2021年河北省高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

1、2021年河北省“五個(gè)一名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)二模試卷理科一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求1i是虛數(shù)單位，假設(shè)z1+i=1+3i，那么z=A2+iB2iC1+iD1i2全集U=1，2，3，4，5，6，7，集合A=1，3，7，B=x|x=log2a+1，aA，那么UAUB=A1，3B5，6C4，5，6D4，5，6，73命題p，q是簡單命題，那么“p是假命題是“pq是真命題的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件4某種電路開關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為

2、，那么在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為ABCD5角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線y=3x上，那么sin2+=ABCD6設(shè)函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx=，那么gf8=A1B2C1D27函數(shù)fx=sinx0的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)y=gx的圖象，并且函數(shù)gx在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)的值為ABC2D8設(shè)變量x，y滿足約束條件，那么z=x2y的最大值為A12B1C0D9秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州現(xiàn)四川省安岳縣人，他在所著的?數(shù)書九章?中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比擬先進(jìn)的算法，如下圖的程序框圖給出了利用

3、秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，假設(shè)輸入x的值為2，那么輸出v的值為A2101B210C3101D31010如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的體積為ABCD411橢圓C： =1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P不同于A，B兩點(diǎn)，直線PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，那么的取值范圍是A，0，B，00，C，10，1D，00，112假設(shè)關(guān)于x的不等式xex2ax+a0的非空解集中無整數(shù)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是A，B，C，eD，e二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上13正實(shí)數(shù)x，y滿

4、足2x+y=2，那么+的最小值為14點(diǎn)A1，0，B1，點(diǎn)C在第二象限，且AOC=150，=4+，那么=15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線y=x與直線x=1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，圓錐的體積V圓錐=x2dx=x3|=據(jù)此類比：將曲線y=2lnx與直線y=1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積V=16數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=n2+2n，bn=anan+1cosn+1，數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和為Tn，假設(shè)Tntn2對(duì)nN*恒成立，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是三、解答題：本大題共70分，其中17-21題為必考題，22，23題為選考題解容許寫出文字說

5、明、證明過程或演算步驟1712分在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2acosCc=2b求角A的大小；假設(shè)c=，角B的平分線BD=，求a1812分空氣質(zhì)量指數(shù)Air Quality Index，簡稱AQI是定量描述空氣質(zhì)量狀況的質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，050為優(yōu)；51100為良101150為輕度污染；151200為中度污染；201300為重度污染；300為嚴(yán)重污染一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良AQI100的天數(shù)；按這個(gè)月總共30天將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為，求的概率

6、分布列和數(shù)學(xué)期望1912分如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，BCD=120，四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED平面ABCD求證：AD平面BFED；在線段EF上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的位置；假設(shè)不存在，說明理由2012分橢圓C1： +=1ab0的離心率為，P2，1是C1上一點(diǎn)1求橢圓C1的方程；2設(shè)A，B，Q是P分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E證明：直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形211

7、2分函數(shù)fx=alnx+x2axa為常數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)1求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2設(shè)fx的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，假設(shè)不等式fx1+fx2x1+x2恒成立，求的最小值選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程2210分在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cos+=l與C交于A、B兩點(diǎn)求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn)P0，2，求|PA|+|PB|的值選修4-5：不等式選講23關(guān)于x的不等式|x3|+|xm|2m的解集為R求m的最大值；a0，b0，c0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此時(shí)a，b，c的值2

8、021年河北省“五個(gè)一名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)二模試卷理科參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求1i是虛數(shù)單位，假設(shè)z1+i=1+3i，那么z=A2+iB2iC1+iD1i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案【解答】解：由z1+i=1+3i，得，應(yīng)選：A【點(diǎn)評(píng)】此題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是根底的計(jì)算題2全集U=1，2，3，4，5，6，7，集合A=1，3，7，B=x|x=log2a+1，aA，那么UAUB=A1，3B5，6C4，5，6D4，5，6，7【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【

9、分析】求解集合B，UA，UB根據(jù)集合的根本運(yùn)算即可求UAUB【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，集合A=1，3，7，UA=2，4，5，6集合B=|x=log2a+1，aA，當(dāng)a=1時(shí)，B=x|x=log22+1=1，當(dāng)a=3時(shí)，B=x|x=log23+1=2，當(dāng)a=7時(shí)，B=x|x=log27+1=3，集合B=1，2，3，UB=4，5，6，7，故得UAUB=4，5，6應(yīng)選C【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查集合的根本運(yùn)算，比擬根底3命題p，q是簡單命題，那么“p是假命題是“pq是真命題的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分

