尋找特殊圖形洞悉隱藏玄機(jī)

1、 尋找特殊圖形洞悉隱藏玄機(jī) 對于許多初級中學(xué)的學(xué)生來說，學(xué)數(shù)學(xué)不算難，做數(shù)學(xué)才是難，做幾何方面的數(shù)學(xué)題就更加難了。原因何在？就在于有些幾何題目根本不知道該怎樣下手，思維的源泉猶豫遇到了一堵堅固的門，流淌不過來；一旦發(fā)現(xiàn)玄機(jī)所在，思維的源泉就會奔流不息。如何指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目的這個玄機(jī)并由此激發(fā)學(xué)生的興趣呢?下面我就北師大版的數(shù)學(xué)九年級上下冊的一些題目，談一下洞悉題目中隱藏的玄機(jī)的一個方法：尋找特殊圖形。為什么要尋找特殊圖形呢？其實道理很簡單，特殊圖形之所以特殊，就在于這些圖形蘊(yùn)含了大量特殊的性質(zhì)，特別是關(guān)于線段與線段之間的數(shù)量、位置關(guān)系，利用這些性質(zhì)與關(guān)系我們就可以很快的找到解決題目的通途。那么

2、，有哪些常見的特殊圖形呢，如何利用它們呢？現(xiàn)舉例如下：1. 特殊四邊形特殊角60這里的特殊四邊形主要指：菱形，矩形，等腰梯形。這三種四邊形與60結(jié)合起來，就會出現(xiàn)等邊三角形，簡單概括如下：菱形矩形 60 等邊等腰梯形例1、（矩形60）矩形abcd的兩條對角線相交于點(diǎn)o，已知aod =120，ab=2.5，求矩形對角線的長。（上冊課本87頁例題）分析：如右圖所示， aod =120aob =60 等邊aobao=ab=2.5ac=2ao=5小結(jié)：等邊三角形有時候也會以30或120的隱蔽形式出現(xiàn)，所以，凡是遇到特殊角度就要多個心眼。二、特殊的直角三角形直角三角形本身就是特殊圖形，因為直角三角形的直

3、角為我們求角的度數(shù)提供了一些數(shù)據(jù)，直角三角形中的勾股定理是我們求解邊的長度的有力工具。特殊的直角三角形，除了30、45或60的直角三角形外，還有一些由常用勾股數(shù)，如3、4、5和5、12、13等組成的直角三角形。例2、（等腰rt）如圖，在正方形abcd中，等邊三角形aef的頂點(diǎn)e、f分別在bc和cd上。若aef的邊長為 ，求正方形的邊長。分析：從圖上我們可以看到三個特殊的圖形：正方形、等邊三角形、等腰直角三角形。由等腰rtcef的斜邊ef= ，易得ce=1。從而，設(shè)be=x，ab=bc=1x,在rtabe中， 由勾股定理得：（1x）2x2 =2，解一元二次方程可得?，F(xiàn)在剩下的工作就是證明rtce

4、f是等腰的，即證明ce=cf或fec=efc。只要證明了abeadf（hl），問題迎刃而解。小結(jié)：本題由三種特殊圖形組合而成，并在題設(shè)中把“等腰直角三角形”這一條件隱藏起來。發(fā)現(xiàn)等腰rtcef并不難，難就難在意識到ef是等腰rtcef的斜邊，并通過勾股定理和二次方程把三種圖形的特性有機(jī)地串聯(lián)起來。三、特殊的中點(diǎn)與特殊的線段中點(diǎn)的特殊性體現(xiàn)在它是很多特殊線段的重要組成部分，而特殊的線段往往又是題目的要害所在。與中點(diǎn)緊密結(jié)合的特殊線段主要有：線段的垂直平分線、三角形內(nèi)的中線和中位線。例3、（斜邊上的中線底邊上的中線）如圖，在四邊形abcd中， abc=adc=90，m、n分別是ac、bd的中點(diǎn)。求

5、證：mnbd。分析：這道題目總給人一種很突兀的感覺，不知道該如何下手。其原因在于找不出mn與bd有何聯(lián)系。其實，如何下手無非兩個方向：要么從已知條件出發(fā)，挖掘更多的隱藏條件為證明問題鋪路；要么從求證出發(fā)，不斷轉(zhuǎn)化所證問題，最終將問題轉(zhuǎn)化為已知條件。方向一：從已知條件出發(fā)。題目里有什么特殊的圖形呢？90 rtabc和rtadc，ac是它們的公共斜邊；中點(diǎn)m 斜邊上中點(diǎn)，mb、md是斜邊上的中線， mb=md 等腰bdm；中點(diǎn)n mn是底邊上的中線，由等腰三角形的三線合一可得垂直關(guān)系。方向二：從求證出發(fā)。如果mnbd，將有什么特殊的圖形出現(xiàn)呢？中點(diǎn)，別忘了n是bd的中點(diǎn)！這樣一來，mn就是bd的垂直平分線，那么應(yīng)該有mb=md。反過來，如果mb=md，mn就是bd的垂直平分線。所以，問題變成了求證mb=md。mb和md為何相等呢，這兩條線段又有什么特殊呢？由90和中點(diǎn)可以得到rt和斜邊上的中線，問題基本解決。小結(jié)：不管從已知條件出發(fā)還是從求證出發(fā)，發(fā)現(xiàn)斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵所在。圖形中沒有連接mb和md，斜邊上的中線無蹤無跡， mn與bd顯得孤立無援。當(dāng)我們連接mb、md之后，猶豫長江兩岸一橋飛架南北，天塹變通途。這就啟發(fā)我們，不但要睜大眼睛尋找特殊圖形，還要張開翅膀大膽想象，構(gòu)造特殊圖形。當(dāng)我們不斷地反復(fù)地咀嚼那些特殊圖形，總會有靈光一閃、矛塞頓開