數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文矩陣初等變換的若干應(yīng)用

1、 矩矩陣陣初初等等變變換換的的若若干干應(yīng)應(yīng)用用some applications of elementarytransformation of matrix 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校二一 i 摘摘 要要本文介紹了矩陣初等變換在高等代數(shù)中的一些應(yīng)用, 總結(jié)了其在求矩陣和向量組的秩、求逆矩陣、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、求解矩陣方程以及求一元多項(xiàng)式最大公因式中的應(yīng)用.關(guān)鍵字: 初等變換; 秩; 逆矩陣; 標(biāo)準(zhǔn)形; 矩陣方程; 最大公因式 ii abstractabstract in this paper, we introduce some applications of eleme

2、ntary transformation of matrix in algebra, and summarizes the applications of elementary transformation of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form, solving the matrix equation and the monadic polynomial greatest common factor. keywo

3、rds: elementary transformation; rank; inverse matrix; standard form; matrix equation; greatest common factor 目 錄摘 要 .iabstract .ii0 引言 .11 矩陣的初等變換與初等矩陣的基本概念 .12 用初等變換求矩陣和向量組的秩 .23 用初等變換法求逆矩陣 .34 用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 .45 用初等變換求解矩陣方程 .55.1 當(dāng),b可逆時(shí)線性矩陣方程bax 的解 .5a5.2 當(dāng)a,b不可逆時(shí)線性矩陣方程bax 的解 .66 用初等變換討論一元多項(xiàng)式最大公因式的

4、求法 .8參考文獻(xiàn) .11第 1 頁, 共 11 頁0 引言矩陣?yán)碚撌谴鷶?shù)的主要內(nèi)容之一, 在數(shù)學(xué)及其它科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用. 在矩陣的應(yīng)用中, 矩陣的初等變換起著關(guān)鍵作用. 關(guān)于矩陣初等變換的應(yīng)用, 前人已經(jīng)得出了很多有價(jià)值的結(jié)論, 本文在前人理論的基礎(chǔ)上對(duì)矩陣的初等變換在代數(shù)中的若干應(yīng)用進(jìn)行了一些討論. 歸納了初等變換在求矩陣和向量組的秩, 矩陣的逆, 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 線性矩陣方程的解以及求一元多項(xiàng)式的最大公因式等方面的應(yīng)用.1 矩陣的初等變換與初等矩陣的基本概念 我們先來看看有關(guān)矩陣初等變換和初等矩陣的相關(guān)知識(shí):(1) 對(duì)矩陣施以以下三種變換, 稱為矩陣的初等變換: (i) 交換

5、矩陣的兩行(列);(ii) 以一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某行(列);k(iii) 矩陣的某行(列)加上另一行(列)的倍.k(2) 矩陣的初等變換用如下形式表示: (i) 交換矩陣的第 行(列)與第行(列): 或;ijjirr jicc (ii) 非零常數(shù)乘矩陣的第 行(列): 或; kiikrikc(iii) 矩陣的第 行(列)加上第行(列)的倍: 或.ijkjikrr jikcc (3) 初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣, 共 3 類:e(i)交換的第 行與第行(或第 列與第列)得到的初等矩陣;),(jipeijij(ii)（或）用數(shù)域中的非零數(shù)乘的第 行(或第列)( kip

6、)(kjppkeij得到的初等矩陣;(iii)把的第行的倍加到第 行(或第 列的倍加到列)得)(,(kjipejkiikj到的初等矩陣.第 2 頁, 共 11 頁2 用初等變換求矩陣和向量組的秩 由于初等變換不改變矩陣的秩, 且任意一個(gè)矩陣均可以經(jīng)過一系列行初等變nm換化為梯形矩陣; 因此, 我們要確定一個(gè)矩陣的秩, 首先要用行初等變換將其化nm為梯形矩陣, 然后再由梯形矩陣的秩確定原矩陣的秩.例 1 設(shè), 求矩陣的秩.03341431210110122413aa解 03341431210110122413a 022404222001101211102423213rrrrrr 00000862

7、0021110011014321141342rrrrrrrr因此矩陣的秩為 3.a如果我們要求向量組的秩, 可以把每一向量作為矩陣的一行, 從而向量組就轉(zhuǎn)化為了一個(gè)矩陣, 使求向量組的秩轉(zhuǎn)化成求矩陣的秩, 自然使問題簡單化了.例 2 求向量組, , , , )4 , 2 , 0 , 1(1)2 , 1, 3 , 1 (2)4 , 5, 1 , 3(3)0 , 2 , 1, 1 (4)3 , 5, 1 , 2(5的秩. 解 以為列, 構(gòu)造矩陣, 再對(duì)進(jìn)行行初等變換, 化為梯形矩陣:54321,aa 30424525121113021311),(54321a第 3 頁, 共 11 頁 114166

