模糊數(shù)學(xué)第1-2章

1、第1講 模糊數(shù)學(xué)簡介、教學(xué)安排1.簡介（1）發(fā)展歷史美：65，L.A.zadeh，信息與控制（理論研究開始）（模糊控制例子：開汽車，雜技演員表演-倒立擺）英國：74，馬丹尼，蒸汽機(jī)控制丹麥：80，丹麥哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了對水泥窯爐的控制。 日本：72，Sugeno，F(xiàn)-measure語音控制模糊汽車（），無人駕駛直升機(jī)（）。84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成電路)。年，日立公司使日本仙臺市地鐵實(shí)現(xiàn)了模糊控制（簡介）。85，IFSA 成立國際模糊系統(tǒng)協(xié)會(huì)我國：70年代，王培莊等人，開始主要是理論研究，并且與經(jīng)典數(shù)學(xué)相對應(yīng)的各個(gè)領(lǐng)域都有人研究，現(xiàn)在研

2、究、利用模糊技術(shù)的領(lǐng)域已經(jīng)深入到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等各個(gè)方面。國際雜志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE從年起，每年召開一次國際模糊學(xué)術(shù)會(huì)議。年IEEE給Zadeh授予了學(xué)會(huì)的榮譽(yù)勛章。（2）趨勢研究與應(yīng)用人數(shù)逐年上升應(yīng)用領(lǐng)域逐步擴(kuò)大，遍及社會(huì)，經(jīng)濟(jì)等等各個(gè)領(lǐng)域，如：*在軟科學(xué)方面，模糊技術(shù)已用到了投資決策、企業(yè)效益評估、區(qū)域發(fā)展規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)宏觀調(diào)控、中長期市場模糊預(yù)測等領(lǐng)域。*工業(yè)過程控制方面，已實(shí)現(xiàn)了冶金爐窯模糊控制、化工過程模糊控制、水泥

3、窯爐模糊控制以及磨煤機(jī)模糊控制等。*在人工智能與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，已經(jīng)出現(xiàn)了模糊推理機(jī)、模糊控制計(jì)算機(jī)、模糊專家系統(tǒng)、模糊數(shù)據(jù)庫、模糊語音識別系統(tǒng)、圖形文字模糊識別系統(tǒng)、模糊控制機(jī)器人等高新技術(shù)產(chǎn)品，同時(shí)還出現(xiàn)了F-Prolog、Fuzzy-C等語言系統(tǒng)。*在地震科學(xué)方面，模糊技術(shù)已涉及到中長期地震預(yù)報(bào)、地震危險(xiǎn)分析和潛在震源識別、地震災(zāi)害預(yù)測以及減輕地震災(zāi)害對策等等。*在航空航天及軍事領(lǐng)域，模糊技術(shù)已用到了飛行器對接、CI指定自動(dòng)化系統(tǒng)等方面。*模糊家電產(chǎn)品：模糊洗衣機(jī)，空調(diào)，烤箱，照相機(jī)，攝像機(jī)，與其它學(xué)科結(jié)合越來越緊，如： 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 模糊遺傳算法 2.教學(xué)安排（課程內(nèi)容）：（1）基本理論*

4、普通集合 1*模糊集合*分解定理*隸書函數(shù)確定的若干方法*模糊關(guān)系*擴(kuò)張?jiān)砼c模糊數(shù) （2）應(yīng)用*模糊模式識別 *模糊聚類分析*模糊綜合評判*模糊推理與模糊控制（簡介）（3）學(xué)習(xí)本課程的目的一是學(xué)習(xí)、了解模糊數(shù)學(xué)的基本理論，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)（如果需要）；二是了解一些模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用方法；三是培養(yǎng)我們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，尤其是解決涉及不確定問題的意識和能力。數(shù)學(xué)素質(zhì)：悟性例子：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識、興趣和能力。？什么是模糊數(shù)學(xué)？（模糊數(shù)學(xué)研究什么？）例子：保定市是否有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)一樣多？第2講 普通集合1基本概念：只有描述性定義，是數(shù)學(xué)里最基本的概念記號相等有限集合