10、析】根據(jù)復(fù)合命題的真假結(jié)合充分必要條件，判斷即可【解答】解：p是假命題，那么p是真命題，推出pq是真命題，是充分條件，反之，不成立，應(yīng)選：A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了復(fù)合命題的真假，考查充分必要條件的定義，是一道根底題4某種電路開關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，那么在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為ABCD【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【分析】設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈為事件A，“第二次閉合出現(xiàn)紅燈為事件B，那么由題意可得PA=，PAB=，由此利用條件概率計(jì)算公式求得PB/A的值【解答】解：設(shè)“開關(guān)第一次閉合后

11、出現(xiàn)紅燈為事件A，“第二次閉合出現(xiàn)紅燈為事件B，那么由題意可得PA=，PAB=，那么在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次出現(xiàn)紅燈的概率是：PB/A=應(yīng)選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率計(jì)算公式的靈活運(yùn)用5角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線y=3x上，那么sin2+=ABCD【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)【分析】根據(jù)定義求解sin和cos的值，利用兩角和與差的公式以及二倍角公式即可化簡并求解出答案【解答】解：由題意，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線y=3x上，可知在第一或第三象限根據(jù)正余弦函數(shù)的定義：可得sin=，cos

12、=，那么sin2+=sin2cos+cos2sin=sincos+=應(yīng)選：A【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正余弦函數(shù)的定義的運(yùn)用和兩角和與差的公式以及二倍角公式的化簡和計(jì)算能力，屬于中檔題6設(shè)函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx=，那么gf8=A1B2C1D2【考點(diǎn)】函數(shù)的值【分析】先求出f8=f8=log39=2，從而得到gf8=g2=f2=f2，由此能求出結(jié)果【解答】解：函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx=，f8=f8=log39=2，gf8=g2=f2=f2=log33=1應(yīng)選：A【點(diǎn)評(píng)】此題考查函數(shù)值的求法，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用7函數(shù)fx=sinx0的圖象向右平

13、移個(gè)單位得到函數(shù)y=gx的圖象，并且函數(shù)gx在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)的值為ABC2D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asinx+的圖象變換【分析】根據(jù)平移變換的規(guī)律求解出gx，根據(jù)函數(shù)gx在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得x=時(shí)，gx取得最大值，求解可得實(shí)數(shù)的值【解答】解：由函數(shù)fx=sinx0的圖象向右平移個(gè)單位得到gx=sinx=sinx，函數(shù)gx在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得x=時(shí)，gx取得最大值，即=，kZ，0當(dāng)k=0時(shí)，解得：=2應(yīng)選：C【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用屬于根底題8設(shè)變量x，y滿足約束條件，那么z=x2y的最大值為A

14、12B1C0D【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【分析】先畫出滿足約束條件的可行域，并求出各角點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出目標(biāo)函數(shù)z=x2y的最大值【解答】解：滿足約束條件的可行域如下列圖所示：由圖可知，由可得C，由：，可得A4，4，由可得B2，1，當(dāng)x=，y=時(shí)，z=x2y取最大值：應(yīng)選：D【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單的線性規(guī)劃，其中根據(jù)約束條件畫出可行域，進(jìn)而求出角點(diǎn)坐標(biāo)，利用“角點(diǎn)法解題是解答此題的關(guān)鍵9秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州現(xiàn)四川省安岳縣人，他在所著的?數(shù)書九章?中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比擬先進(jìn)的算法，如下圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，

15、假設(shè)輸入x的值為2，那么輸出v的值為A2101B210C3101D310【考點(diǎn)】程序框圖【分析】根據(jù)的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量v的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案【解答】解：輸入的x=2，v=1，k=1，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，v=2+C101，k=2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，v=22+2C101+C102，v=210+29C101+C1010=310，故輸出的v值為：310，應(yīng)選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查程序框圖，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于中檔題10如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的體積為ABCD4【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【

16、分析】如下圖，由三視圖可知該幾何體為：四棱錐PABCD【解答】解：如下圖，由三視圖可知該幾何體為：四棱錐PABCD連接BD其體積V=VBPAD+VBPCD=應(yīng)選：B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方體與四棱錐的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11橢圓C： =1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P不同于A，B兩點(diǎn)，直線PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，那么的取值范圍是A，0，B，00，C，10，1D，00，1【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合【分析】取特殊點(diǎn)P0，2，P0，2，求出，利用排除法，可得結(jié)論【解答】解：取特殊點(diǎn)P0，2，那么PA方程為y=x+2與橢

