豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題及應(yīng)用

1、五、豎直平面內(nèi)的圓周運動豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速運動，高中 階段只分析通過最高點和最低點的情況，經(jīng)?？疾榕R 界狀態(tài)，其問題可分為以下兩種模型 一、兩種模型 增大，注意 桿與繩不同，在最高點，桿對球既能產(chǎn) 生拉力，也能對球產(chǎn)生支持力，還可對球的作用力為零.小結(jié) 如果小球帶電，且空間存在電磁場時，臨界條模型1: “輕繩類”件應(yīng)是小球重力、電場力和洛倫茲力的合力作為向心繩對小球只能 產(chǎn)生沿繩收縮方向 的拉力(圓圈軌道問 題可歸結(jié)為輕繩 類)，即只能沿某一圖1個方向給物體力的作用，如圖 1、圖2所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運動過最高點的情況:力，此時臨界速度 V M. gR (應(yīng)

2、根據(jù)具體情況具體分 析).另外，若在月球上做圓周運動則可將上述的g換成g月，若在其他天體上 則把g換成g天體.二、兩種模型的應(yīng)用【例1】如圖5所示，質(zhì) 量為m的小球從光滑的 斜面軌道的 A點由靜止 下滑，若小球恰能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最(1)臨界條件：在最高點，繩子(或圓圈軌道)對小球沒有力的作用，Vo =gR小球能通過最高點的條件：V _ gR，當(dāng)V . gR時繩對球產(chǎn)生拉力，圓圈軌道對球產(chǎn)生向下的壓力(3)小球不能過最高點的條件：v y!gR，實際上球還沒到最高點就脫離了圓圈軌道，而做斜拋運動高點B而做圓周運動，問A點的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類”，其中“恰能”是

3、隱含條件，即小球在最高點的臨界速度是v臨界=.Rg，根據(jù)機械能守恒定律得 mgh二mg 2R mv臨界模型2 :“輕桿類”有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點的情況，如圖3所示,(小球在圓環(huán)軌道內(nèi)做圓周運動把v臨界二Rg代入上式得：R .【例2】如圖6所示，在豎直向下的勻強電場中，一個帶負電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場力的小球， 從光滑的斜面軌道的 A點由靜止下滑，若小球恰能通 過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B而做圓周運的情況類似“輕桿類” 如圖4所示，)：(1)臨界條件：由于硬桿 和管壁的支撐作用，小 球恰能到達最高點的臨 界速度V) =0動，問A點的高度h至少應(yīng)為多少？【解析

4、】此題屬于“輕桿類”，帶電小球在圓形軌道 的最高點B受到三個力作用：電場力F =qE，方向豎直(2)小球過最高點時，輕桿對小球的彈力情況:當(dāng)v=0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N =mg ；當(dāng) 0 : v ：. gR 時，因 mg - N22vV二 m ,則 N =mg -m .RR向上；重力mg ;彈力N 式，有2 mg N _qE = mB- 要使小球恰能通過 圓形軌道的最高點B而做圓周運動，說 明小球此時處于臨 界狀態(tài)，其速率vB為 臨界速度，臨界條件,方向豎直向下.由向心力公圖6是N =0 .由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為輕桿對小球的支持力 N豎直向上，其

5、大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是 mg N 0. 當(dāng)v = gR時，N =0 ;22 當(dāng) v , gR 時，貝V mg N =mV，即 N =m mg ,RR桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而1根據(jù)動能定理，有 (mg -qE)(h -2R) =mvB 25解之得：hmin * * R22說明 把式中的 mg - qE換成mB，較容 易求出RhminR2【例3】如圖6所示，在豎直向下的勻強電場中，一個帶正電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場力的小球， 從光滑的斜面軌道的 A點由靜止下滑，若小球恰能通 過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B而做圓周運動，問A點的高度h至少應(yīng)為多少？【解析

6、】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含 條件，要使帶電小球恰能通過圓形軌道的最高點B而做圓周運動，說明小球此時處于臨界狀態(tài)，其速率vB為臨界速度，臨界條件是N =0 .由此可列出小球的臨界2狀態(tài)方程為： mg+qEumR1根據(jù)動能定理，有 (mg+qE) (h_2R)=_mv；25由上述二式解得：hmin =?R小結(jié) 上述兩題條件雖然不同，但結(jié)果相同，為什么？由式可得：VB = (2m I因Vb只能取正值，即r、24m2g qB 主(qB) +. yRVB -2m,2 4m gqB+qB) +世因為電場力與重力做功具有相同的特點，重力做功僅 與初、末位置的高度差有關(guān)；在勻強電場中，電場力 做

