公式推導過程

1、公式推導過程編輯本段 誘導公式的本質(zhì)所謂三角函數(shù)誘導公式，就是將角n ( n /2)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角a的三角函數(shù)。編輯本段 常用的誘導公式公式一： 設a為任意角，終邊相同的角的同一三角函 數(shù)的值相等：sin (2k n + a)= sin aCOS ( 2k n + a)= COS atan (2k n + a)= tan aCOt (2k n + a)= COt a公式二： 設a為任意角，n + a的三角函數(shù)值與 a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (n + a)= sin aCOS (n + a)= COS atan (n + a)= tan aCOt (n + a)= COt a公式三：

2、 任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (a)= sin aCOs (a)= COs atan (a)= tan aCOt(a)= COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (n a)= sin aCOS (n a)= COS atan (n a)= tan aCOt (n a)= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (2n a)= sin aCOS ( 2 n a)= COs atan (2n a)= tan aCOt (2n a)= COt a公式六：n /2 土與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)

3、系:sin (n 12 + a) = cos acos (n 12 + a)= sin atan (n 12 + a)= cot acot (n /2 + a)= tan asin (n /2 a) = cos acos (n /2 a) = sin atan (n /2 a) = cot acot ( n /2 a = tan a誘導公式記憶口訣奇變偶不變，符號看象限?！捌妗⑴肌敝傅氖钦麛?shù)n的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余 弦，正切 變余切。(反之亦然成立)“符號看象限”的含義是：把角 a看 做銳角，不考慮a角所在象限，看n ( n /2)是第幾象限角， 從

4、而得到等式右邊是正號還是負號。一全正；二正弦；三兩切；四余弦 這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內(nèi) 任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限內(nèi)只有正切和余切是“”，其余全部是“”；第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余 全部是“”。編輯本段 其他三角函數(shù)知識同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系tan a cot 1a =sin a CSCla =cos a sec a =商的關(guān)系sin a /cos a = tan a = sec a /CSC aCOS a /sin a= cot a= CSC a /sec a平方關(guān)系sinA2( a ) + cosA

5、2( al)=1 + tanA2( a ) = secA2( a)1 + C0tA2( a ) = CSCA2( a) 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中間1 的正六邊形為模型。倒數(shù)關(guān)系對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；商數(shù)關(guān)系六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂 點上函數(shù)值的乘積。 (主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的 乘積)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。平方關(guān)系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式sin (a + B)= sin a cos B + cos a sin Bsin (a p) =s

6、in a cos B cos a sin Bcos (a + B) =cos a cos B sin a sin Bcos (aB)=cos a cos B+ sin a sin Btan (a+B)=(tan a+ tan B )/(1tan a tan B)tan (aB)=(tan a tan B )/(1 + tan atan B)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 a= 2sin a cos acos2 a = cosA2( a ) sinA2( a ) = 2cosA2(1 = )1 一2sinA2( a)tan2 a = 2tan a /(1 tanA2( a )半角的正弦、余

7、弦和正切公式sinA2( a /2)(牡一cos a )/2COSA2( a /2)伴 + cos a )/2tanA2( a /2)(豐cos a )/(1+ cos a)萬能公式sin a = 2tan( a /2)/(1+ tanA2( a /2)cos a=(1 tanA2( a /2)/(1+ tanA2( a /2)tan a= (2tan( a /2)/(1 tanA2( a /2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a = 3sin a 4sinA3( a)cos3 a = 4cosA3( a ) 3cos atan3 a= (3tan a tanA3( a )/(1 3ta

8、nA2( a )三角函數(shù)的和差化積公式sin a + sin B = 2sin( a + B )/2) cos( a p )/2)sin a sin p = 2cos( a + p 馴2(a p )/2)COS a+ COS B= 2cos( a + B )/2) COS( a_Q )/2)aB )/2)cos a cos B= 2sin( a + B )/2) sin(三角函數(shù)的積化和差公式sin a cos B = 0.5sin(a+B )+sin( aB )cos a sin B = 0.5sin(a+B )sin( aB )cos a-cos B = 0.5cos(a+B )+cos(

9、 aB )sin asin B=0cos(a +) cos( aB )編輯本段 公式推導過程萬能公式推導sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /(cosA2(a )+sinA2(, a )(因為 cosA2( a )+sinA2( a )=1 ) 再把*分式上下同除cosA2( a )，可得Sin2 a = 2tan a /(1 +tanA2( a )然后用a /2代替a即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正 弦比余弦得到。三倍角公式推導tan3 a = sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos acs2 a sin a )/(cos

10、2 a cOna a sin a)=(2sin a COSA2( a ) + COSA2( a )sin a sinA3( a )/(COSA3( a)cosa sinA2( a )2sinA2( a )cos a)上下同除以 cosA3( a )，得：tan3 a= (3tan a tanA3( 口-)/$血八2( a ) sin3 a = sin(2 a + a ) = sin2 a cos a + cos2 a sin a=2sin a cosA2( a )1-H 2sinA2( a )sin=2sin a 2sinA3( a ) + sin a 2sinA3( a)=3sin a 4s

11、inA3( a)cos3 a = cos(2 a + a ) = cos2 a cos a sin2 a sin=(2cosA2( a ) 1)cos a 2cos a SA2( a)=2cosA3( a ) cos a+ (2COS a 2COSA3( a )=4cosA3( a ) 3cos a即sin3 a= 3sin a 4sinA3( a)cos3 a= 4cosA3( a ) 3cos a和差化積公式推導首先 ,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*si nb我們把兩式相加就得到 sin(a+b)+sin(

12、a-b)=2sina*cosb所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理 ,若把兩式相減 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的 ,我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina* sinb所以 ,把兩式相加 ,我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理 ,兩式相減我們就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣 ,我們就得到了積化和差的四個公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好 ,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形 ,就可以得到和差化積的四個公式 .我們把上述四個公式中的a+b設為