濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、混合濾波器組最優(yōu)化設(shè)計(jì)蔡柯（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 電控院，遼寧葫蘆島 125100）摘要: 模擬分析濾波器組的實(shí)現(xiàn)欠理想、系統(tǒng)噪聲以及數(shù)字綜合濾波器有效階數(shù)實(shí)現(xiàn)所帶來的系統(tǒng)誤差均有可能造成混合濾波器組的設(shè)計(jì)出現(xiàn)解不穩(wěn)定、無唯一解等病態(tài)問題, 影響混合濾波器組的準(zhǔn)確重構(gòu)效果。本文首先給出了滿足準(zhǔn)確重構(gòu)條件下, 以綜合濾波器組頻域響應(yīng)為求解變量的混合濾波器組線性求解模型。針對(duì)線性方程中系數(shù)矩陣以及目標(biāo)向量受擾動(dòng)誤差影響特點(diǎn), 提出一種新的基于加權(quán)總體最小二乘正則化算法的iir形式綜合濾器設(shè)計(jì)方法。算法以系統(tǒng)擾動(dòng)誤差最小化為目標(biāo)函數(shù), 根據(jù)隨機(jī)誤差變量的二階統(tǒng)計(jì)特性, 采用加權(quán)總體最小二乘算法抑制濾波器

2、實(shí)現(xiàn)誤差以及隨機(jī)噪聲等擾動(dòng)因素影響, 使得到的綜合濾波器組頻域響應(yīng)解的加權(quán)誤差平方和最小化, 并通過 tikhonov 正則化方法優(yōu)化病態(tài)情況下方程組解的穩(wěn)定性。提出一種iir 類型的綜合濾波器系數(shù)的求解算法, 并利用正則化方法優(yōu)化濾波器系數(shù), 提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。該方法可應(yīng)用于過采樣混合濾波器組的設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明該算法的有效提高系統(tǒng)魯棒性和改善重構(gòu)性能。關(guān)鍵詞: 加權(quán)總體最小二乘; 混合濾波器組; tikhonov 正則化中圖分類號(hào): tngl 1.72 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: ahybrid filter banks optimization design usingcaike (college of

3、 science, liaoning technical university, huludao123000, liaoning, china)abstract:the nonideal realization of analogy analysis filters ,system noise and digital synthesis filter banks fitting error for limited order,which usually impact the reconstruction performance of the hybrid filter banks and ma

4、ke the ill-posed problems happened with the solution unstable and non unique solution exist. a linear equation system for hybrid filter banks is presented by solving the frequency response of the synthesis filter banks derived from the perfect reconstruction conditions. a novel regularization criter

5、ion for designing iir-type synthesis filter banks based on weighted least squares methodology are proposed for solving the disturbance in the coefficient matrix and object vector of the linear equation,with the objection function of minimizing system error,the disturbers which caused by realization

6、error and random noise can be restrained by means of the weighted least squares based on the second order statistics. so the weighted mean squares of synthesis filter banks frequency responses can be minimize. the regularization criterion can overcome the in-stability solution of weighted least squa

7、res effectively. a novel approach for designing iir-type filters are given,which can optimize the coefficients of filters by means of the regularization method and improve the stability of hybrid filter banks. this approach can also be used in designing over-sampling hybrid filter banks. t he simula

8、tion results show that this approach can improve the system robust and reconstruction performance significantly .keywords: weighted total least-squares ;hybrid filter banks;tikhonov regularization0引言 隨著無線通信技術(shù)的廣泛發(fā)展,針對(duì)超寬帶、高速率信號(hào)的模數(shù)轉(zhuǎn)換技術(shù)成為備受關(guān)注的研究重點(diǎn)及熱點(diǎn)?；旌蠟V波器組(hfb)是一種高速、高分辨率 adc的實(shí)現(xiàn)方法,系統(tǒng)采用模擬濾波器組將寬頻譜信號(hào)分割為多路窄