8、0141101113021311141342rrrr1720100014110413200213113432163rrrrr 3785000413200141102131134325rrrr因此, 矩陣的秩是 4, 從而向量組的秩也是 4.a54321，3 用初等變換法求逆矩陣 如果是階可逆矩陣, 我們將與并排放到一起, 形成一個(gè)的矩陣anaenn2, 因?yàn)? 所以對(duì)矩陣作一系列行初等變換, 將其左)|(ea)|()|(11aeeaa)|(ea半部分化為單位矩陣, 這時(shí)右半部分就是.1a例 3 設(shè)，求.111142251a1a解 )|(ea100111010142001251 10114001

9、236000125113122rrrr 13231100061312110065322101212325461rrrrr . 1323110021616101021212100132312121rrrr第 4 頁, 共 11 頁因此, .132312161612121211a同理, 如果是階可逆矩陣, 我們將與并列放到一起, 形成一個(gè) 的anaenn2矩陣, 因?yàn)? 所以對(duì)矩陣作一系列列初等變換, 將其上半部分ea11aeeaaea化為單位矩陣, 這時(shí)下半部分就是. 用初等變換法求逆矩陣是一種通用而較簡便的1a方法. 正確地選擇和使用它們能更快更好地解決各類求逆矩陣問題.4 用初等變換化二次型

10、為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)任意二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化axxxxxfn),(21cyx 為標(biāo)準(zhǔn)形, 即為對(duì)稱矩陣找一個(gè)可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣, 而可逆矩acdacc陣可以寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積, 所以存在初等矩陣有， sppp,21spppc21從而有是一個(gè)對(duì)角矩陣.dppappppss2112由上式可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下:首先, 寫出二次型的矩陣, 構(gòu)造矩陣, 然后對(duì)矩陣每進(jìn)行一次行初nn2eaea等變換后, 就對(duì)進(jìn)行一次同樣的列初等變換, 當(dāng)矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí), 單位矩eaa陣將化為可逆矩陣, 此時(shí), 最后得到可逆矩陣和非退化線性變換ecdaccc, 在這個(gè)變換下

11、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.cyx dyyf例 4 化二次型32312123213216442),(xxxxxxxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)形, 并寫出所用的非退化線性替換.第 5 頁, 共 11 頁 解 題中二次型的矩陣為, 由上面的初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形232302221a的步驟可知:=ea100100020312320221131312122222ccrrccrr100100222110104001,10041102321470004000123234141ccrr40011062128000400013344cr從而非退化線性替換為, 原二次型化為.321xxx321400110621yyy23222

12、1284yyyf在運(yùn)用矩陣初等變換來化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵: 對(duì)矩陣進(jìn)行的行初等變換ea和列初等變換必須是一致的.5 用初等變換求解矩陣方程5.1 當(dāng),可逆時(shí)線性矩陣方程bax 的解ab我們知道的解為bax1. 實(shí)際上就是計(jì)算形如ba1的矩陣乘積, 因?yàn)閎ax ),(),(11baebaa, 所以經(jīng)過行初等變換可使),(ba化為),(1bae, 也即對(duì)nn2矩陣),(ba作初等行變換, 當(dāng)a處變成單位矩陣e時(shí), b處得到的矩陣就是ba1.第 6 頁, 共 11 頁例 5 求解矩陣方程bax , 其中121011322a，321011324b.解 321121011011324322),(ba

13、3301103023400110111312212rrrrrr , 9122100330110011011323234rrrrr 91221006920106830012132rrrr因此 91226926831bax.5.2 當(dāng),不可逆時(shí)線性矩陣方程的解abbax 當(dāng), ,不可逆時(shí)我們將要用到新的初等變換法來解這種矩陣方程.ab定理 5.2.1 如果矩陣方程有解, 且可逆矩陣使, 那bax qp和000repaq么該矩陣方程的通解為, 其中為的前 行組成的矩陣, 中的元素可1xbpqxppr1x以任意取值. （證明見參考文獻(xiàn)5）以上定理可給出求解矩陣方程的具體方法:bax （1）把, , ,

14、放到一起, 組成一個(gè)矩陣, 然后對(duì)其做初等行變換, 使abe),(eba得經(jīng)過行變換后得到矩陣, 其中是上階三角矩陣, 從而可確定矩陣和矩),(11pba1aa陣的秩, 判斷方程是否有解, 同時(shí)取的前面 行作成, 它滿足, 且),(baprp1apa 為的前 行. bp1br（2）如果上述方程有解, 則對(duì)作初等列變換. 經(jīng)過列變換后變成其中ea1qd第 7 頁, 共 11 頁, 必有.000reddpaq （3）從而由定理 5.2.1 可知，的通解公式為.bax 1xbpqx例 6 設(shè), ,5163312141421021a141028601181321b求矩陣方程的通解.bax 解 根據(jù)求解

