法的條件，通過已知條件抓住判定方法的條件，通

4、過已知條件 的分析，把握圖形的結(jié)構(gòu)特點。的分析，把握圖形的結(jié)構(gòu)特點。 已知：已知：DE/BC，且，且D是邊是邊AB的中點的中點，DE交交 AC于于E . 猜想：猜想：ADE與與ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?并證明。并證明。 A B C D E 證明證明: 且且 A= A DE / BC 1 =B，2 =C ADE與與ABC的對應角相等的對應角相等 相似。相似。 1 2 三角形的中位線截得的三角形與原三角形相似，相似比三角形的中位線截得的三角形與原三角形相似，相似比 。 四邊形四邊形DBFE是平行四邊形是平行四邊形 DE=BF , DB= EF ADE ABC A B C D E F 過過E作作E

5、F/AB交交BC于于F 又又 DE / BC 又又 AD = DB AD = EF A =3， ， 2 =C ADE EFC DE = FC =BF， ADE與與ABC的對應邊成比例的對應邊成比例 2 3 AE=EC 1 2 AE AC 1 2 DE BC 1 2 ADAEDE ABACBC 1 2 已知：已知：DE/BC，ADE與與ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系? 猜想：猜想：ADE與與ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系? 相似。相似。 A BC D E F 當點當點D在在AB上任意一點時，上面的結(jié)論還成立嗎？上任意一點時，上面的結(jié)論還成立嗎？ 1 2 你能證明嗎？你能證明嗎？ 平行于三角形一邊的直線和

6、其他兩邊平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 知識要點知識要點 平行于三角形一邊的定理平行于三角形一邊的定理 A BC DE 即：即： 在在ABC中，中， 如果如果DEBC， 那么那么ADEABC A型型 你還能畫出其你還能畫出其 他圖形嗎？他圖形嗎？ 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩（或兩 邊的延長線）邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相 似。似。 DE A CB 延伸延伸 即：即： 如果如果DEBC， 那么那么ADEABC 你能證明嗎？你能證明嗎？

7、 X型型 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，平行于三角形一邊的直線截其它兩邊， 所得的所得的對應線段成比例對應線段成比例。 推論推論 A BC DE 即：即： 在在ABC中，中， 如果如果DEBC， 那么那么 , ADAEDE ABACBC , ADAE DBEC , DBEC ADAE , ABACBC ADAEDE （上比全，（上比全， 全比上）全比上） （上比下，下比上）（上比下，下比上） （下比全，全比下）（下比全，全比下） DBEC ABAC ，, ABAC DBEC AB C D E 相似具有傳遞性相似具有傳遞性 ADEABC M N 如果再作如果再作 MNDE ，共有多少對相似三

8、角形？，共有多少對相似三角形？ AMNADE AMNABC 共有三對相似三角形。共有三對相似三角形。 定義定義判定方法判定方法 全等全等 三角三角 形形 相似相似 三角三角 形形 回顧并思考回顧并思考 三角、三邊對三角、三邊對 應相等的兩個應相等的兩個 三角形全等三角形全等 三角對應相等三角對應相等, 三三 邊對應成比例的兩邊對應成比例的兩 個三角形相似個三角形相似 角邊角角邊角 A S A 角角邊角角邊 A A S 邊邊邊邊邊邊 S S S 邊角邊邊角邊 S A S 斜邊與直角邊斜邊與直角邊 H L 判定三角形相似，是不是也有這么多種方法呢？判定三角形相似，是不是也有這么多種方法呢？ 邊邊邊

9、邊邊邊 S S S 已知：已知： ABCA1B1C1. A1 B1C1 A BC 111111 . ABBCAC ABBCAC 求證：求證： 有效利用判定定理一去求證。有效利用判定定理一去求證。 探究探究1 證明：在線段證明：在線段 （或它的延長線）上截（或它的延長線）上截 取取 ，過點，過點D作作 ，交，交 于點于點E 根據(jù)前面的定理可得根據(jù)前面的定理可得 . 11 AB 1 ADAB 11 DEBC 11 AC 1111 ADEABC A1 B1C1 A BC DE 11 111111 ADAEDE ABBCAC 1 111111 , ABBCAC ADAB ABBCAC 1 AEAC ,

