11級(jí)金融工程5

1、 期權(quán)的回報(bào)和價(jià)格分析期權(quán)的回報(bào)和價(jià)格分析 2 期權(quán)概述期權(quán)概述 期權(quán)的期權(quán)的4 4個(gè)組成要素：個(gè)組成要素： 2.執(zhí)行價(jià)格（exercise price)1.標(biāo)的物(underlying asset) 4.看漲還是看跌 3.到期日（expiration date) 期權(quán)期權(quán)：兩個(gè)人之間的一種和約，期權(quán)的寫者（兩個(gè)人之間的一種和約，期權(quán)的寫者（option writer)option writer)給予另外一個(gè)人給予另外一個(gè)人 即期權(quán)的買者（即期權(quán)的買者（option buy)option buy)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)，可以以規(guī)定的價(jià)格買或在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)，可以以規(guī)定的價(jià)格買或 賣某賣某 種規(guī)定

2、的資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)的買者獲得的是權(quán)利而不需要承擔(dān)什么義務(wù)，他就種規(guī)定的資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)的買者獲得的是權(quán)利而不需要承擔(dān)什么義務(wù)，他就 必須要花錢來(lái)購(gòu)買這種權(quán)利。必須要花錢來(lái)購(gòu)買這種權(quán)利。 按期權(quán)買者的權(quán)利劃分，期權(quán)可分為看漲期權(quán)（Call Option）和看跌期權(quán) （Put Option）。 如果賦予期權(quán)買者未來(lái)按約定價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，就是看漲期權(quán)看漲期權(quán)； 如果賦予期權(quán)買者未來(lái)按約定價(jià)格出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，就是看跌期權(quán)看跌期權(quán)。 稱期權(quán)的買者為多頭，期權(quán)的賣者為空頭 3 期權(quán)的多方與空方期權(quán)的多方與空方 期權(quán)的空方期權(quán)的空方：只有履行合約的義務(wù)，而沒(méi)有任何權(quán)利。當(dāng)期權(quán)買者按合約 規(guī)定行使

3、其買進(jìn)或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利時(shí)，期權(quán)賣者必須依約相應(yīng)地賣出 或買進(jìn)該標(biāo)的資產(chǎn)。 到期日之前是否能執(zhí)行：歐式期權(quán)、美式期權(quán)、百慕大期權(quán)歐式期權(quán)、美式期權(quán)、百慕大期權(quán) 期權(quán)的多方期權(quán)的多方：在付出期權(quán)費(fèi)后，期權(quán)合約賦予他的只有權(quán)利，而沒(méi)有任何 義務(wù)。他可以在期權(quán)合約規(guī)定的時(shí)間內(nèi)行使其購(gòu)買或出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利， 也可以不行使這個(gè)權(quán)利。 歐式期權(quán)歐式期權(quán)的多方只有在期權(quán)到期日才能執(zhí)行期權(quán) 美式期權(quán)美式期權(quán)允許多方在期權(quán)到期前的任何時(shí)間執(zhí)行期權(quán) 百慕大期權(quán)百慕大期權(quán)介于歐式和美式之間,期權(quán)的執(zhí)行期一般為到期日前的某 一段時(shí)間 4 期權(quán)的期權(quán)的保證金制度保證金制度 2. 期權(quán)賣方都必須提交一定的保證金，這是

4、因?yàn)榻灰姿徒?jīng)紀(jì)人必須確保 當(dāng)期權(quán)執(zhí)行時(shí)，出售期權(quán)的投資者不會(huì)違約。 保證金制度保證金制度（Margin） 1期權(quán)多頭需支付全部期權(quán)費(fèi)，而后無(wú)需再繳納保證金。 針對(duì)看漲期權(quán)，要求空方事先提交期權(quán)交割時(shí)所需要的100%標(biāo)的資產(chǎn)。 針對(duì)看跌期權(quán)，要求空方事先提交期權(quán)交割時(shí)所需要的100%標(biāo)的資金。 有擔(dān)保期權(quán)有擔(dān)保期權(quán)（covered option） 5 期權(quán)期權(quán)交易和期貨交易的比較交易和期貨交易的比較 期權(quán)合約只賦予買方權(quán)利，賣方則無(wú) 任何權(quán)利，他只有在對(duì)方履約時(shí)進(jìn)行 對(duì)應(yīng)買賣標(biāo)的物的義務(wù) 期貨合約的雙方都被賦予相應(yīng) 的權(quán)利和義務(wù) 權(quán)利與義務(wù) 期權(quán)交易買方的虧損風(fēng)險(xiǎn)是有限 的（以期權(quán)費(fèi)為限），盈

