(完整版)初中最基本的尺規(guī)作圖總結(jié)(總18頁(yè))

1、尺規(guī)作圖一、理解“尺規(guī)作圖”的含義1.在幾何中，我們把只限定用直尺（無(wú)刻度）和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖的方法，稱為尺規(guī)作圖其中直尺只能用來(lái)作直線、線段、射線或延長(zhǎng)線段；圓規(guī)用來(lái)作圓和圓弧由此可知，尺規(guī)作圖與一般的畫(huà)圖不同，一般畫(huà)圖可以動(dòng)用一切畫(huà)圖工具，包括三角尺、量角器等，在操作過(guò)程中可以度量，但尺規(guī)作圖在操作過(guò)程中是不允許度量成分的2.基本作圖：（1）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段；（2）用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角. 利用這兩個(gè)基本作圖，可以作兩條線段或兩個(gè)角的和或差.二、熟練掌握尺規(guī)作圖題的規(guī)范語(yǔ)言1.用直尺作圖的幾何語(yǔ)言：過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)作直線；或作直線；或作射線；連結(jié)兩點(diǎn)；或連結(jié)；延長(zhǎng)到點(diǎn)；或延長(zhǎng)（反向延長(zhǎng)）到

2、點(diǎn)，使；或延長(zhǎng)交于點(diǎn)；2.用圓規(guī)作圖的幾何語(yǔ)言：在上截?。灰渣c(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓（或?。灰渣c(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，以、的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)、 .三、了解尺規(guī)作圖題的一般步驟尺規(guī)作圖題的步驟：1.已知：當(dāng)作圖是文字語(yǔ)言敘述時(shí)，要學(xué)會(huì)根據(jù)文字語(yǔ)言用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)出題目中的條件；2.求作：能根據(jù)題目寫(xiě)出要求作出的圖形及此圖形應(yīng)滿足的條件；3.作法：能根據(jù)作圖的過(guò)程寫(xiě)出每一步的操作過(guò)程.當(dāng)不要求寫(xiě)作法時(shí)，一般要保留作圖痕跡.對(duì)于較復(fù)雜的作圖，可先畫(huà)出草圖，使它同所要作的圖大致相同，然后借助草圖尋找作法.在目前，我們只要能夠?qū)懗鲆阎笞?，作法三步（另外還有第四步

3、證明）就可以了，而且在許多中考作圖題中，又往往只要求保留作圖痕跡，不需要寫(xiě)出作法，可見(jiàn)在解作圖題時(shí)，保留作圖痕跡很重要.尺規(guī)作圖的定義：尺規(guī)作圖是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖。一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的。五種基本作圖：1、作一條線段等于已知線段； 2、作一個(gè)角等于已知角； 3、作已知線段的垂直平分線； 4、作已知角的角平分線； 5、過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；題目一：作一條線段等于已知線段。已知：如圖，線段a .求作：線段AB，使AB = a .作法：（1） 作射線AP；（2） 在射線AP上截取AB=a .則線段AB就是所求作的圖形。題目二：作

4、已知線段的中點(diǎn)。已知：如圖，線段MN.求作：點(diǎn)O，使MO=NO（即O是MN的中點(diǎn)）.作法：（）分別以M、N為圓心，大于的相同線段為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P，Q；（）連接PQ交MN于O則點(diǎn)O就是所求作的的中點(diǎn)。（試問(wèn)：PQ與有何關(guān)系？）題目三：作已知角的角平分線。已知：如圖，AOB，求作：射線OP, 使AOPBOP（即OP平分AOB）。作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于M，N；（2）分別以M、為圓心，大于的相同線段為半徑畫(huà)弧，兩弧交AOB內(nèi)于；（3） 作射線OP。則射線OP就是AOB的角平分線。題目四：作一個(gè)角等于已知角。（請(qǐng)自己寫(xiě)出“已知”“求作”并作出圖形，不寫(xiě)作法

5、）題目五：已知三邊作三角形。已知：如圖，線段a，b，c.求作：ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：（1） 作線段AB = c；（2） 以A為圓心b為半徑作弧，以B為圓心a為半徑作弧與前弧相交于C；（3） 連接AC，BC。則ABC就是所求作的三角形。題目六：已知兩邊及夾角作三角形。已知：如圖，線段m，n, .求作：ABC，使A=，AB=m，AC=n.作法：（1） 作A=；（2） 在AB上截取AB=m ,AC=n；（3） 連接BC。則ABC就是所求作的三角形。題目七：已知兩角及夾邊作三角形。已知：如圖，線段m .求作：ABC，使A=，B=,AB=m.作法：（1） 作線段AB=