10、DEBC 111 ABCABC 1 ADEABC 又又 A1 B1C1 A BC DE 1 11111111 , AEDEBCAC BCBCACAC （SSS） 1111 ADEABC 如果兩個三角形的三組對應邊的比如果兩個三角形的三組對應邊的比 相等，那么這兩個三角形相似。相等，那么這兩個三角形相似。 知識要點知識要點 判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一 ABCA1B1C1. 111111 , ABBCAC ABBCAC 即：即： 如果如果 那么那么 A1 B1C1 A BC 三邊對應成比例，兩三角形相似。三邊對應成比例，兩三角形相似。 邊邊邊邊邊邊 S S S ABBCAC

11、ADDEAE ，求證： 求證：BAD=CAE。 A D C E B ABCADE BAC=DAE BACDAC =DAEDAC 即即BAD=CAE 已知：已知： 解：解： ABBCAC ADDEAE ， 邊角邊邊角邊 S A S 探究探究2 已知：已知： ABCA1B1C1. A1 B1C1 A BC 1111 , ABBC k ABBC 求證：求證： B =B1 . 你能證明嗎？你能證明嗎？ 如果兩個三角形的兩組對應邊的比相如果兩個三角形的兩組對應邊的比相 等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三 角形相似。角形相似。 知識要點知識要點 判定三角形相似的定理之

12、二判定三角形相似的定理之二 兩邊對應成比例，且夾角相等，兩邊對應成比例，且夾角相等， 兩三角形相似。兩三角形相似。 邊角邊邊角邊 S A S A1 B1C1 A BC ABCA1B1C1. 即：即： 如果如果 1111 , ABBC k ABBC B =B1 . 那么那么 大家一起畫一個三角形大家一起畫一個三角形 ，三個角分別為，三個角分別為60、 45、75，大家畫出的三角形相似嗎，大家畫出的三角形相似嗎?同桌的同桌的 同學，通過測量對應邊的長度進行比較。同學，通過測量對應邊的長度進行比較。 探究探究3 即：如果一個三角形的三個角分別與另一個三角形即：如果一個三角形的三個角分別與另一個三角形

13、 的三個角對應相等，那么這兩個三角形的三個角對應相等，那么這兩個三角形_。相似相似 一定需要三一定需要三 個角嗎？個角嗎？ 角邊角角邊角 A S A 角角邊角角邊 A A S 角角角角 A A A1 B1C1 A BC 已知：已知： ABCA1B1C1.求證：求證： A =A1，B =B1 . 你能證明嗎？你能證明嗎？ 如果兩個三角形的兩個角與另一個如果兩個三角形的兩個角與另一個 三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個 三角形相似。三角形相似。 知識要點知識要點 判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三 兩角對應相等，兩三角形相似。兩角對應相等，兩三角形相

14、似。 角角角角 A A A1 B1C1 A BC ABCA1B1C1. 即：即： 如果如果 那么那么 A =A1，B =B1 . 如果兩個三角形有一個內(nèi)角對應相等，如果兩個三角形有一個內(nèi)角對應相等， 那么這兩個三角形一定相似嗎？那么這兩個三角形一定相似嗎？ 一角對應相等的兩個三角形不一定相似。一角對應相等的兩個三角形不一定相似。 ACD CBD ABC 找出圖中所有的相似三角形。找出圖中所有的相似三角形。 “雙垂直雙垂直”三角形三角形 B D A C 有三對相似三角形：有三對相似三角形： ACD CBD CBD ABC ACD ABC 常用的成比例的線段：常用的成比例的線段： 常用的相等的角：

