概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式整理(大學(xué)考試必備)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 公式第1章 隨機(jī)事件及其概率（1）排列組合公式 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法來完成，則這件事可由mn 種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對立事件（至少有一個(gè)）順序問題（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條

2、件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母a，b，c，表示事件，它們是的子集。為必然事件，為不可能事件。不可能事件（）的概率為零，而概率

3、為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件a的組成部分也是事件b的組成部分，（a發(fā)生必有事件b發(fā)生）：如果同時(shí)有，則稱事件a與事件b等價(jià)，或稱a等于b：a=b。a、b中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：ab，或者a+b。屬于a而不屬于b的部分所構(gòu)成的事件，稱為a與b的差，記為a-b，也可表示為a-ab或者，它表示a發(fā)生而b不發(fā)生的事件。a、b同時(shí)發(fā)生：ab，或者ab。ab=，則表示a與b不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件a與事件b互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-a稱為事件a的逆事件，或稱a的對立事件，記為。它表示a不發(fā)

4、生的事件?；コ馕幢貙α?。運(yùn)算： 結(jié)合率：a(bc)=(ab)c a(bc)=(ab)c 分配率：(ab)c=(ac)(bc) (ab)c=(ac)(bc) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)p(a)，若滿足下列三個(gè)條件：1 0p(a)1， 2 p() =13 對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱p(a)為事件的概率。（8）古典概型1 ，2 。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有p(a)= =（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)

5、為幾何概型。對任一事件a，。其中l(wèi)為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法公式p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)當(dāng)p(ab)0時(shí)，p(a+b)=p(a)+p(b)（11）減法公式p(a-b)=p(a)-p(ab)當(dāng)ba時(shí)，p(a-b)=p(a)-p(b)當(dāng)a=時(shí)，p()=1- p(b)（12）條件概率定義 設(shè)a、b是兩個(gè)事件，且p(a)0，則稱為事件a發(fā)生條件下，事件b發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如p(/b)=1p(/a)=1-p(b/a)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對事件a1，a2，an，若p(a1a2an-1)0，則有

6、。（14）獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨(dú)立。與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)abc是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，p(ab)=p(a)p(b)；p(bc)=p(b)p(c)；p(ca)=p(c)p(a)并且同時(shí)滿足p(abc)=p(a)p(b)p(c)那么a、b、c相互獨(dú)立。對于n個(gè)事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1兩兩互不相容，2，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1 ，兩兩互不相容，0，1，2，2 ，則，i=1，2，n。此公式即為貝

7、葉斯公式。，（，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足u 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，。第二章 隨機(jī)變量及其分布（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(x=xk)的概率為

8、p(x=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1 。2 。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量x的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 可以得到x落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落

9、入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；3 ， ；4 ，即是右連續(xù)的；5 。對于離散型隨機(jī)變量，；對于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。（5）八大分布0-1分布p(x=1)=p, p(x=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者p()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n,n,m

10、的超幾何分布，記為h(n,n,m)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量x服從參數(shù)為p的幾何分布，記為g(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即axb 其他，則稱隨機(jī)變量在a，b上服從均勻分布，記為xu(a，b)。分布函數(shù)為 axb 0， xb。當(dāng)ax1x2b時(shí)，x落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,其中，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為的指數(shù)分布。x的分布函數(shù)為 , x0。 記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1 的圖形是關(guān)于對稱的；2 當(dāng)時(shí)，為

11、最大值；若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。 （6）分位數(shù)下分位表：；上分位表：。（7）函數(shù)分布離散型已知的分布列為，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用x的概率密度fx(x)寫出y的分布函數(shù)fy(y)p(g(x)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fy(y)。第三章 二維隨機(jī)變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量（x，y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（x，y）

12、的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（x，y）的分布律或稱為x和y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示： yxy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域d，即d=(x,y)|axb,cyx1時(shí)，有f（x2,y）f(x1,y);當(dāng)y2y1時(shí)，有f(x,y2) f(x,y1);（3）f（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型x的邊緣分

13、布為；y的邊緣分布為。連續(xù)型x的邊緣分布密度為y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知x=xi的條件下，y取值的條件分布為在已知y=yj的條件下，x取值的條件分布為連續(xù)型在已知y=y的條件下，x的條件分布密度為；在已知x=x的條件下，y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型f(x,y)=fx(x)fy(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)fy(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機(jī)變量的函數(shù)若x1,x2,xm,xm+1,xn相互獨(dú)立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（x1，x2,xm）和g（xm+1,xn）相互獨(dú)立。特例：若x與y獨(dú)立，則：h（x）和g