15、矩陣方程的步驟, 首先將放到一起, 組成一個(gè)矩陣bax eba, 如下: ),(eba,10001410251630100860312100101181414200013211021),(eba然后對(duì)其作一系列初等行變換, 使得為上三角矩陣, 即a.）（行變換行變換pba,1011000000001110000000001254121000001321102111 很明顯, 矩陣和矩陣的秩都是 2, 故該方程有解.a),(ba取=, 有=, 接下來對(duì)作初等列變換p00001021p b534211ea1, 10002010010012010000000000100001100001000010

16、000100000000210010211列變換ea第 8 頁, 共 11 頁經(jīng)過列變換后我們可得到.1000201001001201q從而, 由定理 5.2.1 知, 該方程的通解為1xbpqx6352415342111000201001001201xxxxxx ,112010012050304020101x其中是任意的矩陣.1x32矩陣方程的通解公式和解法與上面類似（詳見參考文獻(xiàn)2或5）, 應(yīng)用bxa 矩陣的初等變換來求解矩陣方程具有很大優(yōu)點(diǎn), 不但通俗易懂, 而且容易掌握.6 用初等變換討論一元多項(xiàng)式最大公因式的求法求一元多項(xiàng)式最大公因式的方法, 目前最常用的方法是輾轉(zhuǎn)相除法和因式分解法

17、. 下面給出用矩陣及其初等變換來求一元多項(xiàng)式的最大公因式, 而且方便快捷.定理 6.1 設(shè), 令, 則對(duì)實(shí)施一系列)()(21xpxfxf，1001)()()(21xfxfxa)(xa初等列變換后得, 此時(shí), 且是2211*)(*)(0)()(xuxuxdxb)()()()()(2211xdxuxfxuxf)(xd與的最大公因式.)(1xf)(2xf證明 若不全為零, 則必有一個(gè)次數(shù)相對(duì)較低的多項(xiàng)式, 不妨設(shè)為)()(21xfxf、, 對(duì)進(jìn)行初等列變換, 第一列乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式加到第二列上, 消去)(1xf)(xa第 9 頁, 共 11 頁的最高項(xiàng), 由于的次數(shù)有限, 重復(fù)上述過程, 必然

18、出現(xiàn)矩陣中第一)(2xf)()(21xfxf、行只有一個(gè)非零元, 而其它均為零的情形, 即. 2211*)(*)(0)()(xuxuxdxb以上對(duì)所實(shí)施的變換, 即存在初等矩陣, 使得)(xa)()()()()(4321xpxpxpxpxp.2211432121*)(*)(0)()()()()(1001)()(xuxuxdxpxpxpxpxfxf因而, , , )()()()()(3211xdxpxfxpxf)()(11xuxp)()(23xuxp即.)()()()()(2211xdxuxfxuxf設(shè)矩陣的逆矩陣為, 顯然也是初等矩陣, 由于)(xp)()()()()(43211xqxqxqx

19、qxp)(1xp. 因而, 即)()()(xpxaxb)()()(1xaxpxb, 1001)()()()()()(*)(*)(0)(2143212211xfxfxqxqxqxqxuxuxd于是, , 從而是與的公因式, 從而)()()(11xfxqxd)()()(22xfxqxd)(xd)(1xf)(2xf可知: 是與的最大公因式.)(xd)(1xf)(2xf例 7 求, , 其中)(xf)(xg的最大公因式, .242)(234xxxxxf22)(234xxxxxg 解 1001)()()(xgxfxa100122242234234xxxxxxxx第 10 頁, 共 11 頁2111222

20、3121221xxxxxccxcccc因?yàn)? 所以, 且同時(shí)還滿足)2( | )2(32xxx)(),(22xgxfx.)()2()() 1(22xgxxfxx上述方法可靈活運(yùn)用, 不一定必須用次數(shù)最低的多項(xiàng)式去消其它多項(xiàng)式. 也可以用次數(shù)較高的多項(xiàng)式去消次數(shù)更高的多項(xiàng)式, 以達(dá)到逐漸消去各多項(xiàng)式最高項(xiàng), 使第一行只剩下一個(gè)非零元素的目的. 以上方法只討論了列的情形, 行的情形與列相同, 此時(shí), 行初等變換的結(jié)果是第一列只剩下一個(gè)非零元素, 該元素10)(01)()(21xfxfxa即為多項(xiàng)式的最大公因式（詳見參考文獻(xiàn)2）.對(duì)于求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式, 輾轉(zhuǎn)相除法是一種比較好的方法, 但對(duì)于求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式, 輾轉(zhuǎn)相除法在理論上可行, 在實(shí)際操作中卻是非常繁瑣的. 本文介紹的方法, 對(duì)求多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式是一種行之有效的方法.致謝致謝 本文是在 的指導(dǎo)和幫助下完成