17、圓方程聯(lián)立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=2或，所以Q，kPB=1，kQF=，=同理取P0，2，=根據(jù)選項(xiàng)，排除A，B，C，應(yīng)選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查特殊法的運(yùn)用，屬于中檔題12假設(shè)關(guān)于x的不等式xex2ax+a0的非空解集中無整數(shù)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是A，B，C，eD，e【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題【分析】設(shè)gx=xex，fx=2axa，求出gx的導(dǎo)數(shù)，判斷直線恒過定點(diǎn)，設(shè)直線與曲線相切于m，n，求得切線的斜率和切點(diǎn)在直線上和曲線上，解方程可得a，再由題意可得當(dāng)x=1時(shí)，求得a，通過圖象觀察，即可得到a的范圍【解答】解：設(shè)gx=xex，fx=2axa，由題意可得g

18、x=xex在直線fx=2axa下方，gx=x+1ex，fx=2axa恒過定點(diǎn)，0，設(shè)直線與曲線相切于m，n，可得2a=m+1em，mem=2ama，消去a，可得2m2m1=0，解得m=1舍去或，那么切線的斜率為2a=+1e，解得a=，又由題設(shè)原不等式無整數(shù)解，由圖象可得當(dāng)x=1時(shí)，g1=e1，f1=3a，由f1=g1，可得a=，由直線繞著點(diǎn)，0旋轉(zhuǎn)，可得a，應(yīng)選：B【點(diǎn)評(píng)】此題考查不等式解法問題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及直線恒過定點(diǎn)，考查運(yùn)算能力和觀察能力，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上13正實(shí)數(shù)x，y滿足2x

19、+y=2，那么+的最小值為【考點(diǎn)】根本不等式【分析】利用“乘1法與根本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解：正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，那么+=，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)+的最小值為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了“乘1法與根本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于根底題14點(diǎn)A1，0，B1，點(diǎn)C在第二象限，且AOC=150，=4+，那么=1【考點(diǎn)】平面向量的根本定理及其意義【分析】根據(jù)向量的根本運(yùn)算表示出C的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可【解答】解：點(diǎn)A1，0，B1，點(diǎn)C在第二象限， =4+，C4，AOC=150，tan150=，解得=1故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查向量坐標(biāo)的應(yīng)用以及

20、三角函數(shù)的定義，根據(jù)向量的根本運(yùn)算求出C的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)鍵15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線y=x與直線x=1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，圓錐的體積V圓錐=x2dx=x3|=據(jù)此類比：將曲線y=2lnx與直線y=1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積V=e1【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺(tái)；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【分析】根據(jù)類比推理，結(jié)合定積分的應(yīng)用，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積【解答】解：由曲線y=2lnx，可得x=，根據(jù)類比推理得體積V=dy=e1，故答案為：e1【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積的計(jì)算，根據(jù)類比推理是解決此題的關(guān)鍵16數(shù)列an的

21、前n項(xiàng)和為Sn，Sn=n2+2n，bn=anan+1cosn+1，數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和為Tn，假設(shè)Tntn2對(duì)nN*恒成立，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是，5【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【分析】n=1時(shí)，a1=3n2時(shí)，an=SnSn1，可得an=2n+1bn=anan+1cosn+1=2n+12n+3cosn+1，n為奇數(shù)時(shí)，cosn+1=1；n為偶數(shù)時(shí)，cosn+1=1對(duì)n分類討論，通過轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】解：n=1時(shí)，a1=3n2時(shí)，an=SnSn1=n2+2nn12+2n1=2n+1n=1時(shí)也成立，an=2n+1bn=anan+1cosn+1=2n+12n+3cosn+1，n為奇數(shù)時(shí)，c

22、osn+1=1；n為偶數(shù)時(shí)，cosn+1=1因此n為奇數(shù)時(shí)，Tn=3557+79911+2n+12n+3=35+47+11+2n+1=15+4=2n2+6n+7Tntn2對(duì)nN*恒成立，2n2+6n+7tn2，t+2=，t2n為偶數(shù)時(shí)，Tn=3557+79911+2n+12n+3=45+9+11+2n+1=2n26nTntn2對(duì)nN*恒成立，2n26ntn2，t2，t5綜上可得：t5故答案為：，5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、三角函數(shù)的求值、函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題三、解答題：本大題共70分，其中17-21題為必考題，22

23、，23題為選考題解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟1712分2021寧城縣一模在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2acosCc=2b求角A的大??；假設(shè)c=，角B的平分線BD=，求a【考點(diǎn)】正弦定理【分析】由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡的條件，求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角A的值；由條件和正弦定理求出sinADB，由條件求出ADB，由內(nèi)角和定理分別求出ABC、ACB，結(jié)合條件和余弦定理求出邊a的值【解答】解：由2acosCc=2b及正弦定理得，2sinAcosCsinC=2sinB，2分2sinAcosCsinC=2sinA+C=2sinAcosC