5、、無限集合冪集：2集合表示方法= 模糊數(shù)學(xué)，計(jì)算方法，條件表示法 3運(yùn)算 并： 交： 差： 余(補(bǔ))： 對稱差：4性質(zhì)冪等律： ，交換律：結(jié)合律：分配律：吸收律：兩極律：復(fù)原律：補(bǔ)余律：對偶律：，可以推廣到任意有限多個(gè)集合。5.集合族的并與交，常見指標(biāo)集： 定義1.1 給定，稱下面集合 （1）為集合族的并集。 （2）稱為集合族的交集。集合族的并與交滿足分配律： （3） （4）例1 設(shè)，求集合族的并集和交集。解：？，6.映射與特征函數(shù)（1）映射：設(shè)是兩個(gè)集合，如果有一個(gè)法則，使得對于中任意元素，都有中唯一元素與之對應(yīng)，則稱是到的映射。 以前見過映射嗎？單射：滿射：一對一映射：（2）映射的性質(zhì)：條

6、，見？頁，自看，自證，會(huì)用。舉幾個(gè)映射例子.（3）特征函數(shù)定義定義1.2 設(shè)為論域，稱映射 （5）為集合的特征函數(shù)。由唯一確定，也由唯一確定。這樣就在和之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。以后經(jīng)常使用特征函數(shù)代替集合，并用代替。（4）用特征函數(shù)及其之間關(guān)系和運(yùn)算表示集合之間的關(guān)系和運(yùn)算 式中，和分別為數(shù)族的上確界和下確界。的上確界就是最小上界，下確界就是最大下界，用數(shù)學(xué)式子如何描述？定義1.3 是的上確界，如果滿足定義1.4 是的下確界，如果滿足要求：會(huì)求上下確界（能看出來即可）例如：上下確界與取大取小有什么差別？例證明以前怎么證明？即，。第3講 模糊集合研究模糊現(xiàn)象的數(shù)學(xué)就是模糊數(shù)學(xué)；涉及模糊概念的現(xiàn)象

7、就是模糊現(xiàn)象；什么是模糊概念？概念：具有一定含義的一個(gè)詞，詞組等。如：人，頭發(fā)，晴天，白色，馬，球，衣服，研究生，學(xué)生，。概念的本質(zhì)屬性叫內(nèi)涵，符合概念的全體對象叫概念的外延。普通概念的外延構(gòu)成普通集合。如：教室里的男同學(xué)，河北人等等，這些概念的特點(diǎn)：任何一個(gè)對象要么符合這個(gè)概念，要么不符合這個(gè)概念。1模糊概念：外延不分明的概念，如：“偉人”、“聰明人”、“健康人”、“正直的人”“年輕人”，“陰天”、“質(zhì)量好”、“不穩(wěn)定”，和普通集合的差別是什么？我們知道：給定論域，子集，或二者必居其一且僅居其一。例1 考慮“發(fā)高燒”這個(gè)（模糊）概念論域T=30，45 36， 37， 385，39， 39.5

8、 39.8，38.5度算不算發(fā)高燒？不好回答，用一個(gè)數(shù)描述發(fā)高燒的程度，如：38.5對應(yīng)0.5，即38.5屬于發(fā)高燒的程度為0.5。2. 模糊集合定義2.1設(shè)在論域上給定一個(gè)映射 （1）稱為上的模糊子集，稱為隸屬函數(shù)（或?qū)τ诘碾`屬度）與普通集合對比就是將特征函數(shù)取值范圍由（上的全體模糊集合）。例2 設(shè)為人的年齡，Zadeh給出“年老”，“年輕”兩個(gè)模糊子集，隸屬函為： （2） （3）圖2-1 年老，年輕模糊集合隸屬函數(shù)例3 考慮五個(gè)人構(gòu)成的論域：， ， ， ， 體溫：39.8, 39.3, 38.5, 37.5, 36.5“發(fā)高燒的人”= 3.模糊集合的表示法 zadeh表示法論域或 （4）或

9、 （5）或?qū)懗桑?（6） 序偶表示法 （7） 模糊向量表示法 （8）中第個(gè)元素的隸屬度作為模糊向量的第個(gè)分量。 解析表示法為上某區(qū)間，給出表達(dá)式。 為書寫方便以后用代替。4.關(guān)系與運(yùn)算（對模糊集合是重新定義） 5.性質(zhì)：除互補(bǔ)律（補(bǔ)余律）外均成立。例4. 考慮，,則 ，(a) (b) (c) (d) 圖2-2隸屬函數(shù)圖像 帶來困難， 更客觀地反映了實(shí)際情況。6.可數(shù)并、交 （9） （10） （11） （12）例5 設(shè)則 7. 廣義運(yùn)算在中，除外，還有廣義并交運(yùn)算 定義2.2 設(shè)的廣義并、交運(yùn)算記為：其隸屬函數(shù)定義為：是上的二元運(yùn)算符，稱為算子。常用的有序號算子名稱1查德2概率和與積3有界和與有

