知識點一極限與連續(xù)

1、求極限的常用方法 利用極限的定義數(shù)列極限的定義：limA；=6/OV0,30.當nNH寸，有k n-x1函數(shù)極限的定義(XT*。)：lim/(x) = 4O Vw0,0,當0|兀-兀|耐,有 f(x)-A 0), liin cii/x = l(a 0).A-+X這一結(jié)論可以推廣為：2 利用兩個重要極限sin x lim20 Xfi+Pn=e 或 lullI n)X)11111/r-xJ、由重要極限及變量替換可以求下列極限:Urn l+9(x) z/w =/.Inn *山 處)=1, liin 1 + 爐(x) U2 = j f 0(p(x)Xfliin(p(x) = 0, lim g(x) =

2、 AxQ其中，“T%,極限過程改為其它情形也有類似的結(jié)論.2、 liin /(X)= 1, lim g(x) = s設(shè)心心,則利用重要極限有：lull f(x)s = lunl + f(x) -1 * 円=/-V-.V0A-.V0limg(x)(f(x) l) = A 其中 利用無窮小的性質(zhì)和等價無窮小替換求極限1、無窮小量乘以有界函數(shù)仍是無窮小量；2 .熟悉常見的無窮小量：當xT0時，有siiix taiix aicsuix aictaiixln(x + l)ex -1 ；1-1 =COSX 一AT2一1 xlna (a 0,a h 1) ： (l + x)-1 ax (ghO的常數(shù))，等等

3、.3、求極限過程中，可以把積和商中的無窮小量用與之等價的無窮小量替換，加與減 不能替換.4、無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系：如果/(x)為無窮大，則亠為無窮小;反之， /如果/(X)為無窮小，且/(x) H 0,則 丄為無窮大./U) 利用極限與左右極限的關(guān)系lim/(X)存在的充要條件是/Uo-0) = /(xo + 0)XT% 利用極限的和、差、積、商運算法則應(yīng)當注意的是：參與運算的每個函數(shù)的極限都要存在，而且函數(shù)的個數(shù)只能是有限個， 在作商的運算時，還要求分母的極限不為零.利用Stolz定理：設(shè)數(shù)列伉單調(diào)增加且limb”=2D,若Um學(xué)二* = +s或存在,則有l(wèi)im學(xué)=111“丨一：也,

4、由此可以證明下面的平均值定理”7 r 一爲lim = = lmi an刃 THfjlim“ = lima”n-x V -n-x 利用函數(shù)的連續(xù)性函數(shù) y = /W 在X = X 處連續(xù)，則 11111 /(X)= /(xo) 利用導(dǎo)數(shù)的定義 利用定積分的定義求和式的極限 利用洛必達法則求未定式的極限或利用帶有佩亞諾(Peano )型余項的泰勒公式 求極限(3) 無窮大量與無窮小量 無窮人量是絕對值無限增人的一類變量，它不是什么絕對值很人的固定數(shù)：無窮小 量以零為極限的一類變量，它也不是什么絕對值很小的固定數(shù). 無窮人/V)的倒數(shù)厶是無窮小量：無窮小/(X)(f(X)H0)的倒數(shù)是無窮大./W

5、無窮小是以零為極限的變量，因此，和、差、乘積的極限運算法則自然也適用于無 窮小，但商的極限運算法則不適用于無窮小，因為這時分母的極限為零，另外，無窮小與有 界函數(shù)的乘積仍是無窮小. 兩個無窮小之商的極限，一般說來隨著無窮小的不同而不同，從而產(chǎn)生了兩個無窮小之間的“高階”、“同階”、“等價”等概念，它們反映了兩個無窮小趨于零的快慢程度. 如果/(X)以月為極限，則f(x)-A = o(x)是無窮小;反之亦然.3、連續(xù)函數(shù)(1) 函數(shù)/(X)在心處連續(xù)定義的三種不同表達形式是 映心巳哪+心)/(兀)=0; lun/(%) = /(%0);ATV0,30 ,使當x-xQ | J時，|/(x)-/(X

6、o)|這最后一種表達形式與lnn/(x) = A的表達形式十分相似，差異在于極限定義中的不等式; XT.o0|x-xo |v5 這里變成 Tx-x0 S;f(x)-Ae 變成 T f(x)-f(x0).因為在探討連續(xù)性時，必須要求f(x)在兀處有定義，且極限值月必須為/(x0).(2) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商在它們共同有定義的區(qū)間仍為連續(xù)函數(shù).(3) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).(4) 單調(diào)連續(xù)函數(shù)有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù).(5) 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù).(6) 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)/(x)有下列重要性質(zhì)：/W必在a,b上有界且取得最人值M與最小值加(有界、最人、最小值定理)/(