9、帶信號(hào)進(jìn)行低速采樣, 各子帶信號(hào)內(nèi)插后由數(shù)字綜合濾波器合成為原模擬輸人信號(hào)的等效nyquist 采樣信號(hào),如果忽略 a dc 的量化誤差,該模數(shù)混合濾波器組在理論上可以實(shí)現(xiàn)精確的重構(gòu)。文獻(xiàn)1一6對(duì) h fb 的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了深人討論。文獻(xiàn)4提出一種基于功率互補(bǔ)對(duì)的 h fb 設(shè)計(jì)方法,能夠以低階、無源rlc 電路實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的高分辨率重構(gòu),但該方法局限于雙通道模型應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)5一6將h fb 完美重構(gòu)條件表示成關(guān)于綜合濾波器組系數(shù)的線性方程,并分別推導(dǎo)了基于 ls以及 ti js 理論的求解算法,直接優(yōu)化得到 fi r 類型的綜合濾波器組系數(shù)。但該算法限于線性模型,無法應(yīng)用于有理分式模型

10、的 ii r類型濾波器,實(shí)際應(yīng)用中通常要求濾波器具有較高階數(shù)。 然而在工程實(shí)踐中, 由于模擬濾波器組的實(shí)現(xiàn)誤差 、數(shù)字濾波器有限階數(shù)實(shí)現(xiàn)引入的擬合誤差以及熱噪聲等影響,往往使 h fb 設(shè)計(jì)中出現(xiàn)病態(tài)問題, 影響解的穩(wěn)定解。針對(duì)這種情況 ,本文提出一種基于加權(quán)總體最小二乘(w tls )理論正則化方法的 h r 形式綜合濾波器設(shè)計(jì)算法。算法能有效抑制濾波器組實(shí)現(xiàn)誤差以及擾動(dòng)噪聲影響,提高病態(tài)情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所設(shè)計(jì)的 hr 形式綜合濾波器能 以較低的階數(shù)取得較好的重構(gòu)性能。該方法還可以應(yīng)用于過采樣h fb 的設(shè)計(jì) ,能進(jìn)一步降低 h fb 的失真以及混疊誤差影響。本文組織如下:第一部分介紹混

11、合濾波器組數(shù)學(xué)模型;第二部分分析基于 wtls 原理的混合濾波器組正則化設(shè)計(jì)算法;第三部分給出了算法的性能仿真結(jié)果;第四部分是結(jié)論。1混合濾波器數(shù)學(xué)模型圖 1 k通道混合濾波器組 adc 系統(tǒng)方框圖圖 1 為 k通道混合濾波器組 a dc 系統(tǒng)圖。不考慮量化噪聲 ,輸出信號(hào)y(n) 的頻域響應(yīng)可以表示為: （1） 其中： （2）當(dāng)hfb滿足完美重構(gòu)條件有下式成立： （3）通常稱式(3) 中的p為0時(shí)為失真函數(shù),而稱其余為混疊函數(shù)。將式(3) 中的完美重構(gòu)條件寫成矩陣形式有: （4）其中, c和d 均為常數(shù) ,分別表示幅度增益以及系統(tǒng)時(shí)延;令 h 表示列滿秩的系數(shù)矩陣;f 表示綜合濾波器組頻域響

12、應(yīng)向量,t 表示完美重構(gòu)向量，則式(4 )可以簡記為:hf=t。2綜合濾波器組設(shè)計(jì) 文獻(xiàn)5 ,6中討論的 h fb 設(shè)計(jì)方法均是直接給出了待求解的 k 個(gè)通道 fi r 濾波器系數(shù)關(guān)于 l 個(gè)頻率分量的線性方程組, 然后采用 tls 、ls方法進(jìn)行計(jì)算。當(dāng) fi r 濾波器階數(shù)為 n 時(shí) ,方程組系數(shù)矩陣維數(shù)是(kl )x( kn )。這種設(shè)計(jì)方式存在的問題是,采用fi r 形式濾波器來逼近綜合濾波器的幅頻特性時(shí),通常要求 fi r 濾波器具有的很高階數(shù);在對(duì)頻譜分辨率要求較高的應(yīng)用中, 系數(shù)矩陣將龐大, 運(yùn)算復(fù)雜;而且該算法很難推廣到 ii r 形式的綜合濾波器設(shè)計(jì)中去。 文中給出了一種新的