10、界積4Einstein5Hamacher6Yager7最大、乘積如：, ， 特性：（一定的合理性） 均化為 滿足一些運(yùn)算規(guī)律，如：交換、結(jié)合、兩極、對偶律等。 滿足一些合理性質(zhì)，如：單調(diào)性等， 滿足幾條性質(zhì)的算子（三角模）定義2.3設(shè)映射，若，滿足下面條件：交換律：結(jié)合律：單調(diào)性：，則邊界條件：則稱T為T三角?；騎范數(shù)；如果映射滿足上面、條和下面邊界條件：邊界條件：則稱S為S三角?；騍范數(shù)。T模和S模即可以用來定義模糊集合的并、交運(yùn)算，也可以用于模糊推理。（4）選取算子思路（廣義運(yùn)算或模糊推理中的算子）數(shù)學(xué)上：滿足一定條件，象上面討論的交換律，單調(diào)性等，且當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)闀r(shí)，算子化為。實(shí)際背景：（專

11、家系統(tǒng)、控制、模糊推理）。在模糊推理中，考慮下面問題：把有兩根“不易斷的繩子”合起來構(gòu)成一根新繩子，那么這條新繩子屬于不易斷繩子的程度應(yīng)為多少？連接方式？ 圖2-3 兩根繩子的連接方式考慮診斷病情的情景：發(fā)燒感冒的可信度流鼻涕感冒可信度這兩個(gè)癥狀都有，此時(shí)感冒的可信度應(yīng)為多少？更復(fù)雜一點(diǎn)，發(fā)燒，流鼻涕也帶有一定的真值程度，推理結(jié)果又如何？第4講 分解定理1.模糊集合的-截集給定，是否屬于，回答是不確定的，選定一個(gè)“門檻”-，（），以此作為判定元素是否屬于的標(biāo)準(zhǔn)。（1）截集的定義定義2.3 設(shè)，記，分別稱為的截集和強(qiáng)截集。例6 設(shè)表示現(xiàn)在教室里全體男同學(xué)構(gòu)成的論域。表示“高個(gè)子”同學(xué)，隸屬函數(shù)為

12、：對=1，0.8，0.5，0，求。解：按截集定義定義2.4 設(shè)，記分別稱，為的支集與的核。當(dāng)時(shí)，稱為正規(guī)模糊集。（2）性質(zhì)設(shè)，則 （13） （14）證明： 在上面（13）、（14）式中，并“”換成交“”，等式仍然成立；推廣到有限個(gè)集合的并、交等式仍然成立。如：，對于無限個(gè)模糊集的并，交等式還成立嗎？-若，則：，證明：（僅證第二式）* 證明第一式，舉例說明第四式等式不成立。例7設(shè)則：，但是，因此所以，設(shè)，。若，則證明：（最后一式） #（5）設(shè)，則證明： （6），證明： 注意：一般例8設(shè)，對時(shí)，求出解：，因此得又因?yàn)楣仕?.分解定理 分解定理是用普通集合表示模糊集合。應(yīng)用中常用有限多個(gè)普通集合的

13、并來近似表示模糊集合。定義2.4 設(shè)，定義，其隸屬函數(shù)為： （2-15）稱為與的數(shù)積。與的數(shù)積有下面兩條性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)，則。性質(zhì)2設(shè)，則。定理2.1（分解定理1）設(shè)，則。證明： ， 即。推論2.1 已知模糊集的所有截集，則有，。例9 設(shè)，且求模糊集合。解： 同理 ，因此定理2.2（分解定理2）設(shè)，則。推論2.2已知模糊集的所有強(qiáng)截集，則有，。定理2.3（分解定理3）設(shè)，若存在集合值映射：使得 ，則有：（1） ； （2）；（3）。（4）。證明：（僅證（1）。第5講 隸屬函數(shù)確定的若干方法模糊集合完全由它的隸屬函數(shù)確定，因此隸屬函數(shù)的確定是一個(gè)非常關(guān)鍵的問題。尤其是對于應(yīng)用問題，必需建立隸屬函數(shù)。