14、（y）獨(dú)立。例如：若x與y獨(dú)立，則：3x+1和5y-2獨(dú)立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（x，y）的分布密度函數(shù)為其中sd為區(qū)域d的面積，則稱（x，y）服從d上的均勻分布，記為（x，y）u（d）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 d1o 1 x圖3.1yd211 o 2 x圖3.2yd3dco a b x圖3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（x，y）的分布密度函數(shù)為其中是5個(gè)參數(shù)，則稱（x，y）服從二維正態(tài)分布，記為（x，y）n（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即xn（但是若xn（，(x，y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布z=x+y根據(jù)定義計(jì)算

15、：對于連續(xù)型，fz(z)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， z=max,min(x1,x2,xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則z=max,min(x1,x2,xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量w服從自由度為n的分布，記為w，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)x，y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量t服從自由度為n的t分布，記為tt(n)。f分布設(shè)，且x與

16、y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量f服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的f分布，記為ff(n1, n2).第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)x是離散型隨機(jī)變量，其分布律為p()pk，k=1,2,n，（要求絕對收斂）設(shè)x是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數(shù)的期望y=g(x) y=g(x)方差d(x)=ex-e(x)2，標(biāo)準(zhǔn)差， 矩對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量x的k次冪的數(shù)學(xué)期望為x的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即k=e(xk)= , k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量x與e（x）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為x的

17、k階中心矩，記為，即=， k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量x的k次冪的數(shù)學(xué)期望為x的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即k=e(xk)= k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量x與e（x）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為x的k階中心矩，記為，即=k=1,2, .切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量x具有數(shù)學(xué)期望e（x）=，方差d（x）=2，則對于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知x的分布的情況下，對概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1） e(c)=c（2） e(cx)=ce(x)（3） e(x+y)=e(x)+e(y)，（4） e(xy)=e(x) e(y)，充分條件：x和

18、y獨(dú)立； 充要條件：x和y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1） d(c)=0；e(c)=c（2） d(ax)=a2d(x)； e(ax)=ae(x)（3） d(ax+b)= a2d(x)； e(ax+b)=ae(x)+b（4） d(x)=e(x2)-e2(x)（5） d(xy)=d(x)+d(y)，充分條件：x和y獨(dú)立； 充要條件：x和y不相關(guān)。 d(xy)=d(x)+d(y) 2e(x-e(x)(y-e(y)，無條件成立。而e(x+y)=e(x)+e(y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n2)

19、（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機(jī)變量x與y，稱它們的二階混合中心矩為x與y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號相對應(yīng)，x與y的方差d（x）與d（y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量x與y，如果d（x）0, d(y)0，則稱為x與y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡記為）。|1，當(dāng)|=1時(shí)，稱x與y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時(shí)，稱x與y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：；cov(x,y)=0;e(xy)=e(x)e(y);d(x+y)=d(x)+d(y);d(x-y)=d(x)+d(y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機(jī)變量x與y，如果有存在，則稱之為x與y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l

20、階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (x, y)=cov (y, x);(ii) cov(ax,by)=ab cov(x,y);(iii) cov(x1+x2, y)=cov(x1,y)+cov(x2,y);(iv) cov(x,y)=e(xy)-e(x)e(y).（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i） 若隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，則；反之不真。（ii） 若（x，y）n（），則x與y相互獨(dú)立的充要條件是x和y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量x1，x2，相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)c所界：d（xi）c(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)，有特

21、殊情形：若x1，x2，具有相同的數(shù)學(xué)期望e（xi）=，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件a發(fā)生的次數(shù)，p是事件a在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件a發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)x1，x2，xn，是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且e（xn）=，則對于任意的正數(shù)有（2）中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量x1，x2，相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)fn(x)對任意的實(shí)數(shù)x，有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普

22、拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n, p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對于任意實(shí)數(shù)x,有（3）二項(xiàng)定理若當(dāng)，則超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。（4）泊松定理若當(dāng)，則其中k=0，1，2，n，。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章 樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣

23、的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱（）為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。f

24、分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，而為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，第二自由度為的f分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨(dú)立。第七章 參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體x的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體x的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì)，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體x為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱為樣

25、本的似然函數(shù)，簡記為ln.當(dāng)總體x為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)。（2）估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若e （）=，則稱 為的無偏估計(jì)量。e（）=e（x）， e（s2）=d（x）有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若，則稱有效。一致性設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)，都有則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若為的無偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。只要總體的e(x)和d(x)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體x含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)為總體的一個(gè)樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。已知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii) 查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間未知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間方差的區(qū)