新課程背景下對幾何教學的案例研究

1、新課程背景下對幾何教學的案例研究 勾股定理是初中幾何教學中的重要內(nèi)容.因為作為反映自然界基本規(guī)律的一條結論，它在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用. 同時，勾股定理在數(shù)學發(fā)展史中亦占有重要的地位，勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證和應用都蘊涵著豐富的文化價值. 在數(shù)學課程改革中，基于對數(shù)學課程標準基本理念的理解，我從多個方面、不同的角度將課改前后勾股定理的教學進行了對比與研究，以求從中明晰在今后的教學中亟待解決的問題，更加靠近課程改革的具體目標. 一、課程改革前對勾股定理的教學 （一）教學目標 1. 使學生掌握勾股定理. 2. 使學生能夠熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長. （二）教學內(nèi)

2、容 1. 關于勾股定理的數(shù)學史：周髀算經(jīng)中出現(xiàn)的“勾廣三，股修四，徑隅五”. 2. 給出勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2 + b2 = c2. 3. 用拼圖法推證勾股定理. 4. 勾股定理的應用：解決幾何計算、作圖及實際生產(chǎn)、生活的問題. 二、課程改革后對勾股定理的教學 （一）教學目標 1. 認知目標：掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，學會用符號表示.通過數(shù)格子及割補等辦法探索勾股定理的形成過程，使學生體會數(shù)形結合的思想，體驗從特殊到一般的邏輯推理過程. 2. 能力目標：發(fā)展學生的合情推理能力，主動合作、探究的學習精神，感受數(shù)學思考過程的條理性，讓學生經(jīng)歷“

3、觀察猜想歸納驗證”的數(shù)學思想，并感受數(shù)形結合和由特殊到一般的思想方法. 3. 情感目標：通過數(shù)學史上對勾股定理的介紹，激發(fā)學生學數(shù)學、愛數(shù)學、做數(shù)學的情感，使學生在經(jīng)歷定理探索的過程中，感受數(shù)學之美、探究之趣. （二）教學內(nèi)容 1. 在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理（或設計其他的探索情境）. 2. 由學生通過觀察、歸納、猜想確認勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 3. 勾股世界：介紹勾股定理的悠久歷史、重大意義及古代人民的聰明才智. 4. 探討利用拼圖法驗證勾股定理. 5. 勾股定理的實際應

4、用. 三、兩種課堂教學的對比 （一）教學理念和教學內(nèi)容的不同 課改前傳統(tǒng)的勾股定理的教學，重在掌握定理和應用定理.這種教學過分突出了勾股定理這一現(xiàn)成幾何知識結論的傳遞和接受，忽略了定理的發(fā)現(xiàn)過程、發(fā)現(xiàn)方法，導致學生的學習過程被異化為被動接受和單純的記憶定理、被動認知和機械訓練變形及運算技能的過程.這種教學思想的弊病是“重結論而輕過程”，“厚知識運用而薄思想方法”. 課改后勾股定理的教學從以下幾方面進行： 1. 創(chuàng)設探索性的問題情境學生歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律. 2. 拼圖驗證定理用數(shù)形結合的方法支持定理的認識. 3. 構建數(shù)學模型學生體驗由特例歸納猜想、由特例檢驗猜想. 4. 解決實

5、際問題熟練掌握定理，并形成運用定理的技能. 5. 勾股定理數(shù)學史激發(fā)學生的民族自豪感，點燃熱愛數(shù)學的熱情. 站在理論的角度，在這種設計中，使學生對知識的實際背景和對知識的直觀感知以及學生對收集、整理、分析數(shù)學信息的能力等方面得以加強.這充分反映了以未來社會對公民所需的數(shù)學思想方法為主線選擇和安排教學內(nèi)容，并以與學生年齡特征相適應的大眾化、生活化的方式呈現(xiàn)教學內(nèi)容.不過，通過實際教學，要想真正的做到“以學生為本”，在短短的兩課時內(nèi)既要重點突出，又能不留死角地圓滿完成以上五個層面的學習，也確屬不易. （二）教師備課內(nèi)容的不同 教改前對勾股定理的備課，在把握教材內(nèi)容的同時，可在勾股定理的數(shù)學史和定理

6、應用兩方面加以調(diào)整.例如，增強民族自豪感：中國古代的大禹就是用勾股定理來確定兩地的地勢差，以治理洪水；激發(fā)學習興趣：勾股定理的證明方法已有400多種，給出這些證明方法的不但有數(shù)學家、物理學家，還不乏政界要人，像美國第20任總統(tǒng)加菲爾德、印度國王帕斯卡拉二世，都通過構造圖形的方法給出了勾股定理的別致證法. 定理應用這一課時，教材從純幾何問題、生活問題、生產(chǎn)問題等幾方面均有涉及，從提高學生興趣方面可靈活補充一道11世紀阿拉伯數(shù)學家給出的一道趣味題：小溪邊長著兩棵樹，隔岸相望.一棵樹高30肘尺（古代長度單位），另一棵高20肘尺，兩樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥，兩只鳥同時看見