7、x)必在a,b上取得介于/(a)與/(b)之間的任何值(介值定理); /(X)必在a,b上取得最大值M與最小值加之間的任何值； 如果/(a) /(b)/7,&_ J7 +厲,7_& +丁7_/7,7收斂，并求其極限。證明：設(shè)該數(shù)列通項為 ,則A：* =可,令+ X,貝 |Jf(2)=2,+2 = / (暫)，+2 - 2 = /( ) - /(2),由拉格朗日中值定理得:存在：介于X, 2之間，使得/(x)-/(2) = /()(x-2),由題意得- X卄2 _ 2| = |/(xn)-/(2)| = |/ (歹”)卜卜” -20xH 7,0爲7,|廣(即| =即a =(篇)|,則xn+2-2

8、 = axn-2,0a/l - cosx) 利用左右極限的關(guān)系求極限limlarctanl (00數(shù)_5) !雪(仃尹+二守,x0/W = 50, x = 0年韋 1)n-+x利用夾逼法則求極限9n + 1/n求極限&k設(shè)0求lim(Y町嚴和lim(Yci：n嚴HT+oc Y“ttyc 厶1/=!z=l答案：max厲iit 1mm a.lixJ0利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限limZC = A,求皿sm/g-smb f x-af x-ciA cos/?/(x)在x = a處可導(dǎo),f (ci) 0 ,求 lim (；/-+X/(d + l/“)/(a)go xcia利用定積分求和式的極限Inn J1 +

9、cos + Jl + cos 節(jié) + Jl + cos 等 n-oc j j VYVe2-fV) a2V27t2、limn-xsin蘭n+ 1sill n +1/2sill +苛3、 111111“卞 n + l n + 2 n + n10、利用單調(diào)有界準則求極限27thi21、xtt = & +& + 省衛(wèi) 0(/? = 1,2,.)n、利用泰勒公式求極限v 亍/2 + 1- Jl + xR lim7 (cos x 一 ex ) sin x22、limcos2 xsm2 x - x2 (1 - x2)4/31.v-0 X。練習(xí)提高: OS數(shù)學(xué)- 9)12凹q啤凹竺 XTOX求極限1+V1 +

10、 46Z21122245（提示：用等價無窮小代換或洛必達法則2、(06 數(shù)_)lim S(li)XTO l-cosx（提示：用等價無窮小代換）23、（06數(shù)一數(shù)二12）數(shù)列滿足0 兀 龍,兀申（1）證明兀極限存在.并求之：（2）（提示：1、利用單調(diào)有界公理，2、利用重要極限）1、0, 2、嚴4、（03數(shù)一 4） lllll（COSX）U1+v：）（提示：先寫成指數(shù)形式）A-05、（00 數(shù)一 12）（提示：討論左右極限）6、（07 數(shù)三 4）亡+亍+ 1lim (siii x + cos x)十 2 x + x3 77、(06 數(shù)三 4)hill(8、（05 數(shù)三 12n1 + x 1. 1U

11、11()一。1廠 X（提示：用洛必達法則）9、(05 數(shù)三 4) 11111 Sin X- (COS x-b) = 5,則 w b- a to e x - a10、(04 數(shù)三 911111(go sill X XCOS XL）1321,-4411.設(shè)0 人3,兀+=屮心乜）（/2 = 1,2，），證明數(shù)列兀的極限存在，并求極限。311(提示：用單調(diào)有界公理,= 3-14sin t x12、求極限11111(,求極限/(X),并指出其間斷點的類型。 f sinx,X = O可去間斷點，x = k兀gZ)為第二間斷點).xx - 113、lun7 jinx14.YTO Xx當xtO時，函數(shù)/(x

12、)= MXsint2dt與g(x) = x + x4比較是()的無窮小Jo(A)等價 (B)同階非等價(C)高階 (D)低階(B) 設(shè)&0,00為任意正數(shù)，當XT+8時，將1/0 ,1/11/X,廠按從低階到高階的順 +1, x c在(Y+ C15 (08數(shù)三4)設(shè)函數(shù)f(X)= 0 f= limAln(l +X XTO J-Sill XS111X1 = limf. sin x 1=-lull=.VTO 才S111X-Xgo 6x 617、18、2 x (05 數(shù)三 4)極限limxsinrY+11 4- r 1(05 數(shù)三 9)求上).go i-e x x3/2題型一無窮小及其階1、(09

13、數(shù) 1, 2, 3)(1)當兀一0時，f(x) = x-smax 與 g(x) =)等價無窮小，(A) Cl = L/? = (B) Cl = lb = (C) Cl = 1,/? = (D) CI = 1,Z? = (A )應(yīng)選(E).(B) 111 1 + ；(C)+-1 (D) 1-cosyx.6 6 6 66、(04 數(shù)一 4)把時的無窮小量a = cos尸力，/? = tanJFdf, y = sinr3t/r 使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) a、卩、丫 (E) a,y,/3. (C)隊 a,.(D)隊 Y，a. B 題型三討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的類型X1、求函數(shù)/(x) = (l +曠5在(0,2龍)內(nèi)的間斷點，并判斷類型2、X工32、( 09數(shù)二，數(shù)三)函數(shù)f(X)= 的可去間斷的