5、利風(fēng)險(xiǎn) 可能是無(wú)限的，賣方則相反 期貨交易雙方所承擔(dān)的盈 虧風(fēng)險(xiǎn)都是無(wú)限的 期權(quán)期權(quán)交易交易 期貨交易期貨交易 盈虧風(fēng)險(xiǎn) 6 期權(quán)到期時(shí)(T時(shí)刻)的股價(jià) 看漲期權(quán)多頭回報(bào)與盈虧 歐式看漲期權(quán)歐式看漲期權(quán)（call option)多頭多頭 ： 該期權(quán)時(shí)刻t的價(jià)格（回報(bào)）以ct表示max(0,) TT cSK 回報(bào)（payoff）不考慮期權(quán)費(fèi)；盈虧（gain or loss）考慮期權(quán)費(fèi) T S K 7 歐式看漲期權(quán)歐式看漲期權(quán)（call option)空頭空頭 ：min(0,) TT cKS 由于期權(quán)合約是零和游戲（ZeroSum Games）， 也就是說(shuō)買者的盈利就是賣者的虧損，買者的虧損就是

6、賣者的盈利，所以我們可以發(fā)現(xiàn)，看漲期權(quán)多頭和空 頭的曲線是關(guān)于x軸對(duì)稱的。 看漲期權(quán)空頭回報(bào)與盈虧看漲期權(quán)空頭回報(bào)與盈虧 期權(quán)到期時(shí)的股價(jià) 7 T S K 8 看跌期權(quán)多頭的回報(bào)與盈虧 期權(quán)到期時(shí)的股價(jià) 歐式看跌期權(quán)歐式看跌期權(quán)（put option)多頭多頭 ：max(0,) TT cKS 8 8 T S K 9 歐式看跌期權(quán)歐式看跌期權(quán)（put option)空頭空頭 ：min(0,) TT cSK 9 9 看跌期權(quán)空頭的盈虧分析 由于期權(quán)合約是零和游戲（ZeroSum Games），也就是說(shuō)買 者的盈利就是賣者的虧損，買者的虧損就是賣者的盈利，所以它們 對(duì)應(yīng)的曲線就會(huì)關(guān)于x軸對(duì)稱。 看跌

7、期權(quán)空頭回報(bào)與盈虧 期權(quán)到期時(shí)的股價(jià) 9 T S K 10 期權(quán)合約的定價(jià)期權(quán)合約的定價(jià) 相對(duì)定價(jià)法相對(duì)定價(jià)法： 期貨，期權(quán) 標(biāo)的物的價(jià)格過(guò)程是給定的（外生的），通過(guò)標(biāo)的物和衍生品價(jià)格之 間的內(nèi)在關(guān)系，確定衍生品的價(jià)格。 t t t dS dtdz S 已知已知股票價(jià)格過(guò)程 tt T S 滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)： t t時(shí)候買入期權(quán)的回報(bào)：時(shí)候買入期權(quán)的回報(bào)： 2 1 () 2 0 t tz t SSe (0, ) t ztNt由伊騰（由伊騰（Ito)Ito)引理有：引理有： () (, )max(0,) r T t tTT cf SteSK 衍生品價(jià)格分析衍生品價(jià)格分析模擬出回報(bào)的模擬出回報(bào)的n種

8、可能取值種可能取值 買入期權(quán)的價(jià)值：買入期權(quán)的價(jià)值： ( ) t E c 11 期權(quán)合約的價(jià)值確定期權(quán)合約的價(jià)值確定 期權(quán)合約期權(quán)合約的回報(bào)： 2 1 () 2 0 T Tz T SSe (0, ) T zTNT 其中：其中： n=10000; u=0.15/250; r=0.03/250;sgm=0.03; s0=15; k=15.5; t=30; 在0時(shí)期，確定當(dāng)前買入（或賣出）期權(quán)合約的價(jià)值。 z z=sqrt(t)*rndn(n,1)rndn(n,1) ; st st=s0*exp( (u-0.5*sgm2)*t+sgm*z z); z0z0=(st st-K).=0; d d=exp

9、(-r*t)*(st st-K).*z0z0; v=sumc(d d)/n; print v; d為當(dāng)前期權(quán)合約到期時(shí)的為當(dāng)前期權(quán)合約到期時(shí)的n種可能回報(bào)種可能回報(bào) S0為標(biāo)的物現(xiàn)價(jià)，交割日為T期，K為執(zhí)行價(jià)格，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 0 (,0)max(0,) r T TT cf SeSK 0 ()E c 12 影響歐式期權(quán)價(jià)值的因素影響歐式期權(quán)價(jià)值的因素 歐式call期權(quán)均有價(jià)值， 因?yàn)樗峁┝藢?lái)執(zhí)行 權(quán)利的可能性。 t S t SK tT 當(dāng)股票的價(jià)格S遠(yuǎn)大于K時(shí)，持有期權(quán)并不比持有股票占多大優(yōu)勢(shì) 當(dāng)股票的價(jià)格S遠(yuǎn)小于K時(shí)，股票上漲超過(guò)K的可能性很小，從而期權(quán)價(jià)值接近0 1. 1. 期權(quán)合約期