6、m；（2） 在AB的同旁作A=，作B=，A與B的另一邊相交于C。則ABC就是所求作的圖形（三角形）。初中尺規(guī)作圖典型例題歸納典型例題一例 已知線段a、b，畫(huà)一條線段，使其等于分析 所要畫(huà)的線段等于，實(shí)質(zhì)上就是畫(huà)法：1畫(huà)線段2在AB的延長(zhǎng)線上截取線段AC就是所畫(huà)的線段說(shuō)明1尺規(guī)作圖要保留畫(huà)圖痕跡，畫(huà)圖時(shí)畫(huà)出的所有點(diǎn)和線不可隨意擦去2其它作圖都可以通過(guò)畫(huà)基本作圖來(lái)完成，寫(xiě)畫(huà)法時(shí)，只需用一句話來(lái)概括敘述基本作圖典型例題二例 如下圖，已知線段a和b，求作一條線段AD使它的長(zhǎng)度等于2ab錯(cuò)解 如圖（1），（1）作射線AM；（2）在射線AM上截取AB=BC=a，CD=b，則線段AD即為所求錯(cuò)解分析 主要是

7、作圖語(yǔ)言不嚴(yán)密，當(dāng)在射線上兩次截取時(shí)，要寫(xiě)清是否順次，而在求線段差時(shí)，要交待截取的方向圖（1） 圖（2）正解 如圖（2），（1）作射線AM；（2）在射線AM上，順次截取AB=BC=a；（3）在線段CA上截取CD=b，則線段AD就是所求作的線段典型例題三例 求作一個(gè)角等于已知角MON（如圖1）圖（1） 圖（2）錯(cuò)解 如圖（2），（1）作射線；（2）在圖（1），以O(shè)為圓心作弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；（3）以為圓心作弧，交于C；（4）以C為圓心作弧，交于點(diǎn)D；（5）作射線則即為所求的角錯(cuò)解分析 作圖過(guò)程中出現(xiàn)了不準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言，在作出一條弧時(shí)，應(yīng)表達(dá)為：以某點(diǎn)為圓心，以其長(zhǎng)為半徑作弧正解 如圖

8、（2），（1）作射線；（2）在圖（1）上，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；（3）以為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)C；（4）以C為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)D；（5）過(guò)點(diǎn)D作射線則就是所要求作的角典型例題四例 如下圖，已知及線段a，求作等腰三角形，使它的底角為，底邊為a分析 先假設(shè)等腰三角形已經(jīng)作好，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，知兩底角B=C=，底邊BC=a，故可以先作B=，或先作底邊BC=a作法 如下圖（1）MBN=；（2）在射線BM上截取BC=a；（3）以C為頂點(diǎn)作PCB=，射線CP交BN于點(diǎn)AABC就是所要求作的等腰三角形說(shuō)明 畫(huà)復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不

9、到作法，一般是先畫(huà)出一個(gè)符合條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫(huà)圖步驟典型例題五例 如圖（1），已知直線AB及直線AB外一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CDAB（寫(xiě)出作法，畫(huà)出圖形）分析 根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等，故作一個(gè)角ECD=EFB即可作法 如圖（2）圖（1） 圖（2）（1）過(guò)點(diǎn)C作直線EF，交AB于點(diǎn)F；（2）以點(diǎn)F為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交FB于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)Q；（3）以點(diǎn)C為圓心，以FP為半徑作弧，交CE于M點(diǎn)；（4）以點(diǎn)M為圓心，以PQ為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)D；（5）過(guò)點(diǎn)D作直線CD，CD就是所求的直線說(shuō)明 作圖題都應(yīng)給出證明，但按照教科書(shū)的要求，一般不用寫(xiě)出

10、，但要知道作圖的原由典型例題六例 如下圖，ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，B=，C=，請(qǐng)你從中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，畫(huà)出與ABC全等的三角形（把你能畫(huà)的三角形全部畫(huà)出來(lái)，不寫(xiě)畫(huà)法但要在所畫(huà)的三角形中標(biāo)出用到的數(shù)據(jù)）分析 本題實(shí)質(zhì)上是利用原題中的5個(gè)數(shù)據(jù)，列出所有與ABC全等的各種情況，依據(jù)是SSS、SAS、AAS、ASA解 與ABC全等的三角形如下圖所示典型例題七例 正在修建的中山北路有一形狀如下圖所示的三角形空地需要綠化擬從點(diǎn)A出發(fā)，將ABC分成面積相等的三個(gè)三角形，以便種上三種不同的花草，請(qǐng)你幫助規(guī)劃出圖案（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2003年，桂林）分析 這是尺規(guī)作圖在生活中

