二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系

1、.二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系重難點(diǎn)歸納 1 二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n(2)當(dāng)a0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q)若p,則f(p)=m,f(q)=M;若px0,則f()=m,f(q)=M;若x0q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,

2、q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p,q)內(nèi)成立(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(pq)3 二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是(,),+a0時(shí)，f()f() |+|+|,當(dāng)a0時(shí)，f()|+|;(3)當(dāng)a0時(shí)，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立典型題例示范講解 例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求證兩函數(shù)的圖象

3、交于不同的兩點(diǎn)A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍命題意圖 本題主要考查考生對(duì)函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力知識(shí)依托 解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題及數(shù)與形的完美結(jié)合錯(cuò)解分析 由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問(wèn)題的突破口，而忽略了“數(shù)”技巧與方法 利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化(1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)(2)解設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x

4、1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的對(duì)稱軸方程是(2,)時(shí)，為減函數(shù)|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍 命題意圖 本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問(wèn)題知識(shí)依托 解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義錯(cuò)解分析用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)方程的根進(jìn)行限制時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn)技巧與方法 設(shè)出二次方程

5、對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫(huà)出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制解 (1)條件說(shuō)明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫(huà)出示意圖，得 (2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組(這里0m1是因?yàn)閷?duì)稱軸x=m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過(guò))例3已知對(duì)于x的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x24ax+2a+12(aR)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程=|a1|+2的根的取值范圍解由條件知0,即(4a）24(2a+12)0,a2(1)當(dāng)a1時(shí)，原方程化為x=a2+a+6,a2+a+6=(a)2+a=時(shí)，xmin=,a=時(shí)，xmax=x(2)當(dāng)1a2時(shí)，x=

6、a2+3a+2=(a+)2當(dāng)a=1時(shí)，xmin=6,當(dāng)a=2時(shí)，xmax=12,6x12綜上所述,x12學(xué)生鞏固練習(xí) 1 若不等式(a2)x2+2(a2)x40),若f(m)0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_4 二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；(2)若x(0,2時(shí)，y有最小值8，求a和x的值6 如果二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍7 二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足=0,其中m0,求證(1)pf()0,則f(

7、0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0答案A3 解析 只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1p(3, )答案 (3，）4 解析 由f(2+x)=f(2x)知x=2為對(duì)稱軸，由于距對(duì)稱軸較近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)較小，|12x22|1+2xx22|,2x0答案2x05 解 (1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0)(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),則y=au若0a1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，

8、2上不存在最大值若a1,要使y=au有最小值8，則u=(x)2+,x(0,2應(yīng)有最小值當(dāng)x=時(shí)，umin=,ymin=由=8得a=16所求a=16,x=6 解 f(0)=10(1)當(dāng)m0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意(2）當(dāng)m0時(shí)，則解得0m1綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m07 證明 (1),由于f(x)是二次函數(shù)，故p0,又m0,所以，pf()0(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r當(dāng)p0時(shí)，由(1）知f()0若r0,則f(0)0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;若r0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解當(dāng)p0時(shí)同理可證8 解 (1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得y=(1602x)x(500+30x)=2x2+130x500由y1300知2x2+130x5001300x265x+9000，(x20)(x