14、1模糊統(tǒng)計(jì)方法（1）二相模糊統(tǒng)計(jì)隨機(jī)性與模糊性的差別考慮兩個(gè)問題：一個(gè)試驗(yàn)是擲骰子問題。通過隨機(jī)試驗(yàn)確定“偶點(diǎn)數(shù)” 發(fā)生的概率，另一個(gè)是通過試驗(yàn)確定“中年”的隸屬函數(shù)。在擲骰子問題中：樣本空間是，偶點(diǎn)數(shù)隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)結(jié)果是中的一個(gè)數(shù)，可能是偶點(diǎn)，可能是奇點(diǎn)。如果是偶點(diǎn)，發(fā)生，否則，不發(fā)生。最后可以用發(fā)生的頻率近似概率，即發(fā)生的概率為：在確定“中年”的隸屬函數(shù)的試驗(yàn)中，年齡論域可取為，需要確定中每一年齡隸屬于的程度。試驗(yàn)時(shí)，每次明確一個(gè)區(qū)間表示，一些區(qū)間可能包含，一些區(qū)間可能不包含，最后用試驗(yàn)中得到的包含的區(qū)間數(shù)除總試驗(yàn)次數(shù)作為隸屬于的程度，即在隨機(jī)試驗(yàn)中，是固定的，試驗(yàn)中出現(xiàn)的點(diǎn)在變（圈固

15、定，點(diǎn)在變）；在模糊試驗(yàn)中，是固定的，試驗(yàn)中的在變（點(diǎn)固定，圈在變）。一般模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的步驟是：給定論域中的一個(gè)元素；每次試驗(yàn)確定一個(gè)普通集合（是的清晰化、近似）；最后用屬于的次數(shù)除以總試驗(yàn)次數(shù)作為屬于的程度，即，其中是的次數(shù)，為總試驗(yàn)次數(shù)。概率統(tǒng)計(jì)、模糊統(tǒng)計(jì)都是用確定性手段研究不確定性。模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)每次試驗(yàn)確定兩個(gè)普通集合，一個(gè)視為模糊集合，另一個(gè)就是不符合概念的集合。實(shí)際上是兩個(gè)相反的概念在論域中進(jìn)行“競選”的統(tǒng)計(jì)。如果一次試驗(yàn)將論域劃分為個(gè)子集，分別代表個(gè)概念的外延，實(shí)際上就是是個(gè)概念在中進(jìn)行“競選”的統(tǒng)計(jì)。這樣的模糊試驗(yàn)就稱為相模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)。二相模糊統(tǒng)計(jì)確定的隸屬函數(shù)滿足： 。相模糊統(tǒng)

16、計(jì)試驗(yàn)確定的隸屬函數(shù)滿足：。其中。例如，老，中，青是三相，東，南，西，北是四相，金，木，水，火，土是五相等等，都是多相集。2直觀加推理方法例10 設(shè)全體三角形構(gòu)成的論域?yàn)椋?確定等腰三角形和直角三角形的隸屬函數(shù)。解：考慮滿足什么條件是等腰三角形？ 用表示角度差，以角度差的線性函數(shù)作為等腰三角形的隸屬函數(shù)，并令差為0時(shí)隸屬函數(shù)值為1，差為60時(shí)隸屬函數(shù)值為0，則可以推出隸屬函數(shù)為：類似地，可用度量三角形屬于直角三角形的程度，可以推出直角三角形的隸屬函數(shù)為：。上面確定隸屬函數(shù)的方法實(shí)際上是先確定隸屬函數(shù)類型，再根據(jù)具體問題確定特殊點(diǎn)隸屬函數(shù)值，最后確定整個(gè)隸屬函數(shù)。這種方法稱為直觀加推理方法。有許