7、功也僅與沿電場力方向的距離差有關(guān)我們不妨可以這樣認為，例 2中的“等效重力加速度g ”比例1中的重力加速度 g減小,例3中的“等效重力加速度g2 ”比例1中的重力 加速度g增大.例2中v臨界f/Rg ,1 2 mg1h =mg1 2Rmv 臨界2qB+(qB)2 七2 4m2g【例5】如圖8所示，在豎直向下的均勻電場中， 一個 帶正電q、質(zhì)量為m的電荷，從光滑的斜面軌道的 A點 由靜止下滑，若小球恰能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B(圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻 強磁場)，問點A的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于 “輕繩類”，題中 “恰能”是隱含條 件，要使小球恰能 通過圓形軌道的

8、最 高點B，說明小球 此時處于臨界狀 態(tài)，其速率Vb為臨 界速率，臨界條件是則 hmin =2R 亠8m gN=0,由此可列出小球的臨界狀2態(tài)方程為 mg+qvBB+qE =“冬R1 2(mg qE) (h2R)mvB2由式可得：VB =衛(wèi)2m因Vb只能取正值，即Vb =旦|qB十2m!, 亠2 丄4mI.|qBr；(qB)(mg+qE)L.2 4m(qB) +*(mg+qE)例 3 中 v臨界二 Rg2 , mg?h 二mg? 2R 1 mv臨界.把v臨界代入各自對應(yīng)的式子，結(jié)果 mgt、mg2分別都約 去了，故 hmin =5R 2【例4】如圖7所示，一個帶正電q、質(zhì)量為m的電荷， 從光滑

9、的斜面軌道的 A點由靜止下滑，若小球恰能通 過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B(圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強磁場 )，問點A的高度至少 應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類”，題中“恰能”是隱含 條件，要使小球恰能通過圓形軌道的最高點B，說明小球此時處于臨界狀態(tài)，其速率vB為臨界速率，臨界條件是N =0 ,由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為mg +qvB B =mR1 2mgh =mg 2R mvB ,hmin =2R *R/2 4mo / 丄 qB+J(qB) + (mFqE) 8m(mg +qE) 勺R小結(jié) 小球受到的洛倫茲力與軌道的彈力有相同的特點，即都與速度v的方向垂直，它們對小球都不

10、做功， 而臨界條件是N =0 【例6】如圖9所示,ABD 為豎直平面內(nèi)的光滑絕 緣軌道，其中AB段是水 平的，BD段為半徑 R=0.2m的半圓，兩段軌 道相切于B點，整個軌道 處在豎直向下的勻強電場中，場強大小E=5.0 103V/m . 一不帶電的絕緣小球 甲，以速度V0沿水平軌道向右運動，與靜止在B點帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m =1.0 10kg，乙所帶電荷量 q =2.0 10*C , g 取10m/s2 .(水平軌道足夠長，甲、乙兩球 可視為質(zhì)點，整個運動過程無電荷轉(zhuǎn)移 )(1 )甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點求乙在軌道上的首次落點到B點的距離；(2

11、) 在滿足(1)的條件下。求的甲的速度 v0 ；(3) 若甲仍以速度V。向右運動，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍.【解析】(1 )在乙恰能通過軌道最高點的情況下，設(shè) 乙到達最高點速度為 vD，乙離開D點到達水平軌道的 時間為t，乙的落點到B點的距離為x，貝Umg+qE=m 2R =_!(mg “丘八2R2x 二 vt聯(lián)立得x =0.4m(2)設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為 量守恒定律和機械能守恒定律有mv。=mv甲亠mv乙1 2 1 2mv。mv甲 -2 2 聯(lián)立得，根據(jù)動1 2 -mv乙 2v乙 =Vo由動能定理，得 -mg1 2 1 2R _qE 2 R

12、mvD2 2聯(lián)立得v0 = J5(mg +Eq)R =2j5m/s mv乙V m(3)設(shè)甲的質(zhì)量為 M，碰撞后甲、乙的速度分別為 Vm、Vm ,根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律有Mv。=Mvm mvm1 2 1 2 1 2 Mv0MVm -mvm 2 2 2聯(lián)立得vm2MV。M +m由和M m，可得 vw VmV2v。設(shè)乙球過D點時速度為vD，由動能定理得1 2 1 2-mg 2RqE 2R mvD mvm2 2 聯(lián)立O2得2m/s vD v8m/sO設(shè)乙在水平軌道上的落點距B點的距離x, x =vDtO聯(lián)立O4得：0.4m xv1.6m【例7】如圖10所示，桿長為L , 一端固定一質(zhì)量為m的

13、小球，桿的 質(zhì)量忽略不計，整個系統(tǒng)繞桿的另 一端在豎直平面內(nèi)做圓周運 動.g =10m/s2 求：(1) 小球在最高點 A的速度vA為 多少時，才能使桿和小球m的作用 力為零？(2) 小球在最高點A時，桿對小球的作用力推力時的臨界速度分別是多少？F為拉力和 若 m =0.5kg , L =0.5m , Va =0.4m/s，則在最高點A和最低點B，桿對小球m的作用力多大？ 【解析】此題屬于“輕桿類”.若桿和小Mfi* T圖11 圖12球m之間無相互作用力，那么小球做圓周運動的向心 力僅由重力mg提供，根據(jù)牛頓第二定律，有：2Va mg =m_L解得VagL(2)若小球m在最高點A時，受拉力F，