10、權(quán)合約的回報(bào)： () (, )max(0,) r T t tTT cf SteSK 即便 ( )0 t t E c S 2 1 () () 2 T tT t Tt SS e 13 影響歐式期權(quán)價(jià)值的因素影響歐式期權(quán)價(jià)值的因素 執(zhí)行價(jià)格 K 越多， 到期日越長(zhǎng)，標(biāo)的股票價(jià)格上揚(yáng)、從而增加最后支付的可能性越大 Tt t c 越大 2. 2. 4 4. 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 期權(quán)合約期權(quán)合約的回報(bào)： () (, )max(0,) r T t tTT cf SteSK tT 執(zhí)行價(jià)格越小，股票價(jià)格超過(guò)K的可能性越大，看漲期權(quán)越有價(jià)值 3 3. 股票價(jià)格的方差 ( )0 t E c T ( )0 t E c K

11、方差越大，股票價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率就越大，這種看漲期權(quán)的價(jià)值就越高 2 ( )0 t E c 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越大，執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值越小，看漲期權(quán)的價(jià)值就越高 ( )0 t E c r 5 5. 14 BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式期權(quán)定價(jià)公式 2 ( )(, , ) tt E cf S KT r 其中： 2 ( )( )( )( )( ) 0,0,0,0,0 ttttt t E cE cE cE cE c SKTr () 12 ( )()() r T t tt E cSN dK eN d 1 ln(/)()1 2 t SKrTt dTt Tt 21 ddTt()N 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的分布函數(shù) B B

12、S S公式公式： 期權(quán)合約期權(quán)合約的價(jià)值： () (, )max(0,) r T t tTT cf SteSK () ( )max(0,) r T t tT E ceESK 2 1 () () 2 T tT t Tt r SS e 15 奇異期權(quán)（奇異期權(quán)（exotic option) 場(chǎng)外交易，往往是金融機(jī)構(gòu)根據(jù)客戶的的具體需求開發(fā)出來(lái)的 奇異期權(quán)奇異期權(quán)：標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式之外的期權(quán) 弱式路徑依賴弱式路徑依賴 比如比如：執(zhí)行價(jià)格不是一個(gè)確定的數(shù)，而是一段時(shí)間的平均資產(chǎn)價(jià)格； 在期權(quán)有效期內(nèi)，如果資產(chǎn)價(jià)格超過(guò)一定界限，就自動(dòng)賣出的期權(quán)。 1. 1. 障礙期權(quán)（障礙期權(quán)（Barrier Opti

13、on)Barrier Option)：如向上鼓出期權(quán)，H為障礙值。 投資者認(rèn)為：標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)上升，但在到期日之前會(huì)有一個(gè) 限度。他希望獲得看漲期權(quán)的回報(bào)，但并不想為所有上升的可能 性付款。比常規(guī)期權(quán)便宜。 t cmax(,0) tT iftTSHthenSK : = 0 0t c t iftTSHthenHK : = 16 路徑依賴與路徑模擬（一）路徑依賴與路徑模擬（一） 2 1 () 2 10 z SSe (0, ) t ztNt 1,2,.,for t T =1012,.,T SSSS 2 1 () 2 0 t tz t SSe 2 1 () 2 21 z SS e 2 1 () 2

14、1 z TT SSe . s=ones(n,1+t);s=ones(n,1+t); s.,1=s0s.,1=s0* *ones(n,1);ones(n,1); for i(1,30,1);for i(1,30,1); s.,i+1=s.,i+1=s.,is.,i. .* *exp(u-0.5exp(u-0.5* *sgm2)+sgmsgm2)+sgm* *rndn(n,1);rndn(n,1); endforendfor; ; n=1000; u=0.15/250;sgm=0.03;s0=15;t=30;n=1000; u=0.15/250;sgm=0.03;s0=15;t=30; z=s0z

15、=s0* *exp(u-0.5exp(u-0.5* *sgm2)sgm2)* *t+sgmt+sgm* *sqrt(tsqrt(t) )* *rndn(n,1);rndn(n,1); e=e=sumc(z)/nsumc(z)/n; ; sgsg= =stdc(zstdc(z); ); 17 路徑依賴與路徑模擬（二）路徑依賴與路徑模擬（二） 股票價(jià)格過(guò)程 tt T S tttt dSSdtSdz tttt SStSz (0,) t ztNt s=ones(n,1+t);s=ones(n,1+t); s.,1=s0s.,1=s0* *ones(n,1);ones(n,1); for i(1,30,