13、 iir 形式綜合濾波器組的設(shè)計(jì)思想。首先根據(jù) w tls 正則化方法求解綜合濾波器組頻域響應(yīng) ,并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了iir 形式綜合濾波器組系數(shù)的優(yōu)化算法:a .基于總體最小二乘正則化方法的綜合濾波器頻域響應(yīng)求解 本節(jié)根據(jù) tikhonov 正則化原理,提出一種新的基于w tls 理論的混合濾波器正則化求解算法考慮到 h fb 實(shí)際應(yīng)用中存在模擬器件實(shí)現(xiàn)誤差以及熱噪聲等干擾因素,文中針對(duì)ei v (er in all variables )線性模型進(jìn)行分析,已知 ei v 模型有: （5）式中,e是觀測誤差向量,e是 h 矩陣中含有的隨機(jī)誤差,假設(shè)e ，e 均服從高斯分布時(shí)，分別為各自對(duì)應(yīng)的權(quán)

14、矩陣以及單位權(quán)方差。wtls 的正則化求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹s束條件下的最小化問題: （6）構(gòu)造拉格朗日目標(biāo)函數(shù)可以得到: （7）將目標(biāo)函數(shù) j 分別對(duì) e、e求導(dǎo)得到: （8）求解可得:e，e ;將其代人(7)式中可導(dǎo)出: （9）將上述計(jì)算結(jié)果代人（8）式中第三個(gè)最終得到: （10）由式(10) 進(jìn)一步討論當(dāng)權(quán)矩陣p為單位陣時(shí),有: (11)其中,b是中間變量,其解析式為: (12)式(11)即退化為 tls 的正則化的求解結(jié)論 上述求解即便在正則化參數(shù) a 已知情況下 ,仍需要通過迭代方法計(jì)算f。算法求解流程設(shè)計(jì)如下 :l)采用總體最小二乘解作為待估參數(shù)f初值,并按(9) 式計(jì)算中間變量初值;2

15、)按式(9) 、(10)計(jì)算首次迭代結(jié)果;3)重復(fù)步驟2求解第i次迭代結(jié)果;4)判斷條件是否成立，若成立則停止迭代，否則重復(fù)步驟3 ,直至算法收斂; 誤差矩陣e 主要是由模擬濾波器的實(shí)現(xiàn)誤差產(chǎn)生的,各誤差向量之間具有相關(guān)性。加權(quán)矩陣的目的就是利用誤差量二階統(tǒng)計(jì)特性的先驗(yàn)信息, 使估計(jì)誤差平方和最小化。正則化方法主要是用來優(yōu)化部分不穩(wěn)定頻率分量的取值,使得采用低階的濾波器逼近,能減小估計(jì)誤差。文獻(xiàn)8 ,9中詳細(xì)討論傳統(tǒng)正則化方法單位權(quán)方差無偏估計(jì)的方法。由于 wt ls 方法中h矩陣也是隨機(jī)量, 其正則化解的方差分量無偏估計(jì)比較復(fù)雜, 因此,關(guān)于 w tls 正則化方法的單位權(quán)方差問題有待下一步