17、多問題都可以用這種方法確定隸屬函數(shù)。3二元對比排序（1）擇優(yōu)排序下面通過例子說明擇優(yōu)排序法例11 設(shè)論域?yàn)?，分別表示紅色、橙色、黃色、綠色和藍(lán)色乒乓球，試確定用什么顏色乒乓球最好？ 解：不同人可能喜歡用不同顏色的乒乓球，因此最受歡迎的顏色是上的一個(gè)模糊集合，問題可以歸結(jié)為確定的隸屬函數(shù)，進(jìn)而按隸屬函數(shù)值最大確定用什么顏色的乒乓球。下面是確定隸屬函數(shù)的一種方法。選500人，每人測試20次，即每兩種顏色比較2次，下表是測試次序。表2-1 測試順序123451213524863510974測試結(jié)果如表2-2所示。表2-2 測試結(jié)果紅橙黃綠藍(lán)%順序紅33025865254217.823橙6704387

18、6385127.222黃74256286575029.191綠34823713567913.994藍(lán)45814925032111.785表中數(shù)字的含義是在整個(gè)試驗(yàn)中得一種顏色比另一種顏色好的總次數(shù)。第二行的前四個(gè)數(shù)字分別表示紅色比橙色、黃色、綠色和藍(lán)色好的次數(shù)。后兩列數(shù)字分別表示一種顏色比其它顏色好的總次數(shù)占試驗(yàn)總次數(shù)的百分比和按百分比由大到小所得的排序。最后按百分比排序確定各種顏色乒乓球受歡迎的次序是：橙色、黃色、綠色、紅色和藍(lán)色。表中百分比可以理解為隸屬函數(shù)值，即可以表示紅色、橙色、黃色、綠色和藍(lán)色屬于受歡迎顏色的程度。按隸屬函數(shù)值最大，可以認(rèn)為黃色是最受歡迎的顏色，或者說用黃色乒乓球最好

19、。這個(gè)例子中使用的確定隸屬函數(shù)的方法稱為擇優(yōu)排序方法。（2）優(yōu)先關(guān)系定序法下面用一個(gè)例子說明優(yōu)先關(guān)系定序方法。例12 設(shè)論域，任意元素可以比較排序，請將所有元素排序。解：優(yōu)先關(guān)系排序方法就是按下述步驟排序：（1）以表示與相比較的優(yōu)越成分，滿足：，。（2）構(gòu)造優(yōu)矩陣；（3）取得截割矩陣，；（4）從1 下降到0，若首次出現(xiàn)，它的第行元素除對角線元素之外全等于1，則為第一批優(yōu)越對象；（5）去掉第一批優(yōu)越對象，重復(fù)這一過程，直到所有元素都排序?yàn)橹?。?3 設(shè)，兩兩比較后得優(yōu)先矩陣，將排序。解：時(shí)，對其它元素的優(yōu)越成分一致地超過了0.3，因此，排第一。除去，得新的優(yōu)先關(guān)系矩陣，優(yōu)于，所以最終得：。本題中

20、，僅根據(jù)兩兩比較是無法排序的。比如：根據(jù)優(yōu)先矩陣中，應(yīng)該有，同理，根據(jù)應(yīng)該有和，結(jié)果三個(gè)元素的排序出現(xiàn)循環(huán)。4專家給定現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到排序問題，這實(shí)際上就是確定隸屬函數(shù)。常用一種方法就是專家打分。例如：體操比賽中的鞍馬項(xiàng)目。假設(shè)由10人組成裁判組，評分方法是：評判時(shí)按滿分10分打分，去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，另外8人打分求和，再除8，即為每位運(yùn)動(dòng)員的得分。作為比賽，當(dāng)然是排序，確定誰是第一，誰是第二等等。換一種考慮方式，這樣的問題實(shí)際上就是確定模糊集合的隸屬函數(shù)！以全體參賽運(yùn)動(dòng)員為論域。“動(dòng)作最完美的人”是上的一個(gè)模糊集合。每名運(yùn)動(dòng)員的得分都在0與10分之間，將得分除10之后，每名運(yùn)動(dòng)員得分都在0，1之間，得分可以理解為該名運(yùn)動(dòng)員屬于動(dòng)作最完美的人的程度。許多問題與此類似，問題是要確定隸屬函數(shù)，本質(zhì)要求是排序。因此排序就是確定隸屬函數(shù)的一種方法。5模糊分布實(shí)數(shù)域R上模糊集合的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。許多實(shí)際問題中，常?？梢源_定隸屬函數(shù)的大致形狀，這時(shí)可以選擇適當(dāng)?shù)哪：植?，再根?jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，確定里面的參數(shù)，進(jìn)而確定隸屬函數(shù)。下面給出一些常見的模糊分布。（1）矩形分布與半矩