16、1);for i(1,30,1); s.,i+1=s.,i+1=s.,is.,i. .* *exp(u-exp(u- 0.50.5* *sgm2)+sgmsgm2)+sgm* *rndn(n,1);rndn(n,1); dsds=u=u* *s.,i+sgms.,i+sgm* *s.,is.,i. .* *rndn(n,1);rndn(n,1); s.,i+1= s.,i+1= s.,i+dss.,i+ds; ; endforendfor; ; n=1000; u=0.15/250;sgm=0.03;s0=15;t=30;n=1000; u=0.15/250;sgm=0.03;s0=15;t=

17、30; s=zeros(n,1)+s0;s=zeros(n,1)+s0; for i(1,30,1);for i(1,30,1); ds=uds=u* *s+sgms+sgm* *s. s.* *rndn(n,1);rndn(n,1); s=s+ds;s=s+ds; endfor;endfor; print sumc(s)/n stdc(s);print sumc(s)/n stdc(s); 18 障礙期權(quán)編程障礙期權(quán)編程 障障礙礙期權(quán)：期權(quán)：如向上鼓出期權(quán)，H為障礙值。 n=10000; u=0.15/250;r=0.03/250;sgm=0.05;s0=15;k=15.5;h=20;t=3

18、0; tt=1; s=ones(n,1+t); s.,1=s0*ones(n,1); for i(1,30,1); z=sqrt(tt)*rndn(n,1); s.,i+1=s.,i.*exp(u-0.5*sgm2)*tt+sgm*z); endfor; tT c =max(S -K,0) t iftTSHthen : 0 0t c = t iftTSHthenHK : 19 亞式期權(quán)亞式期權(quán) 平均值的采用減少了波動(dòng)，比常規(guī)期權(quán)便宜。強(qiáng)式路徑依賴 2. 2. 亞式期權(quán)（亞式期權(quán)（Asian Option)Asian Option)： 其到期回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在一段特定時(shí)間內(nèi)的平均價(jià)格。 0 m

19、ax(,0) T SK c = Call option: Asian option: 0 max(,0)IK c = 012,.,T SSSS 12 (.)/ T ISSST 20 亞式期權(quán)（最后亞式期權(quán)（最后10天平均價(jià)）天平均價(jià)） Asian option: 0 max(,0)IK c = 012.T SSSS 10 (.)/ TT ISST n=100000; u=0.15/250;r=0.03/250;sgm=0.05;s0=15;k=15.5;t=30;tt=1; s=ones(n,1+t); s.,1=s0*ones(n,1); for i(1,30,1); z=sqrt(tt)*

20、rndn(n,1); s.,i+1=s.,i.*exp(u-0.5*sgm2)*tt+sgm*z); endfor; 21 回溯期權(quán)回溯期權(quán) 3. 3. 回溯期權(quán)（回溯期權(quán)（LookbackLookback Option) Option)： 其到期回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在一段特定時(shí)間內(nèi)的最高價(jià)格。 0 max(,0)MK c = 12 max(,.) T MS SS 投資者對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的到期價(jià)格沒(méi)有把握，但對(duì)價(jià)格波動(dòng)的幅度有把握。 n=100000; u=0.15/250;r=0.03/250;sgm=0.05;s0=15;k=15.5;t=30; tt=1; s=ones(n,1+t); s.,1

21、=s0*ones(n,1); for i(1,30,1); z=sqrt(tt)*rndn(n,1); s.,i+1=s.,i.*exp(u-0.5*sgm2)*tt+sgm*z); endfor; M=maxc(s); z0=(M-k).=0; dd=exp(-r*t)*(M-k).*z0; v=sumc(dd)/n; print v sumc(z0); 22 作業(yè)作業(yè)4 已知：一只股票，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，其年收益率為15，收益率每天的波動(dòng) 為標(biāo)準(zhǔn)差0.05,當(dāng)前的股價(jià)為15元。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為3（每年） 1. 此股票的認(rèn)購(gòu)亞式期權(quán)，交割日為30天后，按最后10天的平均價(jià)計(jì)算， 執(zhí)行價(jià)為每股15.2元，共1股。 給出此亞式期權(quán)的回報(bào)表達(dá)式，計(jì)算其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。畫出其密度函數(shù)給出此亞式期權(quán)的回報(bào)表達(dá)式，計(jì)算其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。畫出其密度函數(shù) 給出此障礙期權(quán)的回報(bào)表達(dá)式，計(jì)算其期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。畫出其密度函數(shù)給出此障礙期權(quán)的回報(bào)表達(dá)式，計(jì)算其期望值和