11、的具體應(yīng)用要把ABC分成面積相等的三個(gè)三角形，且都是從A點(diǎn)出發(fā)，說(shuō)明這三個(gè)三角形的高是相等的，因而只需這三個(gè)三角形的底邊也相等，所以只要作出BC邊的三等分點(diǎn)即可作法 如下圖，找三等分點(diǎn)的依據(jù)是平行線等分線段定理典型例題八例 已知AOB，求作AOB的平分線OC錯(cuò)解 如圖（1）作法 （1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點(diǎn)；（2）分別以D、E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C點(diǎn)；（3）連結(jié)OC，則OC就是AOB的平分線錯(cuò)解分析 對(duì)角平分線的概念理解不夠準(zhǔn)確而致誤作法（3）中連結(jié)OC，則OC是一條線段，而角平分線應(yīng)是一條射線圖（1） 圖（2）正解 如圖（2）（1）

12、以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點(diǎn)；（2）分別以D、E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C點(diǎn)；（3）作射線OC，則OC為AOB的平分線典型例題九例 如圖（1）所示，已知線段a、b、h（hb）求作ABC，使BC=a，AB=b， BC邊上的高AD=h圖（1）錯(cuò)解 如圖（2），（1）作線段BC=a；（2）作線段BA=b，使ADBC且AD=h則ABC就是所求作的三角形錯(cuò)解分析 不能先作BC；第2步不能同時(shí)滿足幾個(gè)條件，完全憑感覺(jué)毫無(wú)根據(jù)；未考慮到本題有兩種情況對(duì)于這種作圖題往往都是按照由里到外的順序依次作圖，如本題先作高AD，再作AB，最后確定BC圖（2） 圖（3）正

13、解 如圖（3）（1）作直線PQ，在直線PQ上任取一點(diǎn)D，作DMPQ；（2）在DM上截取線段DA=h；（3）以A為圓心，以b為半徑畫(huà)弧交射線DP于B；（4）以B為圓心，以a為半徑畫(huà)弧，分別交射線BP和射線BQ于和；（5）連結(jié)、，則（或）都是所求作的三角形典型例題十例 如下圖，已知線段a，b，求作RtABC，使ACB=90，BC=a，AC=b（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）分析 本題解答的關(guān)鍵在于作出ACB=90，然后確定A、B兩點(diǎn)的位置，作出ABC作法 如下圖（1）作直線MN：（2）在MN上任取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CEMN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）連結(jié)AB，ABC就

14、是所求作的直角三角形說(shuō)明 利用基本作圖畫(huà)出所求作的幾何圖形的關(guān)鍵是要先分析清楚作圖的順序若把握不好作圖順序，要先畫(huà)出假設(shè)圖形典型例題十一例 如下圖，已知鈍角ABC，B是鈍角求作：（1）BC邊上的高；（2）BC邊上的中線（寫(xiě)出作法，畫(huà)出圖形）分析 （1）作BC邊上的高，就是過(guò)已知點(diǎn)A作BC邊所在直線的垂線；（2）作BC邊上的中線，要先確定出BC邊的中點(diǎn)，即作出BC邊的垂直平分線作法 如下圖（1）在直線CB外取一點(diǎn)P，使A、P在直線CB的兩旁；以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑畫(huà)弧，交直線CB于G、H兩點(diǎn)；分別以G、H為圓心，以大于GH的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于E點(diǎn)；作射線AE，交直線CB于D點(diǎn)，則線段AD就

15、是所要求作的ABC中BC邊上的高（2）分別以B、C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于M、N兩點(diǎn)；作直線MN，交BC于點(diǎn)F；連結(jié)AF，則線段AF就是所要求作的ABC中邊BC上的中線說(shuō)明 在已知三角形中求作一邊上的高線、中線、角平分線時(shí)，首先要把握好高線、中線、角平分錢(qián)是三條線段；其次，高線、中線的一個(gè)端點(diǎn)必須是三角形中這邊所對(duì)的頂點(diǎn)，而關(guān)鍵是找出另一個(gè)端點(diǎn)典型例題十二例 如圖（1）所示，在圖中作出點(diǎn)C，使得C是MON平分線上的點(diǎn)，且AC=OC圖（1） 圖（2）分析 由題意知，點(diǎn)C不僅要在MON的平分線上，且點(diǎn)C到O、A兩點(diǎn)的距離要相等，所以點(diǎn)C應(yīng)是MON的平分線與線段OA的垂直平分線

16、的交點(diǎn)作法 如圖（2）所示（1）作MON的平分線OP；（2）作線段OA的垂直平分線EF，交OP于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所要求作的點(diǎn)說(shuō)明（1）根據(jù)題意弄清要求作的點(diǎn)的特征是到各直線距離相等，還是到各端點(diǎn)距離相等（2）兩條直線交于一點(diǎn)典型例題十三例 如下圖，已知線段a、b、求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，ADBC，B=；C=分析 假定梯形已經(jīng)作出，作AEDC交BC于E，則AE將梯形分割為兩部分，一部分是ABE，另一部分是AECD在ABE中，已知B=，AEB=，BE=b-a，所以，可以首先把它作出來(lái)，而后作出AECD作法 如下圖（1）作線段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a ；（3）分別以B