7、樹間水面上游出的一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到到目標.問：這條魚出現(xiàn)的地方離較高的樹的樹根有多遠？ 在實際教學中根據(jù)學生的理解情況及實際水平，在訓練的形式、數(shù)量上與教材也有所區(qū)分：增加了一個隨堂檢測，以鞏固所學. 由于當時所教班級為數(shù)學班，學生整體接受能力較強，就設計了一個請學生自編有關勾股定理應用的題目，效果不錯. 教改后的備課，除了在上述兩方面有所選擇之外，重點放在了探索情境的設置上：利用下面圖中的任何一個或幾個都可從3個正方形的面積關系中得出直角三角形三邊關系，不同的班級可由學生不同的認知水平來設計認識層次. 為了保證教學重點，把利用拼圖驗證勾股定理的主要探討放在專門的課題學習中進

8、行. （三）學生學習方式的不同 對于課改前勾股定理的學習，學生沿襲著“接受定理強化訓練回味體會”的方式.這在一定程度上增強了學生對定理的熟悉程度，并在定理應用上感到運用自如.但這種熟練僅僅是一種強化訓練后的暫時現(xiàn)象，知識的本身及其遷移只保持在較短的時間內(nèi)，不會給學習者留下長久的甚至是終生的印象. 很明顯，課改后勾股定理的學習是從實際問題到數(shù)學問題，再回到實際問題的處理過程，學生眼中的勾股定理來源于熟悉的背景正方形面積，又用于指導生產(chǎn)、生活.經(jīng)常用數(shù)學的眼光來審視生活，從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，學生才會逐步具有“數(shù)學建模”的能力，才能逐步感悟生活的數(shù)學性.這不僅是社會發(fā)展的需要，同時也是促進學生自身發(fā)展

9、的需要.學生學習過程中對定理的探求、現(xiàn)代信息技術的發(fā)現(xiàn)及驗證過程無時不表現(xiàn)著其學習的主動性，定理的歸納、結論的自我認同又包含著合作與自由發(fā)展的和諧共鳴.利用課堂教學、利用教材培養(yǎng)學生良好的學習方式，便塑造了其良好的思維方式，促進了學生和諧、自由、全面、充分的發(fā)展. （四）教學效果的不同（見下表） 四、兩種教學對比研究的結論 （一）新課程前后的教學各有優(yōu)勢與不足（見下表） （二）新課程中幾何教學需要注意的幾個方面 1. 探究學習不是簡單地布置學生去探究、去學習，教師要發(fā)揮主導作用，要讓學生明確去探究什么，如何探究，要讓學生的探究活動是有效的、有意義的.新教材中的很大一部分可采用勾股定理的探究方式

10、：向?qū)W生提供探索情境，提出能提供必需信息的問題學生采用多種方式尋求問題的答案，獲取信息整理、歸納結論設法驗證或解釋. 2. 學生學習過程中的主動參與要在教師指導督促中形成，不能過高估計學生的意志、興趣.例如，營造一種和諧、民主的課堂氣氛來提高全體學生的參與興趣；幫助學生制訂分段式的小目標來增強其成就感，強化其參與意識. 3. 避免合作學習流于形式.（1）堅持“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的分組方式，以保證人人有所發(fā)展.（2）教師要加強合作技能的指導，指導學生進行小組分工，要求明確各自在完成共同的任務中個人承擔的責任.（3）及時協(xié)調(diào)組內(nèi)成員間的關系，有效解決組內(nèi)出現(xiàn)的不利問題.（4）正確評價組內(nèi)成員的成

11、績，尋求個人和小集體共同提高的途徑. 4. 要注重教學活動目標的整體實現(xiàn).新課程中注重對學生學習興趣的培養(yǎng)、能力的提升，注重知識形成過程的教學，但對一些基本的訓練有些淡化，導致整體教學目標不夠均衡.為此，在勾股定理的教學中，不但要重過程、方法、能力，還要重視相關的計算和推理，并在計算和推理中學會數(shù)學思考，這樣才能把“知識技能”、“數(shù)學思考”、“問題解決”、“情感態(tài)度”多方面教學目標有機結合，達到整體實現(xiàn)教學目標. 5. 不能忽視雙基的教學，要注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握.基礎知識不但是學生發(fā)展的基礎性目標，還是落實數(shù)學思想、方法、能力目標的載體.數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點

12、”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系. 6. 重視合情推理及演繹推理的教學和訓練.推理教學要轉(zhuǎn)變并貫穿于數(shù)學教學的始終.教學中，教師要設計適當?shù)膶W習活動，引導學生通過觀察、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜想某些結論，發(fā)展合情推理能力.對于幾何的教學要加強演繹推理的教學訓練，通過實例讓學生認識到，結論的正確與否需要演繹推理的證明.當然，不同年級可提出不同的要求，但要慢慢加強，訓練不斷提高要求，最后形成較高的演繹推理能力. 7. 現(xiàn)代信息技術與傳統(tǒng)的教學手段要強強聯(lián)合.課改中，對現(xiàn)代信息技術的應用得到了足夠的重視，但并不是說傳統(tǒng)的教學手段就落伍了，它們互有所長，相互補充.對現(xiàn)代信息技術的運用要合理，如計算器要用在繁瑣的計算上，不能讓簡單的計算也要用到，否則反而削弱了學生的計算能力，課改中學生的計算能力的下降與此有直接關系.對于計算機的應用，好鋼要用在關鍵的地方，在幾何及函數(shù)中的數(shù)、形的變化關系中，計算機有其他教學手段無法比擬的優(yōu)勢，對于一節(jié)課的相關概念及重要法則、公式、定理等還是要發(fā)揮板書的優(yōu)勢，一節(jié)課都體現(xiàn)在黑板中，學生抬