14、受力如圖112所示，由牛頓第二定律，有：F+mg=myL解得若小球m在最高點A時，受推力F ,受力如圖12所2示，由牛頓第二定律，有：mg F = m上L可見Va T：jgL是桿對小球 拉力之間突變的臨界速度.m的作用力F在推力和桿長L =0.5m時，臨界速度v0 = gL =2.2m/s ,2Va =0.4m/sm匕，相應(yīng)的入射速度L滿足 4gR _v。： 5gR .應(yīng)有Vo應(yīng)14對上管壁有壓力，此時應(yīng)有2mg cm*，相應(yīng)的入射速度Vo應(yīng)滿足Vo . 5gR小結(jié)本題中的小球不能做勻速圓周運動，它的合力除最高點與最低點過圓(2)當(dāng)v = gR，因軌道對小球不能產(chǎn) 生彈力，故此時小球?qū)偤妹撾x

15、軌道做平拋運動.如圖18所示，小球若通過凹半球的最低點時速度只要v -0即可.心外，其他條件下均不過 圓心，因而在一般位置處, 它具有切向加速度圖15yrnfift圖16【例9】如圖14所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管位于 豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑 R(比細管的半徑大得多)，在 圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球A、B，質(zhì)量分別為mA、mB ,沿環(huán)形管順時針運動，當(dāng) A球運動到 最低點時，速度為 Va , B球恰到最高點，若要此時圓 管的合力為零，B的速度vb為多大？【解析】本題綜合考察了豎直平面內(nèi)圓周運動臨界問 題的分析，屬于“輕桿類”.在最低點對A球進行受力 分析，如圖15所示，應(yīng)用牛頓第二定律

16、有2Na mAg =mA VaR由牛頓第三定律，球 A對管有向下的壓力 Na，=Na , 根據(jù)題意Na二Nb,即球B對對管有向上的壓力 Nb, 球B受力情況，如圖16所示，由牛頓第三定律，管對 球B有向下的壓力 Nb , Nb =Nb，對球B應(yīng)用牛頓第2二定律，有： NB+mBg=mBJ,由于 na=nbR聯(lián)立可得 VJAVA2 +(mA+1)gRFbmB由以上分析可知，通過凸 (或凹)半球最高點(或最 低點)的臨界條件是小球速度 0 ： v ：. gR (或v 0).【例10】如圖19所示，汽車質(zhì)量為1.5 104kg，以不 變速率通過凸形路面，路面半徑為 15m，若汽車安全 行駛，則汽車不

17、脫離最高點的臨界速度為多少 ？若汽車 達到臨界速度時將做何種運動 ？水平運動位移為多少？【解析】(1)此題屬于“輕繩類”，即軌道只能沿某一 方向給物體作用力，臨界條件為汽車對軌道壓力 n =0 ,則汽車不脫離最高點的臨界速度為Vo，則有：2mg =m*，可得 v;R(2)當(dāng)二gR時，汽車在軌道最高點僅受重力作用， 且有初速度，故做平拋運動，則R = 2 9上，x = Vot ,可得：x = 2R .【例11】小明站在水平地面上， 手握不可伸長的輕繩一端，繩的 另一端系有質(zhì)量為 m的小球，甩 動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓 周運動.當(dāng)球某次運動到最低點 時，繩突然斷掉，球飛離水平距 離d后落地，如

18、圖20所示.已知三、小球在凸、凹半球上運動如圖17所示，小球在凸半球上最高點運動時：(1)當(dāng)o: v ：、.靈，小球不會脫離凸半球且能通過凸半握繩的手離地面高度為 d，手與圖203球之間的繩長為-d ,重力加速度為g .忽略手的運動4 半徑和空氣阻力.(1)求繩斷時球的速度大小 v,和球落地時的速度大小V2 .(2 )問繩能承受的最大拉力多大？(3 )改變繩長，使球重復(fù)上述運動。若繩仍在球運動 到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長 應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？【解析】(1)設(shè)繩斷后球飛行時間為t ,由平拋運動規(guī) 律，有：豎直方向-d = gt242水平方向d ，得：比=2gd由機械能守恒定律，有：-mv；=mv： +mg (d -3 d),224球的最高點.（2）設(shè)繩能承受的最大拉力為T ,這也是球受到繩的3411V3，繩承受最大拉力大小，球做圓周運動的半徑為R=3d2由向心力公式，有T -mg =mt，解得TR（3）設(shè)繩長為I，繩斷時球的速度大小為 的最大拉力不變，3gl繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d,1 2時間為 ti，有：d _l =