16、研究。b .n 階iir 綜合濾波器組設(shè)計(jì) 利用上述的 w tls 正則化方法可以計(jì)算得到數(shù)字綜合濾波器組的頻域響應(yīng)值,本小節(jié)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步完成子帶濾波器的設(shè)計(jì)。這里給出一種iir 類型綜合濾波器設(shè)計(jì)算法,已知p 階ii r 類型數(shù)字濾波器的傅里葉變換形式為: （13） 通常由頻域響應(yīng)直接去估計(jì)有理分式系數(shù)往往比較復(fù)雜,文獻(xiàn) 7中將有理分式濾波器輸出響應(yīng)的擬合問題轉(zhuǎn)化為了線性模型的參數(shù)求解問題,有 : （14）其中,c為待求解的iir濾波器組系數(shù)向量;g表示期望輸出的綜合濾波器組頻域響應(yīng)向量;z 是 l 維的傅里葉變換的系數(shù)矩陣。針對(duì)式(14 )的解法很多,本文采用式( 11) 結(jié)論計(jì)算ii

17、 r 濾波器系數(shù)。3仿真分析 仿真采用四通道的混合濾波器組 ,模擬分析濾波器組采用二階的 lc 電路實(shí)現(xiàn) ,分析濾波器組的傳輸函數(shù)為: (15)其中， 分析濾波器組頻域響應(yīng)如下圖: 性能仿真中, 假設(shè)誤 差量 e ，e的單位權(quán)均方誤差均為 10的負(fù)10次方。濾波器組時(shí)延 d =64。仿真計(jì)算采用 12 8 點(diǎn) fft?？紤]到輸出信號(hào)各頻率分量上的混疊誤差是各混疊函數(shù) t累加造成的, 因此, 定義系統(tǒng)混疊誤差以及失真的計(jì)算公式分別為 : （16） （17） 采用wtls 正則化法設(shè)計(jì)的iir 形式 h fb能有效利用擾動(dòng)誤差協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)信息 ,設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣使計(jì)算得到的綜合濾波器組頻域響應(yīng)的加

18、權(quán)誤差平方和最小化，系統(tǒng)重構(gòu)誤差小,但在低頻和高頻處誤差有波動(dòng),實(shí)際應(yīng)用中仍需注意。 當(dāng) hfb 的內(nèi)插倍數(shù) m 小于通道數(shù) k 時(shí),稱為過采樣 hfb,可以實(shí)際應(yīng)用中可以一定程度降低對(duì)模擬分析濾波器的設(shè)計(jì)要求。過采樣 h fb 中的系數(shù)矩陣 h是欠定矩陣,此時(shí)，綜合濾波器組解不唯一,采用 w tls正則化方法能得到該種病態(tài)問題下的穩(wěn)定解。放寬了解空間的約束條件,因此,系統(tǒng)性能得到進(jìn)一步改善。仿真表明,設(shè)計(jì) ii r 濾波器并不是一味的階數(shù)越高越好,選擇合適的階數(shù)能以較低的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度得到較好的系統(tǒng)重構(gòu)性能。4結(jié)論 本文首先提出一種基于加權(quán)總體最小二乘正則化算法的ii r 類型混合濾波器設(shè)計(jì)方法

19、,不僅能有效抑制濾波器實(shí)現(xiàn)誤差以及隨機(jī)噪聲對(duì)信號(hào)重構(gòu)的影響;同時(shí),采用tikhonov, 正則化方法,有效解決病態(tài)問題情況下的數(shù)字綜合濾波器解不穩(wěn)定問題,增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性能,并能應(yīng)用于過采樣 h fb 設(shè)計(jì)。仿真證明基于加權(quán)總體最小二乘正則化方法的混合濾波器設(shè)計(jì)算法的可靠性。參考文獻(xiàn)1velazques.s.r , nguyen.t.q , broadstion.s.r. design of hybrid filler banks for analog/digital conversion j .ieee trans signal processing. 1998, 46 (4):956一967

20、.2yue yang, su一juan liu,an improved method on the performance of hybrid filter banks of a dc due to realization error,in proc. icsp2008 conf.signals, nov, 2008 ,pp . 1766 一1770 .3wu .s. l , design of practically perfect一reconstruction cosine modulated filter banks : a second 一order cone programming approach ,in ieee transactions on circuits a