17、、E為頂點(diǎn)，在BE同側(cè)作EBA=，AEB=，BA、EA交于A；（4）以EA、EC為鄰邊作AECD四邊形ABCD就是所求作的梯形說(shuō)明 基本作圖是作出較簡(jiǎn)單圖形的基礎(chǔ)，三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，它是許多復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)因此，要作一個(gè)復(fù)雜的圖形，常常先作一個(gè)比較容易作出的三角形，然后以此為基礎(chǔ)，再作出所求作的圖形典型例題十四例 如下圖，在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在A區(qū)內(nèi)，到鐵路與公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處B點(diǎn)700米，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在圖示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置（2002年，青島）分析 依據(jù)角平分線的性質(zhì)可以知道，藍(lán)方指揮部必在A區(qū)內(nèi)兩條路所夾角的平分線上，然

18、后由藍(lán)方指揮部距B點(diǎn)的距離，依據(jù)比例尺，計(jì)算出圖上的距離為3.5cm，就可以確定出藍(lán)方指揮部的位置解 如下圖，圖中C點(diǎn)就是藍(lán)方指揮部的位置典型例題十五例 如圖（1），已知有公共端點(diǎn)的線段AB、BC求作O，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2002年，大連）圖（1） 圖（2）分析 因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)在O上，所以O(shè)A=OB=OC=R根據(jù)到線段AB、BC各端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故分別作線段AB、BC垂直平分線即可解 如圖（2）說(shuō)明 角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)在作圖題中的應(yīng)用是近幾年中考中的又一道風(fēng)景，它往往與實(shí)際問(wèn)題緊密聯(lián)系在一起典型例題十六例

19、 如圖，是一塊直角三角形余料，工人師傅要把它加工成一個(gè)正方形零件，使C為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，其余三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫(huà)出裁割線 分析 要作出符合條件的正方形，可先作出有三個(gè)角為90的四邊形，并設(shè)法讓相鄰的一組邊相等即可作法 如圖 作的角平分線CD，交AB于點(diǎn)G；過(guò)G點(diǎn)分別作AC、BC的垂線，垂足為E、F則四邊形ECFG就是所要求作的正方形 基礎(chǔ)訓(xùn)練1、已知線段AB和CD，如下圖，求作一線段，使它的長(zhǎng)度等于AB2CD.2、如圖，已知A、B，求作一個(gè)角，使它等于A-B.3、如圖作ABC，使得BC=、AC=、AB=4、如圖，畫(huà)一個(gè)等腰ABC，使得底邊BC=，它的高AD

20、=5、如圖，已知AOB及M、N兩點(diǎn)，求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AOB的兩邊距離相等，且到M、N的兩點(diǎn)也距離相等。6.己知三角形的兩條邊及其夾角，求作三角形已知一個(gè)三角形的兩條邊分別為a，b，這兩條邊夾角為a，求作這個(gè)三角形7.已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形巳知一個(gè)三角形的兩角分別為a 夾邊為a 求作這個(gè)三角形。 8、己知三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊，求作三角形已知三角形的兩角分別為a ，a的對(duì)邊為a,求作這個(gè)三角形 9.己知一直角邊和斜邊求作三角形己知一個(gè)直角三角形的一條直角邊為a，斜邊長(zhǎng)為c，求作這個(gè)三角形。10尺規(guī)作圖：請(qǐng)你作出一個(gè)以線段和線段為對(duì)角線的菱形(要求：寫(xiě)出已知，求作，結(jié)論，并

21、用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法及證明)已知：求作：結(jié)論：垂直平分線的訓(xùn)練1.某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC，如圖所示，現(xiàn)要在道路AB上建一個(gè)休息點(diǎn)M，使他到A，C兩個(gè)點(diǎn)的距離相等. 在圖中確定休息點(diǎn)M的位置； 角平分線作圖訓(xùn)練2.如圖，AB.AC表示兩條相交的公路，現(xiàn)要在BAC的內(nèi)部建一個(gè)物流中心設(shè)計(jì)時(shí)要求該物流中心到兩條公路的距離相等，且到公路交叉處A點(diǎn)的距離為1000米（1）若要以1：50000的比例尺畫(huà)設(shè)計(jì)圖，求物流中心到公路交叉處A點(diǎn)的圖上距離；AC1cm（2）在圖中畫(huà)出物流中心的位置PB解：（1） （2） 結(jié)論：3.為美化環(huán)境，在一塊三角形草坪上建一個(gè)噴水池，使得它到草坪的三邊AB、BC、AC的距離相等若三角形草坪如圖所示，請(qǐng)你在圖中確定這個(gè)噴水池（用點(diǎn)P表示）的位置；ABC作圓訓(xùn)練4青島國(guó)際