15、常用的相等的角： A =DCB ；B =ACD 2 ACAD AB 2 BCBD AB 2 CDAD DB AC BCAB CD B D A C 例題 已知：已知：DEBC，EFAB. 求證：求證：ADEEFC. A E F B C D 解解: DEBC，EFAB（已知）（已知） ADEBEFC （兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） AEDC（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） ADEEFC （兩個角分別對應相等的兩個三角形相似）（兩個角分別對應相等的兩個三角形相似） 相似三角形對應高的比等于相似比相似三角形對應高的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B

16、1 又又ADB = A1D1B1 =900 ADB A1D1B1（角角）（角角） 1111 ADAB k ADAB A1 B1C1 A BCD D1 證明：證明： 相似三角形對應角平分線的比等于相似比相似三角形對應角平分線的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1，BAC = B1A1C1 AD，A1D1分別是分別是BAC和和B1A1C1的角平分線的角平分線 BAD = B1A1D1 ADB A1D1B1（角角）（角角） 1111 ADAB k ADAB A1 B1C1 A BCD D1 證明：證明： 相似三角形對應中線的比等于相似比相似三角形對應中線的比等于相似比 A1 B1C1 A

17、 BCD D1 1111 ADAB k ADAB 探究探究4 已知：已知： ABCA1B1C1. 1111 , ABBC k ABBC 求證：求證： 你能證明嗎？你能證明嗎？ H L A B C A1 B1C1 RtABC 和和 RtA1B1C1. 如果一個直角三角形的如果一個直角三角形的斜邊斜邊和一條和一條直角直角 邊邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊 對應成比例，對應成比例， 那么這兩個直角三角形相似。那么這兩個直角三角形相似。 知識要點知識要點 判定三角形相似的定理之四判定三角形相似的定理之四 H L A B C ABCA1B1C1. 即：即： 如

18、果如果 那么那么 A1 B1C1 1111 , ABBC k ABBC RtABC 和和 RtA1B1C1. 1. 相似圖形三角形的判定方法：相似圖形三角形的判定方法： 通過定義通過定義 平行于三角形一邊的直線平行于三角形一邊的直線 三邊對應成比例三邊對應成比例 兩邊對應成比例且夾角相等兩邊對應成比例且夾角相等 兩角對應相等兩角對應相等 兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 （三邊對應成比例，三角相等）（三邊對應成比例，三角相等） （SSS） （AA） （SAS） （HL） 對應角相等。對應角相等。 對應邊成比例。對應邊成比例。 對應高的比等于相似比

19、。對應高的比等于相似比。 對應中線的比等于相似比。對應中線的比等于相似比。 對應角平分線的比等于相似比。對應角平分線的比等于相似比。 2. 相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)： （1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等邊三角形都相似。）所有的等邊三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。 （5）有一個角是）有一個角是100 的兩個等腰三角形都相似。的兩個等腰三角形都相似。 （6）有一個角是）有一個角是70 的兩個等腰三角形都相似。的兩個等腰三角形都相似。 （7）若兩個

20、三角形相似比為）若兩個三角形相似比為1，則它們必全等。，則它們必全等。 （8）相似的兩個三角形一定大小不等。）相似的兩個三角形一定大小不等。 1. 判斷下列說法是否正確？并說明理由。判斷下列說法是否正確？并說明理由。 2. ADBC于點于點D， CEAB于點于點 E ，且，且 交交AD于于F，你能從中找出幾對相似三角形？，你能從中找出幾對相似三角形？ B C A E D F 50 30 100 30 30 3. 下面兩組圖形中的兩個三角形是否相似？為什么？下面兩組圖形中的兩個三角形是否相似？為什么？ A CB A1 C1B1 D E F A BC 60 相似相似相似相似 4. 過過ABC(CB)的邊的邊AB上一點上一點D 作一條直線與另一邊作一條直線與另一邊AC相交，截得的小三角相交，截得的小三角 形與形與ABC相似，這樣的直線有幾條？相似，這樣的直線有幾條？ C D B C A DE E B C A D ADE ABC AED ABC A=A AED=C A=A AED=B 作作DE，使，使AED=C作作DE，使，使AED=B 這樣的直線有兩條：這樣的直線有兩條： 5. 已知：如圖，已知：如圖，ABEF CD，圖中