24、+2cosAsinC，sinC=2cosAsinC，sinC0，cosA=，又A0，A=；6分在ABD中，c=，角B的平分線BD=，由正弦定理得，sinADB=，8分由A=得ADB=，ABC=2=，ACB=，AC=AB=由余弦定理得，a2=BC2AB2+AC22ABACcosA=2+22=6，a=12分【點(diǎn)評(píng)】此題考查正弦定理、余弦定理，內(nèi)角和定理，以及兩角和的正弦公式等應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力1812分2021河北二?？諝赓|(zhì)量指數(shù)Air Quality Index，簡稱AQI是定量描述空氣質(zhì)量狀況的質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，050為優(yōu)；51100為良10115

25、0為輕度污染；151200為中度污染；201300為重度污染；300為嚴(yán)重污染一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良AQI100的天數(shù)；按這個(gè)月總共30天將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列【分析】1從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，由此能求出該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率，從而能估計(jì)該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)2估計(jì)某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且B3，由此能求出的概率分布列

26、和數(shù)學(xué)期望【解答】解：1從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30=182由1估計(jì)某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且B3，P=0=3=，P=1=，P=2=，P=3=3=，的分布列為： 0 12 3 PE=3=1.8【點(diǎn)評(píng)】此題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用1912分2021河北二模如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，BCD=120，四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形

27、，DE=2BF=2，平面BFED平面ABCD求證：AD平面BFED；在線段EF上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的位置；假設(shè)不存在，說明理由【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【分析】推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，證明BDAD，然后證明AD平面BFED以D為原點(diǎn)，分別以DA，DE，DE為x軸，y軸，z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面EAD的一個(gè)法向量，平面PAB的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，BCD=120，故 AB=2

28、，BD2=AB2+AD22ABADcos60=3，AB2=AD2+BD2BDAD，平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCD=BD，AD平面BFEDAD平面BFED，ADDE，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DE，DE為x軸，y軸，z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么D0，0，0，A1，0，0，B0，0，P0，=1，0，=取平面EAD的一個(gè)法向量為=0，1，0，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為=x，y，z，由=0， =0得：，取y=1，可得=二面角APDC為銳二面角，平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為cos=，解得=，即P為線段EF的3等分點(diǎn)靠近點(diǎn)E的位置12分【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線與平面

29、垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力2012分2021河北二模橢圓C1： +=1ab0的離心率為，P2，1是C1上一點(diǎn)1求橢圓C1的方程；2設(shè)A，B，Q是P分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E證明：直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】1運(yùn)用橢圓的離心率公式和P滿足橢圓方程，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；2設(shè)A2，1，B2，1，Q2，1，設(shè)直線l的方程為y=x+t，代入橢圓方程，設(shè)Cx1，y1，Dx2，y2，Ex1，y1，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)直線PD，P

30、E的斜率為k1，k2，要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證k1+k2=0，化簡整理，代入韋達(dá)定理，即可得證【解答】解：1由題意可得e=，且a2b2=c2，將P2，1代入橢圓方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有橢圓方程為+=1；2證明：A，B，Q是P2，1分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，可設(shè)A2，1，B2，1，Q2，1，直線l的斜率為k=，設(shè)直線l的方程為y=x+t，代入橢圓x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t24=0，設(shè)Cx1，y1，Dx2，y2，Ex1，y1，即有=4t242t240，解得2t2，x1+x2=2t，x1x2=2t24，設(shè)直線PD，PE的斜率

31、為k1，k2，那么k1+k2=+=，要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證k1+k2=0，即2x1y212+x2y1+1=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得2x1y212+x2y1+1=2y2y1x1y2+x2y1+x1x24=x2x1x1x2+tx1+tx2+x1x24=x1x2tx1+x24=2t24+2t24=0，那么直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式和運(yùn)用，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題2112分2021河北二模函數(shù)fx=alnx+x2axa為常數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)1求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2設(shè)fx的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，假設(shè)不等式fx1+fx2x1+x2恒成立，求的最小值【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【分析】1fx=且fx=0有兩個(gè)不同的正根，即x2ax+a=0兩個(gè)不同的正根，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2利用韋達(dá)定理，可得=lnaa1，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出其范圍，即可求的最小值【解答】解：1由題設(shè)知，函數(shù)fx的定義域?yàn)?，+，fx=且fx=0有兩個(gè)不同的正根，即x2ax+a=0兩個(gè)不同的正根x1，x2，x1x2那么，a4，0，x1，fx0，