證明：質量均勻分布的球殼對球內任一點的引力為零[基礎教學]_第1頁
證明：質量均勻分布的球殼對球內任一點的引力為零[基礎教學]_第2頁
證明：質量均勻分布的球殼對球內任一點的引力為零[基礎教學]_第3頁
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文檔簡介

1、質量均勻分布的球殼對球內任一質點的引力為零A1A1A1A2A2A2POr1r2證明如下：如圖，質量均勻分布的球殼（綠色部分），在其內部任放一質點P，過P作一條直線A1A2，以這條直線為母線，以很小的為立體角旋轉一周得兩圓錐。兩圓錐截得兩塊“球皮”A1A1和A2A2，現證明這兩塊“球皮”對質點P的引力的合力為零。 首先，由于兩塊“球皮”很小，而且立體角很?。ɑ蛘哒f圓錐的頂角很小），所以由圖易知，P所受兩“球皮”的引力的方向必相反。故只須再證明P所受兩“球皮”的引力大小相等。為此設P點所放質點的質量為m，兩“球皮”的面積分別為S1和S2，球殼的質量面密度為，兩“球皮”到P點的距離分別為r1和r2，

2、由萬有引力定律可得P點所放質點m受到的兩個引力大小分別為和過P點沿兩圓錐軸線作虛線（藍色）分別交兩“球皮”于A1和A2兩點，這條直線與兩半徑的夾角均為（為什么），如圖所示?，F將S1投影到與直線A1A2垂直的平面上，即投影到圖中過A1點且與直線A1A2垂直的平面上。因立體角圓錐頂角很小，所以投影平面面積與球冠面積相等。所以投影得到一球冠，面積為S1cos（為什么？自己想想！）。同樣的，將S2投影到過A2點的平面上，得到另一球冠，它的面積為S2cos。根據球冠的面積公式可得與球冠對應（的圓錐的）立體角為。顯然，這一立體角與球的半徑R、球冠的高度h均無關，僅與圓錐的頂角的一半有關。對比平面弧度角與圓的半徑無關，可以更好地加以理解。 萬事具備，只欠因為兩個圓錐的頂角相等，從而兩個立體角相等，從而F1與F2大小相等。這樣，我們就證明了兩塊“球皮”S1和S2對放在P點質點m的引力的合力為零；而整個球殼可分解成這樣一對對的“球皮”，每一對“球皮”對放在任意點P的質點的引力的合力均為零；所以，質量均勻分布的球殼對球內任一質點的引力為零！附錄：“球冠面積”與“立體角”，將下圖立體想

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